Степень с отрицательным показателем. В дроби степень


Дробная степень | Алгебра

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

Определение.

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

   

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

   

2) При a=0 и r>0 

   

В частности,

   

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

   

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

   

   

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

   

   

   

   

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

   

   

   

   

www.algebraclass.ru

Как сокращать дроби со степенью?

  • Чтобы сократить дробь со степенью нужно разбить основания степеней на такие числа, которые бы были и в знаменателе, и в числителе, и представить нашу дробь в виде новых степеней этих чисел. После этого используем свойства дробей, чтобы сократить дроби со степенью.

    Там здесь нужно запомнить, что дроби с одинаковыми степенями мы складываем при умножении и вычитаем при делении.

    На нашем примере сокращение дробей может происходить следующим образом:

    В ответе получится 0,01.

  • Из школьного курса математики мы знаем, что сокращать дроби со степенью нужно следующим образом, вам необходимо числитель и знаменатель такой дроби разделить на одно и тоже число. В данном вами примере будет вот такое решение:

    ---------=------------=---------=--------=-------=0,01

    16*5 (4)*5 4*5 4*25 100

  • Для того, чтобы без особых проблем сокращать дроби с степенью, прежде всего нужно хорошо знать основные формулы возведения в степень или хотябы иметь их под рукой.

    Произведение степеней с одинаковым основанием - в этом случае основание оставляем, а степени складываем

    Деление степеней с одинаковым основанием - основание оставляем, степени вычитаем

    Возведение степени в степень - раскрываем скобки, степени при этом умножаются

    Произведение в степени - раскрываем скобки, при этом каждый множитель возводим в данную степень

    Деление в степени - раскрываем скобки, при этом числитель и знаменатель возводим в данную степень

    Дальше вспоминаем основное правило для сокращения дроби:

    чтобы сократить дробь, нужно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя и затем числитель и знаменатель разделить на это число.

    Теперь сокращаем дробь со степенями на примере из вашего вопроса.

    С помощью приведенных выше формул сделаем преобразования в числителе и знаменателе

    и сейчас сократить дробь совсем несложно: ответ 0,01

  • Прежде всего нужно четко понимать правила. Их всего 4.

    1) При перемножении разных степеней одного и того же числа, показатели степеней складываются. Например: 3^2*3^4=3^(2+4)=3^6.

    2) При делении разных степеней одного и того же числа, показатели степеней вычитаются. Например:

    5^12/5^9=5^(12-9)=5^3. 7^5/7^9=7^(5-9)=7^(-4)=1/7^4.

    3) При возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются. Например: (2^3)^4=2^(3*4)=2^12.

    4). При извлечении корней из степеней каких-либо чисел, показатель степени делится на показатель корня. Например: (5^8)=5^(8/2)=5^4.

    Теперь конкретно решение. 4 -это 2 во второй степени. Значит 4^8=(2^2)^8=2^16. Два в степени два возведенное в восьмую степень будет два в шестнадцатой степени.

    2^16*2^2=2^18. В числителе имеем 2^18.

    В знаменателе разные степени 5 и 16. Но 16- это 2 в четвертой степени, т.е. 16=2^4. Тогда 16^5=(2^4)^5=2^(4*5)=2^20. Итак, в знаменателе имеем 5^2*2^20. И числитель и знаменатель можем сократить на 2^18. В числителе останется 2^(18-18)=2^0=1, а в знаменателе 2^(20-18)=2^2. Окончательный ответ: 1/(5^2*2^2). При желании его можно преобразовать так: 1/(5^2*2^2)=1/(25*4)=1/100. На этом можно и закончить, но при желании можно преобразовать и дальше: 1/100=1/10^2=10^0/10^2=10^(0-2)=10^(-2). Но это не обязательно.

  • Легче всего объяснить на примере.

    Допустим, нам нужно сократить вот эту дробь:

    Прежде всего нам нужно найти такие числа, которые бы составляли числа и в числителе, и в знаменателе. В нашем примере этими числами будут 2 и 3. (2*3=6; 2*2=4).

    используя свойства дробей, мы может сделать такие преобразования:

    Такое задание есть в экзаменационных заданиях по математике. Вот разбор одного из примеров:

  • Для того, чтобы сокращать дроби, необходимо все числа в числителе и знаменателе привести к простым числам. А дальше следовать простым формулам приведения в степень.

    1. При умножении одинаковых оснований степень складываем.
    2. При делении одинаковых оснований степень вычитаем.

    Например,

  • Вс окажется предельно просто, если мы обратимся к известным свойствам (особенностям) дробей со степенью.

    Как видим, предложенное уравнение необходимо разложить таким образом, чтобы выделить одинаковые основания, а затем в зависимости от действия складывать или вычитать соответствующие степени.

    Ниже предлагаю ознакомиться с решением указанного примера.

  • Для того чтобы сокращать дроби со степенью, необходимо знать следующие правила:

    1) При умножении одинаковых чисел с разными степенями, степени нужно складывать;

    2) При делении одинаковых чисел с разными степенями, степени нужно вычитать;

    3) При осуществлении возведения степени в степень, показатели степеней нужно перемножать;

    4) При осуществлении извлечения корня из степени, показатель степени необходимо делить на показатель корня.

    Для вашего примера нам нужно воспользоваться первыми двумя правилами:

    4^8*2^2/5^2*16^5 = 4^9/5^2*4^10 = 1/5^2*4 = 1/100 = 0,01

  • Чтобы сокращать дроби со степенью не было для вас проблемой, необходимо знать свойства степени:

    Теперь, чтобы закрепить знания, рассмотрим несколько примеров.

    Необходимо сократить такую дробь:

    Основания степеней разлаживаем на кирпичики - то есть нужно подобрать такие числа, которые были бы как в числители, так и в знаменателе, после чего представляем вс в виде степеней этих самых числе. В нашем случае это 2 и 3 (2*3=6, 2^2=4). Решение будет таким:

  • В операциях со числами в степени действуют простые правила: При умножении таких чисел степени складываются, а при делении вычитаются. Например при умножении 5^2 * 5^3 = 5^2+3 то есть 5^5. При делении 5^2: 5^3 = 5^2-3 = 5^-1. Показатели степеней складываются при умножении и вычитаются при делении в независимости от того положительная степень или отрицательная.

  • info-4all.ru

    Возведение дроби в степень: отрицательная, буквенная, со степенью

     

    Дробь представляет собой отношение числителя к знаменателю, причём знаменатель не должен равняться нулю, а числитель может быть любой.

    При возведении любой дроби в произвольную степень нужно возводить отдельно числитель и знаменатель дроби в эту степень, после чего мы должны эти степени сосчитать и таким образом получим дробь, возведённую в степень.

    Например:

    (2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

    (2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

    Отрицательная степень

    Если мы имеем дело с отрицательной степенью, то мы должны сначала  “Перевернуть дробь”, а уж потом возводить её в степень по правилу написанному выше.

    (2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

    Буквенная степень

    При работе с буквенными значениями такими как  “x” и “у” возведение в степень происходит по тому же правилу  что и раньше.

    Также мы можем проверить себя возведя дробь ½ в 3 степень в результате чего мы получим ½ * ½ * ½  = 1/8 что в сущности тоже самое что и

    (1/2)^3 = 1/8.

    Буквенное возведение в степень x^y 

    Умножение и деление дробей со степенями

    Если мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, то само основание остается прежним, а показатели степеней мы складываем. Если же мы делим степени с одинаковым основаниями, тогда основание степени также остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.

    Это очень легко можно показать на примере:

    (3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

    (2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

    Тоже самое мы могли бы получить если бы просто возвели в степень 3 и 4 отдельно знаменатель и числитель соответственно.

    Возведение дроби со степенью в еще одну степень

    При возведении дроби, которая уже находится в степени, ещё раз в степень мы должны сначало сделать внутреннее возведение в степень после чего переходить в во внешнюю часть возведения в степень. Другими словами мы можем просто напросто перемножить эти степени и возвести дробь в полученную степень.

    Например:

    (2^4)^2 = 2^ 4·2 = 2^8

    Возведение в единицу, квадратный корень

    Также нельзя забывать что возведение абсолютно любой дроби в нулевую степень даст нам 1, так же как и любое другое число при возведении в степень равную нулю мы получим 1.

    Обычный квадратный корень также можно представить в виде степени дроби

    Квадратный корень 3 = 3^(1/2)

    Если же мы имеем дело с квадратным корнем под которым находится дробь, то мы можем представить эту дробь в числителе которой будет находится квадратный корень 2 – степени ( т.к. квадратный корень)

    А в знаменателе также будет находится квадратный корень , т.е. другими словами мы будем видеть отношение двух корней, это может пригодится для решения некоторых задач и примеров.

    Если мы возведём дробь, которая находится под квадратным корнем во вторую степень то мы получим ту же самую дробь.

    Произведение двух дробей под одной степенью будет равнятся произведению этих двух дробей, каждая в отдельности из которых будет под своей степенью.

    Помните: на ноль делить нельзя!

    Также не стоит забывать об очень важном замечании для дроби такой как знаменатель не должен равняться нулю. В дальнейшем во многих уравнениях мы будем использовать это ограничение, называемое ОДЗ – область допустимых значений

    При сравнении двух дробей с одним и тем же основанием но разными степенями, большее будет являться та дробь у которой степень будет больше, а меньшей та у которой степень меньше, при равенстве не только оснований, но и степеней, дробь считается одинаковой.

    Примеры:

    например: 14^3.8 / 14^(-0.2) = 14^(3.8 -0.2) = 139.6

    6^(1,77) · 6^( - 0,75) = 6^(1,77+( - 0,75)) = 79,7 – 1,3 =  78,6

    Нужна помощь в учебе?

    Предыдущая тема: Умножение и деление дробей: сокращение дробей + полезные советы Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПреобразование рациональных выражений: способы преобразований и примеры

    Все неприличные комментарии будут удаляться.

    www.nado5.ru

    Отрицательная степень | Алгебра

    Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

    Определение.

       

    В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

       

    Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

    Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

       

    (m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

    В частности,

       

    Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

       

    Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак  в показателе степени.

    Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

    В частности,

       

    Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

    Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

    Примеры.

       

       

       

       

       

    Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

       

       

    Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

       

       

       

       

    При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

       

       

       

    Если в показателе степени стоит десятичная дробь,  нужно перевести ее в обыкновенную:

       

       

       

    Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

    www.algebraclass.ru

    Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа

    Задача. Вычислите значение выражения

    Решение.

    Пояснение. Сначала запишем 0,75 как простую дробь - 3/4. Получим результат первой итерации (строка 2)

    Теперь, учитывая, что 16 - это двойка в четвертой степени, 8 - в третьей, 4 - в квадрате, запишем то же самое выражение как степень с основанием 2 (строка 3)

    Учтем следующее свойство степени: (an )m=anm Число в степени, возводимое в степень равно числу в степени, равной их произведению (строка 4)

    Вычислим получившиеся значения степени (строка 5)

    Учтем следующее свойство степени: a n a m  = a n+m   Произведение двух одинаковых чисел в разную степень равно этому числу в степени, равной сумме этих степеней (строка 6)

     Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня | Описание курса | Операции с корнями на основе ствойств степени 

       

    profmeter.com.ua

    Степень -1 | Алгебра

    Как возвести число в степень -1?

    По определению степени с отрицательным показателем,

       

    Например,

       

       

       

       

    Число в минус первой степени и данное число являются взаимно обратными числами.

    Чтоьы возвести обыкновенную дробь в степень -1, нужно ее числитель и знаменатель поменять местами («перевернуть»):

       

    Например,

       

       

       

       

    Чтобы возвести в степень минус 1 смешанное число, его предварительно нужно перевести в неправильную дробь. Например,

       

       

       

       

    Чтобы возвести в минус первую степень десятичную дробь, её сначала лучше перевести в обыкновенную:

       

       

       

       

    www.algebraclass.ru

    Возведение алгебраической дроби в степень. Рабочие материалы

    Дополнительные сочинения

    На уроке будет рассмотрен более обобщенный вариант умножения дробей – это возведение в степень. Прежде всего, речь будет идти о натуральной степени дроби и о примерах, демонстрирующих подобные действия с дробями. В начале урока, также, мы повторим возведение в натуральную степень целых выражений и увидим, каким образом это пригодится для решения дальнейших примеров.

    Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

    Урок: Возведение алгебраической дроби в степень

    1. Правила возведения дробей и целых выражений в натуральную степень с элементарными примерами

    Правило возведения обыкновенных и алгебраических дробей в натуральную степень:

    Можно провести аналогию со степенью целого выражения и вспомнить, что понимается под возведением его в степень:

    Пример 1. .

    Как видно из примера, возведение дроби в степень – это частный случай умножения дробей, что изучалось на предыдущем уроке.

    Пример 2. а) , б) – минус уходит, т. к. мы возвели выражение в четную степень.

    Ответ. ; .

    Для удобства работы со степенями вспомним основные правила возведения в натуральную степень:

    – произведение степеней;

    – деление степеней;

    – возведение степени в степень;

    – степень произведения.

    Пример 3. – это известно нам еще с темы «Возведение в степень целых выражений», кроме одного случая: не существует.

    2. Простейшие примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень

    Далее рассмотрим примеры посложнее.

    Пример 4. Возвести дробь в степень .

    Решение. При возведении в четную степень минус уходит:

    .

    Ответ. .

    Пример 5. Возвести дробь в степень .

    Решение. Теперь пользуемся правилами возведения степени в степень сразу без отдельного расписывания:

    .

    Ответ..

    Теперь рассмотрим комбинированные задачи, в которых нам будет необходимо и возводить дроби в степень, и умножать их, и делить.

    Пример 6. Выполнить действия .

    Решение. . Далее необходимо произвести сокращение. Распишем один раз подробно, как мы это будем делать, а затем будем указывать результат сразу по аналогии: . Аналогично (или по правилу деления степеней) . Имеем: .

    Ответ. .

           

    Пример 7. Выполнить действия .

    Решение. . Сокращение осуществлено по аналогии с примером, разобранным ранее.

    Ответ. .

    Пример 8. Выполнить действия .

    Решение. . В данном примере мы еще раз более подробно расписали процесс сокращения степеней в дробях, чтобы закрепить этот способ.

    Ответ. .

    3. Более сложные примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень (с учетом знаков и со слагаемыми в скобках)

    Пример 9. Выполнить действия .

    Решение. В данном примере уже пропустим отдельное умножение дробей, а сразу воспользуемся правилом их умножения и запишем под один знаменатель. При этом следим за знаками – в указанном случае дроби возводятся в четные степени, поэтому минусы исчезают. В конце выполним сокращение.

    .

    Ответ..

    Пример 10. Выполнить действия .

    Решение. В данном примере присутствует деление дробей, вспомним, что при этом первая дробь умножается на вторую, но перевернутую.

    .

    Ответ. .

    На данном уроке мы рассмотрели возведение дробей в натуральную степень. В дальнейшем умение это делать и осуществлять действия с дробями, изученными ранее, мы будем использовать для преобразования рациональных выражений.

    Список литературы

    1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

    2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

    3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    1. Портал для всей семьи.

    2. Старая школа .

    3. Алгебра, геометрия, физика .

    Домашнее задание

    1. №76. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

    2. Возвести дроби в степень: а) , б) .

    3. Возвести дроби в степень: а) , б) .

    4. Возвести дроби в степень: а) , б) .

    5. Выполнить действия: а) , б) .

    dp-adilet.kz