Формула вершины параболы. X вершины


Формула вершины параболы

Определение и формула вершины параболы

Если парабола задана своим каноническим уравнением , то вершиной параболы является начало координат.

В школьном курсе математики параболой называется график квадратичной функции .

Чтобы определить абсциссу вершины параболы пользуются формулой

   

Чтобы определить ординату вершины параболы нужно подставить в уравнение параболы вместо , найденное в предыдущем шаге значение :

   

Но можно поступить иначе. В уравнении выделить полный квадрат следующим образом

   

Тогда вершина параболы будет иметь координаты:

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как найти вершину параболы и построить ее

В математике есть целый цикл тождеств, среди которых значимое место занимают квадратичные уравнения. Подобные равенства могут решаться как отдельно, так и для построения графиков на оси координат. Корни квадратных уравнений являются точками пересечения параболы и прямой ох.

Общий вид

Квадратное уравнение в общем виде имеет следующую структуру:

ax2 +bx+c=0

В роли "икса" могут рассматриваться как отдельные переменные, так и целые выражения. Например:

2x2+5x-4=0;

(x+7)2+3(x+7)+2=0.

В том случае, когда в роли х выступает выражение, необходимо представить его как переменную и найти корни уравнения. После этого к ним приравнять многочлен и найти х.

Так, если (х+7)=а, то уравнение принимает вид а2+3а+2=0.

Д=32-4*1*2=1;

а1=(-3-1)/2*1=-2;

а2=(-3+1)/2*1=-1.

При корнях, равных -2 и -1, получим следующее:

x+7=-2 и x+7=-1;

x=-9 и x=-8.

Корни являются значением х-координаты точки пересечения параболы с осью абсцисс. В принципе, их значение не так уж и важно, если поставлена задача лишь найти вершину параболы. Но для построения графика корни играют важную роль.

Как найти вершину параболы

Вернемся к начальному уравнению. Для ответа на вопрос о том, как найти вершину параболы, необходимо знать следующую формулу:

xвп=-b/2a,

где хвп- это значение х-координаты искомой точки.

Но как найти вершину параболы без значения у-координаты? Подставляем полученное значение х в уравнение и находим искомую переменную. Например, решим следующее уравнение:

х2+3х-5=0

Находим значение х-координаты для вершины параболы:

хвп=-b/2a=-3/2*1;

хвп=-1,5.

Находим значение у-координаты для вершины параболы:

у=2х2+4х-3=(-1,5)2+3*(-1,5)-5;

у=-7,25.

В результате получаем, что вершина параболы находится в точке с координатами (-1,5;-7,25).

Построение параболы

Парабола представляет собой соединение точек, имеющее вертикальную ось симметрии. По этой причине само ее построение не представляет особого труда. Самое сложное – это произвести правильные расчеты координат точек.

Стоит обратить особое внимание на коэффициенты квадратного уравнения.

Коэффициент а влияет на направление параболы. В том случае, когда он имеет отрицательное значение, ветви будут направлены вниз, а при положительном знаке – вверх.

Коэффициент b показывает, насколько широк будет рукав параболы. Чем больше его значение, тем он будет шире.

Коэффициент с указывает на смещение параболы по оси ОУ относительно начала координат.

Как найти вершину параболы, мы уже узнали, а чтобы найти корни, следует руководствоваться следующими формулами:

Д=b2-4ac,

где Д – это дискриминант, который необходим для нахождения корней уравнения.

x1=(-b+V-Д)/2a

x2=(-b-V-Д)/2a

Полученные значения х будут соответствовать нулевым значениям у, т.к. они являются точками пересечения с осью ОХ.

После этого отмечаем на координатной плоскости вершину параболы и полученные значения. Для более детального графика необходимо найти еще несколько точек. Для этого выбираем любое значение х, допустимое областью определения, и подставляем его в уравнение функции. Результатом вычислений будет координата точки по оси ОУ.

Чтобы упростить процесс построения графика, можно провести вертикальную линию через вершину параболы и перпендикулярно оси ОХ. Это будет ось симметрии, при помощи которой, имея одну точку, можно обозначить и вторую, равноудаленную от проведенной линии.

fb.ru

Помогите пожалуйста найти координаты вершины параболы y=-x^2+x-1.

Задание. Исследовать функцию на экстремум. y=-x^2+x-1 Решение. Находим производную заданной функции: y'=1-2x Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение : 1-2x=0 x=1/2 Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины): Так как при переходе через точку производная сменила свой знак с "+" на "-", то в этой точке функция достигает максимума, причем . y=-(1/2)^2+1/2-1=-3/4

Гугли формулы координат вершины параболы

кордината x= -b/2a=-1/2=-0.5 кордината у= нужно подставить получиный х в функцию (x^2+x-1)

touch.otvet.mail.ru

Вершина (геометрия) — Википедия

В геометрии вершина — это вид точки, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся. Из этого определения следует, что точка, в которой сходятся два луча, образуя угол, является вершиной, а также ею являются угловые точки многоугольников и многогранников[1].

Определение

Вершина угла

Вершина угла — это точка, окуда берут начало два луча.

Вершина угла — это точка, откуда берут начало два луча; где сходятся два отрезка; где две прямые пересекаются; где любая комбинация лучей, отрезков и прямых, образующих две (прямолинейные) «стороны», которые сходятся в одной точке[2].

Вершина многоугольника многогранника

Вершина — это угловая точка многоугольника или многогранника (любой размерности), иначе говоря его 0-мерная граней.

В многоугольнике вершина называется «выпуклой», если внутренний угол многоугольника меньше π радиан (180° — два прямых угла). В противном случае вершина называется «вогнутой».

Более обще, вершина многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника с достаточно малой сферой, имеющей вершину в качестве центра, представляет собой выпуклую фигуру; в противном же случае вершина является вогнутой.

Вершины многогранника связаны с вершинами графа, поскольку многогранника является графом, вершины которого соответствуют вершинам многогранника[3], а следовательно, граф многогранника можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершинами которого служат вершины графа. Однако, в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных рёбер, что обычно не разрешается для вершин геометрических. Также имеется связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой, точками экстремумов её кривизны — вершины многоугольника в некотором смысле являются точками бесконечной кривизны, и, если многоугольник приблизить гладкой кривой, точки экстремальной кривизны будут лежать вблизи вершин многоугольника[4]. Однако, приближение многоугольника с помощью гладкой кривой даёт дополнительные вершины в точках минимальной кривизны.

Вершины плоских мозаик

Вершина плоской мозаики (замощения) — это точка, где встречаются три и более плиток мозаики[5], но не только: плитки замощения также являются многоугольниками, а вершины мозаики являются вершинами этих плиток. Более обще, замощение можно рассматривать как вид топологического CW-комплекса. Вершины других видов комплексов, таких как симплициальные, — это грани нулевой размерности.

Видео по теме

Основная вершина

Вершина B является «ухом», поскольку открытый отрезок между вершинами C и D лежит полностью внутри многоугольника. Вершина C является «ртом», поскольку открытый отрезок между A и B лежит полностью вне многоугольника.

Вершина xi{\displaystyle x_{i}} простого многоугольника P{\displaystyle P} является основной вершиной, если диагональ [xi−1,xi+1]{\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} пересекает границы P{\displaystyle P} только в точках xi−1{\displaystyle x_{i-1}} и xi+1{\displaystyle x_{i+1}}. Существует два типа основных вершин: «уши» и «рты» (см. ниже)[6].

«Уши»

Основная вершина xi{\displaystyle x_{i}} простого многоугольника P{\displaystyle P} называется «ухом», если диагональ [xi−1,xi+1]{\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} лежит полностью в P{\displaystyle P}. (см. также выпуклый многоугольник)

«Рты»

Основная вершина xi{\displaystyle x_{i}} простого многоугольника P{\displaystyle P} называется «ртом», если диагональ [xi−1,xi+1]{\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} лежит вне P{\displaystyle P}.

Число вершин многогранника

Любая поверхность трёхмерного выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику:

V−E+F=2,{\displaystyle V-E+F=2,}

где V{\displaystyle V} — число вершин, E{\displaystyle E} — число рёбер, а F{\displaystyle F} — число граней. Это равенство известно как уравнение Эйлера. К примеру, куб имеет 12 рёбер и 6 граней, а потому — 8 вершин: 8−12+6=2{\displaystyle 8-12+6=2} .

Вершины в компьютерной графике

В компьютерной графике объекты часто представляются как триангулированные многогранники, в которых вершинам объекта сопоставляются не только три пространственные координаты, но и другая необходимая для правильного построения изображения объекта графическая информация, такая как цвет, отражательная способность, текстура, нормали вершин[7]. Эти свойства используются при построении изображения с помощью вершинного шейдера, части обработчика вершин[en].

Примечания

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Vertex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. ↑ Heath, 1956.
  3. ↑ McMullen, Schulte, 2002, с. 29.
  4. ↑ Bobenko, Schröder, Sullivan, Ziegler, 2008.
  5. ↑ Jaric, 1989, с. 9.
  6. ↑ Devadoss, O'Rourke, 2011.
  7. ↑ Christen, 2009.

Литература

  • Thomas L. Heath. The Thirteen Books of Euclid's Elements. — 2nd ed. — New York: Dover Publications, 1956. — ISBN v1: 0-486-60088-2 , v2: 0-486-60089-0 , v3: 0-486-60090-4. (Аутентичный перевод книги Евклида «Начала» с обширными историческими исследованиями и детальными комментариями по тексту книги.)
  • Lanru Jing, Ove Stephansson. Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. — 2007. — ISBN 978-0-444-82937-5.
  • Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
  • Introduction to the Mathematics of Quasicrystals / M.V. Jaric. — Academic Press, 1989. — Т. 2. — (Aperiodicity and Order). — ISBN 0-12-040602-0.
  • Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, John M. Sullivan, Günter M. Ziegler[en]. Discrete differential geometry. — Birkhäuser Verlag AG, 2008. — ISBN 978-3-7643-8620-7.
  • Satyan Devadoss, Joseph O'Rourke. Discrete and Computational Geometry. — Princeton University Press, 2011. — ISBN 978-0-691-14553-2.
  • Martin Christen. Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes. — Khronos Group, 2009.

Ссылки

wikipedia.green

Ответы@Mail.Ru: Функция y=ax^2 + bx + c. найдите координаты вершины параболы y = 4x^2 + 8x

абсцисса вершины находится по формуле -b/2a -8/8=-1 ординату можно найти, подставив полученное значение х в уравнение: 4*1+8*(-1)-1=-5 вершина: (-1;-5)

Что такое производная знаете? Так как коэффициент при икс в квадрате положителен, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, необходимо найти минимум функции. Ищете производную. Она равна 8х+8. Приравниваете её к нулю и ищете значение х: 8х+8=0 => х=-1 Подставляете значение х=-1 в функцию. получаете: 4-8-1=-5. То есть, координаты вершины параболы (вернее, её самой низкой точки) будут (1;-5).

Можно решить задание без производной: выделим полный квадрат в правой части формулы: 4x²+8x-1=(2x+2)²-5=4(x+1)²-5 т. о., y=4(x+1)²-5 координаты вершины (-1;-5).

touch.otvet.mail.ru

Вершина (геометрия) — Википедия

В геометрии вершина — это вид точки, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся. Из этого определения следует, что точка, в которой сходятся два луча, образуя угол, является вершиной, а также ею являются угловые точки многоугольников и многогранников[1].

Определение

Вершина угла

Вершина угла — это точка, окуда берут начало два луча.

Вершина угла — это точка, откуда берут начало два луча; где сходятся два отрезка; где две прямые пересекаются; где любая комбинация лучей, отрезков и прямых, образующих две (прямолинейные) «стороны», которые сходятся в одной точке[2].

Вершина многоугольника многогранника

Вершина — это угловая точка многоугольника или многогранника (любой размерности), иначе говоря его 0-мерная граней.

В многоугольнике вершина называется «выпуклой», если внутренний угол многоугольника меньше π радиан (180° — два прямых угла). В противном случае вершина называется «вогнутой».

Более обще, вершина многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника с достаточно малой сферой, имеющей вершину в качестве центра, представляет собой выпуклую фигуру; в противном же случае вершина является вогнутой.

Вершины многогранника связаны с вершинами графа, поскольку многогранника является графом, вершины которого соответствуют вершинам многогранника[3], а следовательно, граф многогранника можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершинами которого служат вершины графа. Однако, в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных рёбер, что обычно не разрешается для вершин геометрических. Также имеется связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой, точками экстремумов её кривизны — вершины многоугольника в некотором смысле являются точками бесконечной кривизны, и, если многоугольник приблизить гладкой кривой, точки экстремальной кривизны будут лежать вблизи вершин многоугольника[4]. Однако, приближение многоугольника с помощью гладкой кривой даёт дополнительные вершины в точках минимальной кривизны.

Вершины плоских мозаик

Вершина плоской мозаики (замощения) — это точка, где встречаются три и более плиток мозаики[5], но не только: плитки замощения также являются многоугольниками, а вершины мозаики являются вершинами этих плиток. Более обще, замощение можно рассматривать как вид топологического CW-комплекса. Вершины других видов комплексов, таких как симплициальные, — это грани нулевой размерности.

Видео по теме

Основная вершина

Вершина B является «ухом», поскольку открытый отрезок между вершинами C и D лежит полностью внутри многоугольника. Вершина C является «ртом», поскольку открытый отрезок между A и B лежит полностью вне многоугольника.

Вершина xi{\displaystyle x_{i}} простого многоугольника P{\displaystyle P} является основной вершиной, если диагональ [xi−1,xi+1]{\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} пересекает границы P{\displaystyle P} только в точках xi−1{\displaystyle x_{i-1}} и xi+1{\displaystyle x_{i+1}}. Существует два типа основных вершин: «уши» и «рты» (см. ниже)[6].

«Уши»

Основная вершина xi{\displaystyle x_{i}} простого многоугольника P{\displaystyle P} называется «ухом», если диагональ [xi−1,xi+1]{\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} лежит полностью в P{\displaystyle P}. (см. также выпуклый многоугольник)

«Рты»

Основная вершина xi{\displaystyle x_{i}} простого многоугольника P{\displaystyle P} называется «ртом», если диагональ [xi−1,xi+1]{\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} лежит вне P{\displaystyle P}.

Число вершин многогранника

Любая поверхность трёхмерного выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику:

V−E+F=2,{\displaystyle V-E+F=2,}

где V{\displaystyle V} — число вершин, E{\displaystyle E} — число рёбер, а F{\displaystyle F} — число граней. Это равенство известно как уравнение Эйлера. К примеру, куб имеет 12 рёбер и 6 граней, а потому — 8 вершин: 8−12+6=2{\displaystyle 8-12+6=2} .

Вершины в компьютерной графике

В компьютерной графике объекты часто представляются как триангулированные многогранники, в которых вершинам объекта сопоставляются не только три пространственные координаты, но и другая необходимая для правильного построения изображения объекта графическая информация, такая как цвет, отражательная способность, текстура, нормали вершин[7]. Эти свойства используются при построении изображения с помощью вершинного шейдера, части обработчика вершин[en].

Примечания

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Vertex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. ↑ Heath, 1956.
  3. ↑ McMullen, Schulte, 2002, с. 29.
  4. ↑ Bobenko, Schröder, Sullivan, Ziegler, 2008.
  5. ↑ Jaric, 1989, с. 9.
  6. ↑ Devadoss, O'Rourke, 2011.
  7. ↑ Christen, 2009.

Литература

  • Thomas L. Heath. The Thirteen Books of Euclid's Elements. — 2nd ed. — New York: Dover Publications, 1956. — ISBN v1: 0-486-60088-2 , v2: 0-486-60089-0 , v3: 0-486-60090-4. (Аутентичный перевод книги Евклида «Начала» с обширными историческими исследованиями и детальными комментариями по тексту книги.)
  • Lanru Jing, Ove Stephansson. Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. — 2007. — ISBN 978-0-444-82937-5.
  • Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
  • Introduction to the Mathematics of Quasicrystals / M.V. Jaric. — Academic Press, 1989. — Т. 2. — (Aperiodicity and Order). — ISBN 0-12-040602-0.
  • Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, John M. Sullivan, Günter M. Ziegler[en]. Discrete differential geometry. — Birkhäuser Verlag AG, 2008. — ISBN 978-3-7643-8620-7.
  • Satyan Devadoss, Joseph O'Rourke. Discrete and Computational Geometry. — Princeton University Press, 2011. — ISBN 978-0-691-14553-2.
  • Martin Christen. Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes. — Khronos Group, 2009.

Ссылки

www.wikipedia.green

Вершина (геометрия) - Gpedia, Your Encyclopedia

В геометрии вершина — это вид точки, в которой две кривые, две прямые либо два ребра сходятся. Из этого определения следует, что точка, в которой сходятся два луча, образуя угол, является вершиной, а также ею являются угловые точки многоугольников и многогранников[1].

Определение

Вершина угла

Вершина угла — это точка, окуда берут начало два луча.

Вершина угла — это точка, откуда берут начало два луча; где сходятся два отрезка; где две прямые пересекаются; где любая комбинация лучей, отрезков и прямых, образующих две (прямолинейные) «стороны», которые сходятся в одной точке[2].

Вершина многоугольника многогранника

Вершина — это угловая точка многоугольника или многогранника (любой размерности), иначе говоря его 0-мерная граней.

В многоугольнике вершина называется «выпуклой», если внутренний угол многоугольника меньше π радиан (180° — два прямых угла). В противном случае вершина называется «вогнутой».

Более обще, вершина многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника с достаточно малой сферой, имеющей вершину в качестве центра, представляет собой выпуклую фигуру; в противном же случае вершина является вогнутой.

Вершины многогранника связаны с вершинами графа, поскольку многогранника является графом, вершины которого соответствуют вершинам многогранника[3], а следовательно, граф многогранника можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершинами которого служат вершины графа. Однако, в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных рёбер, что обычно не разрешается для вершин геометрических. Также имеется связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой, точками экстремумов её кривизны — вершины многоугольника в некотором смысле являются точками бесконечной кривизны, и, если многоугольник приблизить гладкой кривой, точки экстремальной кривизны будут лежать вблизи вершин многоугольника[4]. Однако, приближение многоугольника с помощью гладкой кривой даёт дополнительные вершины в точках минимальной кривизны.

Вершины плоских мозаик

Вершина плоской мозаики (замощения) — это точка, где встречаются три и более плиток мозаики[5], но не только: плитки замощения также являются многоугольниками, а вершины мозаики являются вершинами этих плиток. Более обще, замощение можно рассматривать как вид топологического CW-комплекса. Вершины других видов комплексов, таких как симплициальные, — это грани нулевой размерности.

Основная вершина

Вершина B является «ухом», поскольку открытый отрезок между вершинами C и D лежит полностью внутри многоугольника. Вершина C является «ртом», поскольку открытый отрезок между A и B лежит полностью вне многоугольника.

Вершина xi{\displaystyle x_{i}} простого многоугольника P{\displaystyle P} является основной вершиной, если диагональ [xi−1,xi+1]{\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} пересекает границы P{\displaystyle P} только в точках xi−1{\displaystyle x_{i-1}} и xi+1{\displaystyle x_{i+1}}. Существует два типа основных вершин: «уши» и «рты» (см. ниже)[6].

«Уши»

Основная вершина xi{\displaystyle x_{i}} простого многоугольника P{\displaystyle P} называется «ухом», если диагональ [xi−1,xi+1]{\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} лежит полностью в P{\displaystyle P}. (см. также выпуклый многоугольник)

«Рты»

Основная вершина xi{\displaystyle x_{i}} простого многоугольника P{\displaystyle P} называется «ртом», если диагональ [xi−1,xi+1]{\displaystyle [x_{i-1},x_{i+1}]} лежит вне P{\displaystyle P}.

Число вершин многогранника

Любая поверхность трёхмерного выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику:

V−E+F=2,{\displaystyle V-E+F=2,}

где V{\displaystyle V} — число вершин, E{\displaystyle E} — число рёбер, а F{\displaystyle F} — число граней. Это равенство известно как уравнение Эйлера. К примеру, куб имеет 12 рёбер и 6 граней, а потому — 8 вершин: 8−12+6=2{\displaystyle 8-12+6=2} .

Вершины в компьютерной графике

В компьютерной графике объекты часто представляются как триангулированные многогранники, в которых вершинам объекта сопоставляются не только три пространственные координаты, но и другая необходимая для правильного построения изображения объекта графическая информация, такая как цвет, отражательная способность, текстура, нормали вершин[7]. Эти свойства используются при построении изображения с помощью вершинного шейдера, части обработчика вершин[en].

Примечания

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Vertex (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. ↑ Heath, 1956.
  3. ↑ McMullen, Schulte, 2002, с. 29.
  4. ↑ Bobenko, Schröder, Sullivan, Ziegler, 2008.
  5. ↑ Jaric, 1989, с. 9.
  6. ↑ Devadoss, O'Rourke, 2011.
  7. ↑ Christen, 2009.

Литература

  • Thomas L. Heath. The Thirteen Books of Euclid's Elements. — 2nd ed. — New York: Dover Publications, 1956. — ISBN v1: 0-486-60088-2 , v2: 0-486-60089-0 , v3: 0-486-60090-4. (Аутентичный перевод книги Евклида «Начала» с обширными историческими исследованиями и детальными комментариями по тексту книги.)
  • Lanru Jing, Ove Stephansson. Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. — 2007. — ISBN 978-0-444-82937-5.
  • Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
  • Introduction to the Mathematics of Quasicrystals / M.V. Jaric. — Academic Press, 1989. — Т. 2. — (Aperiodicity and Order). — ISBN 0-12-040602-0.
  • Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, John M. Sullivan, Günter M. Ziegler[en]. Discrete differential geometry. — Birkhäuser Verlag AG, 2008. — ISBN 978-3-7643-8620-7.
  • Satyan Devadoss, Joseph O'Rourke. Discrete and Computational Geometry. — Princeton University Press, 2011. — ISBN 978-0-691-14553-2.
  • Martin Christen. Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes. — Khronos Group, 2009.

Ссылки

www.gpedia.com