Уравнение с пропорцией - решение и примеры. Уравнение с пропорцией


Решение пропорций | Математика

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах. 

Решить уравнения с пропорцией:

 1)  25 : x = 10 : 18

Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

   

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

   

Ответ: 45.

   

Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

   

   

   

Ответ: 13,5.

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

   

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

   

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100,  мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10: 

   

Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:

   

Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:

   

   

Ответ: 18.

Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.

   

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:

   

Смешанные числа переводим в неправильные дроби:

   

   

   

Ответ: 28.

При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:

   

Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:

   

   

   

   

   

   

Ответ: 10,5.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

   

Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:

   

   

   

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: 1,12.

www.for6cl.uznateshe.ru

Уравнение пропорции и его решение

Определение и уравнение пропорции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пропорцией называется равенство двух отношений: или .

Например. или

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Величины и называются крайними членами, а величины и — средними членами пропорции.

Если равенство верно, то пропорция называется правильной.

Например. Пропорция , является правильной, поскольку и

Основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции. В правильной пропорции произведение крайних равно произведению средних ее членов:

   

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо перемножить средние члены и произведение разделить на известный крайний член:

   

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо перемножить крайние члены~ и произведение разделить на известный средний член.

   

ПРИМЕР 1
Задание Решить уравнение
Решение Если данное уравнение рассматривать как пропорцию, то неизвестным является ее средний член, а тогда

   

Ответ

ru.solverbook.com

Решить уравнение пропорцией онлайн

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в математике встречаются простые линейные уравнения, которые сильно напоминают обыкновенную пропорцию. Например, вот такое уравнение:

\[\frac{x}{2} = \frac{4}{5}\]

Чтобы решить уравнениt с пропорцией применяют правила креста. Данное правило заключается в том, что если в члене пропорции имеются знаки "\[+\] или \[-\], то в обязательном порядке необходимо взять данный член пропорции в скобки перед применением правила пропорции.

Так же читайте нашу статью "Решить уравнение с разделяющими переменными онлайн"

Другими словами данное правило можно описать так: если нарисовать крест поверх пропорции, то произведения членов пропорции, лежащих на концах креста, равны.

Допустим, дано уравнения следующего вида, которое мы решим используя правила пропорции:

\[x \cdot 5 = 2 \cdot 4\]

Оперируя простыми арифметически действиями, решим данное уравнение:

\[5x = 8 \mid \div 5\]

\[\frac{5x}{5} = \frac{8}{5}\]

\[x = \frac{8}{5}\]

\[x = 1\frac{3}{5}\]

Все предельно просто, главное помнить правила пропорции и не забывать о смене знака на противоположные при переносе члена с одной стороны на другую.

Где можно решить уравнение пропорцией онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

pocketteacher.ru

Как составить и рассчитать пропорцию: онлайн калькулятор

Онлайн калькулятор пропорций

Формула пропорций

Пропо́рция — это равенство двух отношений, когда a:b=c:d

средние
члены
1:10=7:70
крайние члены
0,1=0,1
1 10 = 7 70

Основные свойства пропорции

Произведение крайних членов равно произведению средних членов (крест-накрест): если a:b=c:d, то a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Обращение пропорции: если a:b=c:d, то b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Перестановка средних членов: если a:b=c:d, то a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Перестановка крайних членов: если a:b=c:d, то d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Решение пропорции с одним неизвестным | Уравнение

1 : 10 = x : 70 1 10 = x 70

Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Как посчитать пропорцию

Задача: нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?

Составим пропорцию: 1 таблетка — 10 кг x таблеток — 70 кг Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение: 1 таблетка x таблеток ✕ 10 кг 70 кг x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Ответ: 7 таблеток

Задача: за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?

Составим пропорцию: 2 статьи — 5 часов x статей — 20 часов x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Ответ: 8 статей

Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и при расчёте процентов, и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях.

shpargalkablog.ru

Пропорции | Формулы с примерами

Что такое пропорция?

Определение Пропорция - это верное равенство двух отношений.

Где a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0.

a и d - называют крайними членами пропорции; b и c - называют средними членами пропорции.

Пример
3  =  18   или 3 : 5 = 18 : 30;
5 30
7  =  21   или 7 : 3 = 21 : 9;
3 9
12  =  48   или 12 : 15 = 48 : 60.
15 60

Основное свойство пропорции

Свойство

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Пример
12  =  24 , значит 12 • 8 = 4 • 24;
4 8
11  =  33 , значит 11 • 21 = 7 • 33;
7 21
23  =  69 , значит 23 • 42 = 14 • 69.
14 42

Обратное свойство

Свойство Пример
11 • 4 = 2 • 22 значит,  11  =  22 ;
2 4
21 • 6 = 42 • 3 значит,  21  =  42 ;
3 6
33 • 21 = 7 • 99 значит,  33  =  99 .
7 21

Производные пропорции

Правило Пример
4  =  8  или  7  =  14  или  8  =  17  или  4  =  7 ;
7 14 4 8 4 7 8 14
5  =  10  или  6  =  12  или  10  =  12  или  5  =  6 ;
6 12 5 10 5 6 10 12
9  =  18  или  3  =  6  или  6  =  18  или  9  =  3 .
3 6 9 18 3 9 18 6

Правило ! По трем известным членам пропорции всегда можно найтиее неизвестный член.

Пример
15  =  x , значит x = 15 • 14  = 15 • 2 = 30;
7 14 7
21  =  x , значит x = 21 • 9  = 21 • 3 = 63;
3 9 3
33  =  99 , значит x = 4 • 99  = 4 • 3 = 12.
4 x 33

Отношения

Определение Отношением двух чисел a и b называется их частное a : b.

Показывает во сколько раз a больше b или какую часть число a составляет от b.1

Примеры отношений

Пример 1 Отношение числа 16 к числу 4 равно 16 : 4 = 4, т.е. 16 в 4 раза больше чем,чем 4.

Пример 2 Отношение числа 4 к числу 12 равно 4 : 12 = 13, т.е. 4 составляет третьот числа 12.

Пример 3 Масса стакана с жидкостью равна 440г. Стакан весит 40г. Какую часть всей массы составляет масса стакана? Во сколько раз масса стакана с жидкостью больше массы жидкости?

Решение:

Масса стакана составляет 40 : 440 =  1 11 часть полной массы. Масса жидкости равна 440 - 40 = 400г; масса стакана с жидкостью больше массы самой жидкости в 440 : 400 = 1,1 раза.

formula-xyz.ru

Урок математики "Пропорция. Решение уравнений"

МБОУ «Большеатнинская СОШ»

Атнинского муниципального района Республики Татарстан

Разработка урока математики

по теме «Пропорция. Решение

уравнений» (6 класс)

2014 год

План конспект урока математики в 6 классе

Тема: «Пропорция. Решение уравнений.»

Цель: формировать навык нахождения неизвестных членов пропорции, решения уравнений, имеющих вид пропорции;

закрепить основное свойство пропорции на практике: при решении задач и при решении уравнений;

воспитывать умение оценивать объективно труд своих товарищей.

Тип урока: урок повторения изученного материала..

Вид урока: комбинированный.

Оборудование: учебник, интерактивная доска.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Посмотрите, всё ль в порядке:

Книжка, ручки и тетрадки.

Прозвенел сейчас звонок.

Начинается урок.

2. Устный счет.

Тейк офф – тач даун (встает тот, кто знает ответ на заданный вопрос)

  1. У стола квадратной формы отпилили 1 угол. Сколько углов осталось? (5)

  2. Сколько концов у трех с половиной палок? (8)

  3. Врач прописал 5 уколов. Через полчаса - по уколу. Через сколько часов после первого укола будет сделан последний укол? (2ч.)

  4. На столе горят 7 свечей, 3 свечи потушили. Сколько свечей останется на столе через 5-6 часов? (3)

  5. Назовите взаимно обратные числа.(3/5 и 5/3; 2,5 и 2,5)

  6. Найдите 10% от 500; 40% от 300; 50% от 600; 100% от 520.

3. Актуализация знаний.

1) Найдите отношения:

А) 12кг к 400г; (30)

Б) 40м к 2 км; (0,02)

Какой вывод можно сделать? (Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения).

2) Как называется равенство двух отношений? (пропорция)

4. Сообщение темы урока.

Континиус Раунд Робин (учитель задает вопрос и дает время подумать; четыре ученика в команде по очереди отвечают по кругу до того момента, пока учитель не остановит процесс).

Подумайте, что вы знаете про пропорции? (анализ ответов учащихся)

Сегодня на уроке продолжим работу над темой «Пропорция». Ребята, как вы думаете изученная нами тема «Пропорция» понадобится вам в жизни? Почему и где?

16 : 2 =8; 12 : 1,5 = 8;

Что вы можете сказать про эти записи? (Равенство двух отношении называется пропорцией).

Как называются 16 и 1,5? (крайние члены пропорции).

Как называются 2 и 12? (средние члены пропорции).

Как определить пропорция верна или неверна? (основное свойство пропорции).

Как найти неизвестный крайний член пропорции?

Как найти неизвестный средний член пропорции?

Что произойдет, если поменять местами крайние или средние члены пропорции? (получившиеся новые пропорции тоже верны).

5. Закрепление. Работа в тетрадях.

Задача: Настоящие охотники за приведениями получили новое оборудование – ультрасовременные ловушки. Две такие ловушки захватывают за один раз 18 приведений. Сколько ловушек надо взять на операцию, чтобы отловить одновременно 27 приведений?

2л – 18приведении

Хл - 27приведении

Составляем пропорцию и решаем её. Ответ: 3 ловушки.

Задача 2. Решение уравнений.

№777 (решить уравнения) используя структуру Финк - Райт – Раунд Робин (учитель задает вопрос и дает время подумать; ученики думают и записывают ответы на свой листочек; ученики по очереди зачитывают свой ответ с листочка).

Пришло время ответить на вопрос, заданный в начале урока. Ребята, как вы думаете изученная нами тема «Пропорция» понадобится вам в жизни? Почему и где? Для ответов мы используем структуру Таймд Пэа Шэа (учитель задает вопрос и дает время подумать; учитель озвучивает, кто начинает первым и сколько времени дается каждому из учеников для ответа; два ученика отвечают на вопрос по очереди в течение данного времени).

6.Домашнее задание №798(составить пропорцию), №799 (при каком значении х верна пропорция) на стр.131.

7. Самостоятельная работа. Выполнение теста по теме «Пропорция» (ваши тесты будут служит билетиками на выход).

8. Подведение итогов урока.

Как связаны между собой понятия «отношение» и «пропорция»?

Что называют отношение двух чисел?

Как называется равенство двух отношений?

Что называется пропорцией?

Каким свойством обладает пропорция?

videouroki.net

Составить пропорцию

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика  обречена быть хромой  и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Пример:

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

a:b=c:d

произведение крайних членов равно произведению средних

то есть

a∙d=b∙c

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти. 

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

a∙d=b∙c

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b,  c – числа:

Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях "Задачи на проценты. Часть 1!" и "Задачи на проценты. Часть 2!".

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

    > теорема синусов

    > отношение элементов в треугольнике

    > теорема тангенсов

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3  и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной  мере, так и для перевода из одной меры в другую:

  —  часы в минуты (и наоборот).

  —  единицы объёма, площади.

  —  длины, например мили в километры (и наоборот).

  —  градусы в радианы  (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35%  от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

700    –    100%

х       –     35 %

Решаем

Ответ: 245

Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие - x часов это 50 минут. Значит

1    –    60

х    –    50

Решаем:

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Ответ: 5/6

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

1    –    1,6

х    –    3

Ответ: 1,875 миль

Вы знаете, что для перевода  градусов в радианы (и обратно) существуют  формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.

Переведём 65 градусов в радианную меру.

Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.

Если записать отношение в общем виде, то получится

То есть, если необходимо перевести градусы в радианы, то подставляете в эту пропорцию градусы и вычисляете радианы; если необходимо перевести радианы в градусы, то подставляете радианы  и вычисляете градусы.

Можете изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!

Всего доброго!

С уважением, Александр 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru