Система трех уравнений с тремя неизвестными. Система квадратных уравнений с тремя неизвестными


Уравнение с тремя неизвестными

1. Одно уравнение с тремя неизвестными.

Рассмотрим, например, такое уравнение с тремя неизвестными:

     15x + 10y + 8z = 164.     (1)

Можно показать, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. Действительно, взяв для x и y какие-либо произвольные числа, например x = 2, y = 5, и подставив эти значения в уравнение, получим:

15 * 2 + 10 * 5 + 8z = 164,

или

80 + 8z = 164.

Откуда найдем:

Дав другие произвольные значения x и y, получим другое значение для z и т. д.

Итак, одно уравнение с тремя неизвестными имеет (в общем случае) бесконечное множество решений.

2. Система двух уравнений с тремя неизвестными.

Теперь рассмотрим систему двух уравнений с тремя неизвестными.

Присоединим к уравнению (1), например, следующее уравнение:

     x + y + z = 16.    (2)

Итак, имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными. Покажем, что и эта система имеет бесконечное множество решений. Убедимся подстановкой, что системе удовлетворяют, например, следующие тройки чисел:

1) x = 2, y = 11, z = 3; 2) x = 4, y = 4, z = 8.

Дадим теперь одному из неизвестных, хотя бы x, какое-либо произвольное значение, например . Подставив это значение в уравнения (1) и (2), получим:

Решив эту систему, найдем:

Итак, система имеет еще решения:

Взяв за x другое значение, получим новую систему с двумя неизвестными, из которой найдем y и z, и т. д.

Значит, вообще говоря, система двух уравнений с тремя неизвестными тоже имеет бесконечное множество решений.

Однако можно привести пример системы, не имеющей ни одного решения, например:

Какие бы значения ни имели x, y и z, выражение x – y + 2z не может одновременно быть равно 5 и 7.

mthm.ru

квадратное, систему с тремя неизвестными на Kak-Legko.ru

Очень часто мы сталкиваемся с уравнениями различного рода, ведь с их помощью можно высчитать нужные нам числа. Вообще существует очень много вариантов таких выражений, и для каждого из них есть свой алгоритм решения. Для того, чтобы правильно решить уравнение, нужно определиться к какому виду оно относится. Рассмотрим подробнее.

Необходимо:

— лист бумаги;— пишущая ручка;— калькулятор (если тяжело считать в уме).

Инструкция:

  • Рассмотрим вначале простое уравнение с тремя неизвестными. Обычно оно дополняется еще одной системой из двух простых. Чтобы справиться с уравнением подобного рода, лучше всего идти путем выражения одних переменных через другие. Главная цель нашего расчета – это превращение данной сложной системы в простое уравнение с одним неизвестным. Далее остается вопрос техники – просто подставляем найденное до этого значение в другие выражения и находим все неизвестные.
  • Еще одним способом решения уравнения с тремя неизвестными является вычитание одного из другого. Главное убедиться, что существует возможность умножения одного из них на такую переменную или число, чтоб произошло сокращение сразу же двух неизвестных при вычитании. Если такая возможность есть – можете смело ею воспользоваться, и тогда решение не составит Вам большого труда. Правда, чтобы воспользоваться таким способом, нужно помнить, что умножать на одно и то же число нужно как правую, так и левую часть выражения. В принципе, этим правилом стоит пользоваться и при вычитании.
  • Как решать уравнение с тремя неизвестными по-другому? Есть еще один способ. Сначала Вам нужно переписать все уравнения в таком виде: «а1.1х1 + a1.2х2 + а1.3х3 = b1», «а2.1х1 + а2.2х2 + а2.3х3 = b2», «а3.1х1 + а3.2х2 + а3.3х3 = b3». Далее необходимо составить матрицы: коэффициентов при х (а), неизвестных (х) и свободных членов (b). Стоит обратить внимание, что при умножении матрицы коэффициентов и неизвестных, можно получить матрицу, которая будет равной матрице свободных членов: а * х = b. Далее находим матрицу «а в степени (-1)», выяснив до этого ее определитель, который не должен быть равным нулю. Затем умножаем матрицу «а в степени (-1)» на матрицу «b», получая, при этом, нужную нам матрицу «х».
  • Есть еще один способ, и называется он метод Крамера. Суть его заключается в том, чтобы найти определитель 3-го порядка (обозначим его как D), который будет соответствовать матрице заданной системы. Далее нужно будет последовательно найти 3 определителя: «D1», «D2» и «D3», при этом, нужно будет подставлять значения свободных членов вместо значений соответствующих столбцов. В конце находим «х», проделывая простую процедуру: «х1 = D1 / D»; «х2 = D2 / D»; «х3 = D3 / D».
  • Теперь попробуем выяснить, как решить уравнение, которое называется квадратным. Его еще можно представить в виде: «ax2 + bx + c = 0», где «а», «b» и «с» – это коэффициенты, а «х» – искомое число. Если изобразить графически это уравнение, то у нас получится парабола. Ее точки и их количество можно узнать по значению дискриминанта: «D = b2 — 4ac». Если дискриминант больше нуля, то у параболы существует 2 точки пересечения; если равна нулю – тогда всего одна, а если меньше нуля – то, соответственно, и точек пересечения нет. Для того чтоб найти сами корни, необходимо подставлять значения в уравнение: «х1,2 = (-b + квадратный корень из D) / (2a)». Вершины параболы, а точнее их координаты можно найти таким способом: «х0 = -b / 2a», «у0 = у * (х0)». Если коэффициент «а» больше нуля, то ветви параболы будут направлены вверх, если наоборот — то вниз.

Похожие инструкции

Найти область определения функции

Очень часто нам приходится сталкиваться с математическими примерами и уравнениями, которые на первый...

Как найти площадь ромба

Ромбом называется четырехугольник, стороны которого равные. Если при этом у него еще и углы прямые, то он...

Как считать проценты

Абсолютно у всех в течение жизни появляется необходимость посчитать проценты. Школьники часто недоумевают...

Как найти дискриминант

В процессе решения технических задач или помощи ребенку в выполнении домашнего задания вы можете...

kak-legko.ru

Система трех уравнений с тремя неизвестными

Присоединим к уравнениям

     15x + 10y + 8z = 164,      (1)     x + y + z = 16      (2)

третье уравнение:

    z = 2y.    (3)

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными.

Прежде всего заметим, что все свойства, о которых говорилось в § 48, остаются справедливыми и для системы уравнений с тремя (и более) неизвестными. Поэтому для решения данной системы применимы те же способы, что и для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

1. Способ алгебраического сложения.

Так как уравнение (3) уже не содержит x, то исключим x из системы уравнений (1) и (2). Для этого умножим обе части уравнения (2) на 15. Получим систему:

Коэффициенты при x равны. Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим:

5y + 7z = 76.

Получили уравнение с двумя неизвестными y и z. Вместе с уравнением (3) оно образует систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решив ее одним из способов, изложенных в § 80, найдем:

y = 4; z = 8.

Подставив эти значения в (1) или (2) уравнение, найдем: x = 4.

Итак, если данная система трех уравнений с тремя неизвестными имеет решение, то это решение будет следующей тройкой чисел:

x = 4; y = 4; z = 8.

Подставляя эти значения в данную систему, можно убедиться, что полученная тройка чисел является решением системы.

2. Способ подстановки.

Для данной системы этот способ более удобен, так как в уравнении (3) неизвестное z уже выражено через y. Сделав подстановку в уравнении (1) и (2), получим:

или

(4) (5)

Решим эту систему любым способом, изложенным в § 80, например способом алгебраического сложения.

Умножим уравнение (5) на 15 и вычтем из него уравнение (4):

19y = 76.

Отсюда найдем: y = 4.

Подставив найденное значение y в уравнение (5), найдем: x = 4. Наконец, подставив значение y в (3), найдем: z = 8. Получили то же решение, что и первым способом.

Решим еще систему способом алгебраического сложения:

Исключим одно из неизвестных, например z. Для этого сложим первое и второе уравнение, получим:

3x + y = 13.

Умножим теперь второе уравнение на 2 и сложим с третьим, получим:

5x + 6y = 26.

Оба полученных уравнения образуют систему уравнений с двумя неизвестными:

Решим ее одним из известных способов, найдем: x = 4, y = 1. Подставив эти значения в одно из данных уравнений, например в первое, найдем: z = 2. Итак, если данная система имеет решение, то оно может быть только такое: x = 4; y = 1; z = 2. Подставив эти значения во второе и третье уравнения, убедимся, что они действительно дают решение данной системы.

mthm.ru

Система трех квадратных уравнений : Олимпиадные задачи (М)

Решение Коровьев верное и очень естественное.Конечно, тут есть варианты, поскольку 1-параметрических решений бесконечно много. Можно, например, найти двухпараметрическое решение первых двух уравнений (это просто), подставить его в третье и получить уравнение эллиптической кривой, на которой имеется бесконечно много рациональных точек.Для исходной системы это , где вспомогательные переменные, - параметр. Затем исхитриться вычислить хотя бы одну точку бесконечного порядка на этой кривой (это уже чуть сложней),здесь это , и перейти от к . Однопараметрическое решение готово.Привожу 1-параметрическое решение. полученное таким путем, для системы более общей, а именно:где рациональное число

Отсюда следует, что для любого прямоугольника с рациональными длинами сторон, в плоскости прямоугольника найдется бесконечно много точек, расстояния от которых до 3 вершин этого прямоугольника рациональные числа. Для квадрата это, как правильно заметил ИСН, "задача Штейнгауза без одного угла".Можно доказать также, что такие точки образуют множество, всюду плотное на плоскости.

dxdy.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Алгебра

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

      Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение, имеющее вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (1) является верным равенством.

      Пример 1. Найти решение уравнения

      Решение. Выразим из равенства (2) переменную   y   через переменную   x :

(3)

      Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

где   x   – любое число.

      Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел   (x ; y)   является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число   x   можно взять любым, а число   y   после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

      Определение 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными   x   и   y   называют систему уравнений, имеющую вид

(4)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2   – заданные числа.

      Определение 4. В системе уравнений (4) числа   a1 ,  b1 ,  a2 ,  b2   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   c1 ,  c2  – свободными членами.

      Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел   (x ; y) ,   являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

      Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

      Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»

      Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.

      Пример 2 . Решить систему уравнений

(5)

      Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное   х.

      С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном   x   в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

      Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при   x   во втором уравнении (число   7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при   x   в первом уравнении (число   2 ), то система (5) примет вид

 

(6)

      Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

      Из второго уравнения находим   y = 3 ,   и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

      Ответ.   (–2 ; 3) .

      Пример 3. Найти все значения параметра   p ,   при которых система уравнений

(7)

      а) имеет единственное решение;

      б) имеет бесконечно много решений;

      в) не имеет решений.

      Решение. Выражая   x   через   y   из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо   x   в первое уравнение системы (7), получим

      Следовательно, система (7) равносильна системе

(8)

      Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра   p .   Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

y (2 – p) (2 + p) = 2 + p(9)

      Если   ,   то уравнение (9) имеет единственное решение

      Следовательно, система (8) равносильна системе

      Таким образом, в случае, когда   ,   система (7) имеет единственное решение

      Если   p = – 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

,

и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

,

где   y   – любое число.

      Если   p = 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Определение 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными   x ,   y     и   z   называют систему уравнений, имеющую вид

(10)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  d1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  d2 ,  a3 ,  b3 ,  c3 ,  d3   – заданные числа.

      Определение 8. В системе уравнений (10) числа   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  a3 ,  b3 ,  c3   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   d1 ,  d2 ,  d3   – свободными членами.

      Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

      Пример 4 . Решить систему уравнений

(11)

      Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.

      Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное   y ,  совершив над системой (11) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
  • из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

(12)

      Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное   x ,  совершив над системой (12) следующие преобразования:

  • первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
  • из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

(13)

      Из системы (13) последовательно находим

z = – 2 ;   x = 1 ;   y = 2 .

      Ответ.   (1 ; 2 ; –2) .

      Пример 5. Решить систему уравнений

(14)

      Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

      Если числа   (x ; y ; z)   являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа   (x ; y ; z)   должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

      Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел   (3 ; 0 ; –1)   в исходную систему (14), убеждаемся, что числа   (3 ; 0 ; –1)   действительно являются ее решением.

      Ответ:   (3 ; 0 ; –1) .

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Глава А5. Система трех уравнений с тремя неизвестными

Глава П5. Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

Рассмотрим систему уравнений

, , (1)

с неизвестными x, y, z (коэффициенты , , …, и свободные члены , , предположим данными). Введем обозначения

, , , .

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется определителем данной системы.

Полезно заметить, что определители , , получаются из определителя при помощи замены соответственно его первого, второго и, наконец, третьего столбца столбцом свободных членов данной системы. Если , то система (1) имеет единственное решение; оно определяется формулами

, , .

Предположим теперь, что определитель системы равен нулю: . Если в случае хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система (1) совсем не имеет решений.

В случае, когда и одновременно , , , система (1) также может совсем не иметь решений; но если система (1) при этих условиях имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много различных решений. Однородной системой трех уравнений первой степени с тремя неизвестными называется система вида

, , (2)

то есть система уравнений, свободные члены которых равны нулю. Очевидно, что такая система всегда имеет решение: x=0, y=0, z=0; оно называется нулевым. Если , то это решение является единственным. Если же , то однородная система (2) имеет бесконечно много ненулевых решений.

a-geometry.narod.ru

2. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными

2.1. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными с

определителем, отличным от нуля.

В качестве приложения изложенной выше теории рассмотрим систему трех линейных

уравнений с тремя неизвестными:

++=,

+ +=,

+ +=,

(коэффициенты ,

, ,

, ,

, ,

, , и свободные

члены ,

, считаются

заданными). Тройка чисел

, ,

называется решением системы (3.19), если подстановка этих чисел на место

, ,

в систему (3.19) обращает все три уравнения (3.19) в тождества.

Фундаментальную роль в дальнейшем будут играть следующие четыре определителя:

= =

= =

Определитель

принято называть определителем системы (3.19) (он составлен из коэффициентов при

неизвестных). Определители

, и

получаются из определителя системы

посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго

и третьего столбцов.

Для исключения из системы (3.19) неизвестных

и умножим уравнения

(3.19) соответственно на алгебраические дополнения

, ,

, элементов первого столбца определителя

системы, и после этого сложим полученные при этом уравнения. В результате

получим:

(++)+(++)+(++)=

= ++.

Учитывая, что сумма произведений элементов данного столбца определителя на

соответствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца

равна определителю (нулю) (см. свойство 9), получим:

++=,++= 0,

++= 0.

Кроме того, посредством разложения определителя

по элементам первого столбца получается формула:

= ++.

С помощью формул (3.21) и (3.22) равенство (3.20) перепишется в следующем (не

содержащем неизвестных

и ) виде:

= .

Совершенно аналогично выводятся из системы (3.19) равенства =и=.

Таким образом, мы установили, что система уравнений

= ,=,=

является следствием исходной системы (3.19).

В дальнейшем мы отдельно рассмотрим два случая:

1) когда определитель системы отличен от нуля,

2) когда этот определитель равен нулю.

Итак, пусть

0. Тогда из системы (3.23) мы сразу получаем формулы для неизвестных, называемые

формулами Крамера:

= /,=/,=/.

Полученные нами формулы Крамера дают решение системы (3.23) и потому

доказывают единственность решения исходной системы (3.19), ибо система (3.23)

является следствием системы (3.19), и всякое решение системы (3.19) обязано

быть решением и системы (3.23).

Итак, мы доказали, что если у исходной системы (3.19) существует при

0 решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера

(3.24).

Чтобы доказать, что решение в самом деле существует, мы должны подставить в

исходную систему (3.19) на место х, у и z их значения, определяемые формулами

Крамера (3.24), и убедиться в том, что все три уравнения (3.19) обращаются

при этом в тождества. Убедимся, например, что первое уравнение (3.19)

обращается в тождество при подстановке значений х, у и z, определяемых

формулами Крамера (3.24). Учитывая, что

= ++,=++,

= ++,

получим, подставив в левую часть первого из уравнений (2.19) значения

, и

, определяемые формулами Крамера:

++=++=

=

.

Группируя внутри фигурной скобки члены относительно A,, А2 и Л3, получим, что:

++=

.

В силу свойства 9 в последнем равенстве обе квадратные скобки равны нулю, а

круглая скобка равна определителю

. Таким образом, мы получим

+

+=

, и обращение в тождество первого уравнения системы (3.19) установлено.

Аналогично устанавливается обращение в тождество второго и третьего уравнений

(3.19).

Мы приходим к следующему выводу: если определитель

системы (3.19) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение

этой системы, определяемое формулами Крамера (3.24).

studfiles.net