Упрощение выражения содержащего корень вида. Упростите выражение корень


С1 ГИА по математике - упрощение выражений, содержащих корни

  

Рассмотрим задачи, связанные с упрощением выражений, содержащих иррациональные числа.

1.          

2.          

3.          

4.          

5.          

6.          

7.          

8.          

9.          

10.        

11.        

 

Решим несколько задач из задания С1:

1.Найдите значение выражения:

Избавимся от иррациональности в знаменателе. У нас там присутствует разность двух чисел, одно из которых иррациональное. Умножим дробь на сумму этих чисел, тогда в знаменателе окажется разность квадратов, что и позволит избавиться от иррациональности. Этот метод – умножения на сопряженное – используется также и в теории комплексных чисел.

Раскрываем скобки в числителе:

Ответ: -2

2.Найдите значение выражения:

Так же, домножая на сопряженное, избавляемся от иррациональности в знаменателе:

Ответ:1

В заданиях также часто встречаются такие:

3. Укажите наибольшее из следующих чисел:

а) 

б) 

в) 

г) 

Способ решения может быть таким: возведем все эти числа в квадрат. Наибольший квадрат соответствует наибольшему числу:

а) 

б) 

в) 

г) 

Осталось выбрать из чисел б) и г). Здесь нужно вспомнить, что 

Тогда  

Значит, среди представленных чисел число  – наибольшее.

Ответ: б)

  

Решим еще одно такое задание:

4. Укажите наибольшее из следующих чисел:

а) 

б) 

в) 

г) 

Возводим в квадраты:

а) 

б) 

в) 

г) 

Подумаем, к какому числу близко число ? Оно меньше 9, но больше 8, так как 

Тогда , и .

Число 6 – наибольшее.

Ответ: в)

Попробуем теперь упрощать выражения, содержащие корни.

5. Упростите выражение:

Воспользуемся свойствами корня. “Втащим” все под один корень:

Ответ: 

6. Найдите значение выражения:

Представим число 46 как 23*2:

Теперь переставим сомножители:

Ответ: 460.

Еще один тип заданий:

7. Какое из чисел является рациональным?

Рациональным является число, представимое сократимой дробью. Попробуем записать наши числа иначе:

Ни первое, ни третье числа не являются сократимыми дробями, значит, они иррациональны.

Ответ: 

  

easy-physic.ru

Упрощение выражения содержащего корень вида

Упрощение выражения, содержащего корень вида

Способ 1(представление подкоренного выражения в виде квадрата двучлена)

Рассмотрим на примере.

Пример 1. Упростить выражение

Решение.

Пусть .

Тогда . Приравняв, свободные от квадратного корня числа и коэффициенты, стоящие перед корнем получим систему уравнений:

или

Так как числа х, у – натуральные, то получим следующие системы:

или

и тем самым только система (3) имеет натуральные решения: .

Следовательно .

Ответ: .

Способ 2 (формула сложного радикала)

Пример 2. Разность является целым числом. Найти это число.

Решение.

Ответ:

Пример 3. Упростить выражение

Решение.

Упростим корень по формуле сложного радикала:

.

Тогда

.

Упростим корень по формуле сложного радикала:

Поэтому получим .

Ответ: .

Из ЕГЭ-2008г

Пример 4. Упростить выражение

Решение.

Способ 1 (формула сложного радикала).

Способ 2 (выделение полного квадрата). Пример 1.

Способ 3.

Пусть т.к.

Очевидно, что .

Возведем равенство в квадрат:

и т.к. , по .

(представление подкоренного выражения в виде куба двучлена)

Рассмотрим на примере.

Пример 4. Упростить выражение

Решение.

Пусть .

Тогда . Приравняв, свободные от квадратного корня числа и коэффициенты, стоящие перед корнем получим систему уравнений

или

Решать данную систему будем в натуральных числах .

Рассмотрим второе уравнение. С учетом условия , причем , получим следующие системы:

или

и тем самым только система (1) имеет натуральные решения: .

Следовательно .

Пример 5. Упростить выражение

Решение.

Упростим каждый корень.

Для упрощения квадратного корня воспользуемся формулой сложного радикала: .

Для упрощения кубического корня представим подкоренное выражение в виде куба двучлена: . Тогда .

Тем самым получим, что:

Ответ: .

gigabaza.ru

Упростить выражение ( корни) № 2

Подробности Категория: Рациональные дроби

 

     Упростить выражение: 

     Решение:

     Упростим выражение по действиям

      1. Преобразуем  дробь в скобке: 

     Вынесем в числителе общий множитель  за скобки: 

     Выполним сокращение, получим: 

    

     2. Вычислим используя формулу    

     3. Преобразуем вторую дробь 

     Разложим знаменатель с помощью формулы разности квадратов 

    

     Выполним сокращение: 

    

     4. Выполним деление: 

     5. Освободимся от иррациональности в знаменателе дроби для этого умножим числитель и знаменатель на :

    

     Ответ: 

 

  • < Назад
  • Вперёд >

metodtest.ru