Презентация на тему: Сечения многогранников. Сечение многогранников плоскостью


Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Эта статья для тех, кто хочет научиться строить сечения. Она содержит 11 заданий для построения сечений, подсказки и ответы к каждому заданию. Рекомендую сначала прочитать эту статью и посмотреть это видео.

Вспомним, что сечение многогранника плоскостью представляет собой плоский многоугольник, вершины которого принадлежат сторонам, а ребра - граням многогранника. Две соседние вершины принадлежат одной грани многогранника. 

Чтобы найти точку, лежащую одновременно в двух плоскостях, нужно найти точку пересечения прямой, лежащей в первой плоскости, с прямой, лежащей во второй плоскости.

 

В подсказках и ответах изображение  дополнительных прямых, используемых при построении сечения, сплошными линиями или пунктирными, не зависит от того, видимы эти прямые или нет.

Рядом с каждой дополнительной прямой указан ее порядковый номер при построении сечения. Все прямые проведены через две точки, принадлежащие определенной плоскости. Прямые пронумерованы в порядке их построения. Рекомендуется при использовании подсказки и воспроизведении построения сечения проговаривать, какой плоскости принадлежит данная прямая, каким плоскостям принадлежит точка их пересечения.

Постройте сечения, проходящие через точки .

Задание 1:

Подсказка. показать

Ответ. показать

Задание 2:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

Задание 3:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

Задание 4:

 

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

 

Задание 5:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

 

Задание 6:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 7:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 8:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 9:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 10:

 

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

 

Задание 11:

 

Подсказка: показать

Ответ: показать

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Примеры построения сечений многогранников

Как известно, любой экзамен по математике содержит в качестве основной части решение задач. Умение решать задачи – основной показатель уровня математического развития.

Достаточно часто на школьных экзаменах, а так же на экзаменах, проводимых в ВУЗах и техникумах,  встречаются случаи, когда ученики, показывающие хорошие результаты в области теории, знающие все необходимые определения и теоремы, запутываются при решении весьма простых задач.

За годы обучения в школе каждый ученик решает большое число задач, но при этом для всех учеников задачи предлагаются одни и те же. И если некоторые ученики усваивают общие правила и методы решения задач, то другие, встретившись с задачей незнакомого вида, даже не знают, как к ней подступиться.

Одной из причин такого положения является то, что если одни ученики вникают в ход решения задачи и стараются осознать и понять общие приёмы и методы их решения, то другие не задумываются над этим, стараются как можно быстрее решить предложенные задачи.

Многие учащиеся не анализируют решаемые задачи, не выделяют для себя общие приёмы и способы решения. В таких случаях задачи решаются только ради получения нужного ответа.

Так, например, многие учащиеся даже не знают, в чём суть решения задач на построение. А ведь задачи на построение являются обязательными задачами в курсе стереометрии. Эти задачи не только красивы и оригинальны в методах своего решения, но и имеют большую практическую ценность.

Благодаря задачам на построение развивается способность мысленно представлять себе ту или иную геометрическую фигуру, развивается пространственное мышление, логическое мышление, а так же геометрическая интуиция. Задачи на построение развивают навыки решения проблем практического характера.

Задачи на построения не являются простыми, так как единого правила или алгоритма для их решения не существует. Каждая новая задача уникальна и требует индивидуального подхода к решению.

Процесс решения любой задачи на построение – это последовательность некоторых промежуточных построений, приводящих к цели.

Построение сечений многогранников базируется на следующих аксиомах:

1) Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в данной плоскости;

2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.

Примеры построения сечений многогранников

Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С. Рассмотрим следующие примеры.

Метод следов

I. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости одного из оснований призмы и точку А.

Случай 1.

Точка А принадлежит другому основанию призмы (или грани, параллельной прямой g) – секущая плоскость пересекает это основание (грань) по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Точка А принадлежит боковой грани призмы:

1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;

2) проводится прямая через точки А и D.

Отрезок ВС прямой AD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую g в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.

II. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости основания пирамиды и точку А.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Случай 1.

Если точка А принадлежит грани, параллельной прямой g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Если точка А, принадлежащая сечению, расположена на грани, не параллельной грани следу g, то:

1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;

2) проводится прямая через точки А и D.

Отрезок ВС прямой АD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из боковых ребер.

Задачи на построение сечений через точку на грани

1. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью, проходящей через вершину С и точки М и N на гранях АСD и АВС соответственно.

Точки С и М лежат на грани АСD, значит, и прямая СМ лежит в плоскости этой грани (рис. 1).

Пусть Р – точка пересечения прямых СМ и АD. Аналогично, точки С и N лежат в грани АСВ, значит прямая СN лежит в плоскости этой грани. Пусть Q – точка пересечения прямых СN и АВ. Точки Р и Q принадлежат и плоскости сечения, и грани АВD. Поэтому отрезок РQ – сторона сечения. Итак, треугольник СРQ – искомое сечение.

2. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью MPN, где точки M, N, P лежат соответственно на ребре АD, в грани ВСD и в грани АВС, причем MN не параллельно плоскости грани АВС (рис. 2).

 Остались вопросы? Не знаете, как построить сечение многогранника?Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Сечение многогранников

Разделы: Математика

Введение.

Особенность человеческого мышления такова, что даже простейшее восприятие и запоминание требуют неоднократного обращения к материалу. Начальные темы стереометрии изучаются длительное время, поэтому процесс забывания неизбежен. Следовательно, программой необходимо предусмотреть уроки тематического повторения, работающие на перспективу применения этих знаний в новой ситуации. Обобщающее повторение начал стереометрии имеет особое значение, т.к. является фундаментом для решения задач на построение сечений, нахождение их площадей, нахождение площадей поверхности и объемов и др. Для того, чтобы избежать однообразия и активизировать самостоятельную деятельность учащихся, необходимо расширить знания учащихся, предоставить другие формы деятельности. Современные информационные технологии позволяют  сделать это. Новыми преимуществами являются: возможность остановок в непрерывном процессе построения изображения, возможность возврата к более ранним стадиям процесса, возможность установки имеющихся материалов в информационных сетях разного уровня (что обеспечивает широкий доступ к ним) и, наконец, возможность использования мультимедийных технологий для анимации и озвучивания тех или иных фрагментов процесса обучения.

На основании этого вашему вниманию представлен обобщающий, интегрированный урок по теме «Сечение многогранников» в 10-м

Тема урока: «Сечение многогранников»

Цель урока:  Обобщить, систематизировать и  закрепить полученные знания и рассмотреть их развитие в перспективе.

Задачи урока:

Образовательная:

  • обобщить, систематизировать и  закрепить полученные знания на предыдущих уроках,
  • при помощи информационных технологий построить сечения,
  • проверить свои знания с помощью теста.

Развивающая:

  • развитие геометрической интуиции на образы, свойства, методы построения.
  • развитие  пространственного мышления, пространственной абстракции, их общности, анализа и синтеза геометрических образов, пространственного воображения.
  • развитие логического мышления (владение правилами логического вывода и построения, владение разными методами геометрии).

Воспитательная: воспитывать активность и самостоятельность, аккуратность учащихся, интерес к предмету.

Тип урока: обобщающий, интегрированный урок.

Форма проведения урока: урок с компьютером.

Методы: словесные, наглядные, межпредметные связи, проектная деятельность.

Оборудование урока: компьютеры, проектор, экран.

План урока

  1. Организационный момент - 1 мин.
  2. Презентация тема «Сечение многогранника» - 3 мин.
    • основные понятия
    • демонстрация сечений
  1. Устное решение задач.  5 мин.
  2. Презентация методов построения сечений - 7 мин.
  3. Аксиометрический  метод: метод следов
  • Аксиометрический  метод: метод вспомогательных сечений
  • Комбинированный метод.
  1. Гимнастика для глаз - 1 мин.
  2. Защита проектов - 15 мин
  3. Тест по теме «Сечение многогранника»-10 мин
  4. Подведение итогов урока. Рефлексия. - 2 мин.

Ход урока

Организация начала занятий.

Учитель: Здравствуйте, ребята. Наши последние занятия были посвящены теме «Сечение многогранника», мы изучили основные определения, познакомились с различными методами построения сечений, решали задачи на построение и конечно же анализировали свои решения и результаты. Сегодня наш урок интегрированный, на занятии мы повторим,  обобщим, закрепим полученные знания, как на уроках геометрии, так  и на уроках информатики. Мы решим задачи на построение  сечений с помощь компьютера и конечно продемонстрируем свои творческие, проектные работы.

Учитель: Для начала вспомним, что мы называем многогранником и сечением многогранника.

Ученик 1: Многогранником называется - тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Ученик 2: Сечением поверхности геометрических тел называется - плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Учитель: Замечательно, а каким способом можно задать секущую плоскость.

Ученик 3: Через три точки, по теореме о способе задания плоскости: «Через три точки можно провести плоскость и только одну».

Ученик 4: Через прямую и не лежащую на ней плоскость, по теореме «Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и только одну».

 Ученик 5: Через две пересекающиеся прямые, по аксиоме «Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и только одну».

Ученик 6: Через две параллельные прямые, по определению «параллельных прямых: прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются».

Учитель: А сейчас, я вам продемонстрирую сечения, а вы назовете их.

Ученик 7: Сечение параллельное плоскости основания, диагональное сечение, сечение параллельное плоскости грани.

Ученик 8: Если перед нами параллелепипед или прямая призма, то это может быть сечение перпендикулярное плоскости основания.

Делаем выводы:

  • Секущая плоскость пересекает грани многогранника по прямым, а точнее по отрезкам.
  • Так как секущая плоскость идет непрерывно, то разрезы образуют замкнутую фигуру-многоугольник.
  •  Полученный таким образом многоугольник и будет сечением тела.

3. Устное решение задач.  

Учитель: Вы хорошо справились с теоретическими вопросами, предлагаю устно решить задачи.

  • Докажите, что сечение, проходящее через середины ребер пирамиды параллельна плоскости основания данной пирамиды.
  • Найдите площадь данного сечения, если площадь основания равно 96. (24)
  • Найдите площадь и периметр сечения, параллельного плоскости основания тетраэдра, ребро которого равно 10 см.   (15 и )
  • Найдите диагональное сечение куба, ребро которого 8 см. ()
  • Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 4 см, а высота 8 см. Найдите площадь диагонального сечения. (40)
  • Диагональное сечение куба имеет площадь , найдите ребро куба. (4)
  • Докажите, что сечение параллельное боковой грани прямой призмы, перпендикулярно плоскости основания этой призмы.

4. Презентация методов построения сечений.

Учитель: Настало время поговорить о методах построения сечений, вспомним, какие мы рассматривали методы построения сечений?

Ученик: метод следов, комбинированный метод, метод вспомогательных сечений.

Учитель: Итак, метод следов, на чём основывается?

Ученик: На аксиомах стереометрии, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Учитель: Вспомним метод следов на практике, для этого решим задачу.

Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G

  1. Проводим  через точки F и O прямую  FO.
  2. Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью.
  3. Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB.

Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях?

Аксиома:   Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема:  Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

  1. Проводим  прямую АВ, до пересечения с прямой FO.
  2. Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.
  3. Аналогичным образом получим точку R.
  4. Через точки H и R, проводим прямую HR – след секущей плоскости

Почему мы уверены, что прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

Аксиома:  Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

  • Так как прямая HR, пересекает нижнюю грань многогранника, то она пересекает нижнее основание в точках Е и S.
  • Таким  образом, отрезок ES есть разрез грани ABCD.
  • Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC).

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Аксиома:  Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Все разрезы образовали пятиугольник OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящейчерез точки O, F, G.

Задание № 1. Задание № 2  

Постройте сечения призмы по трем данным точкам.

А теперь проверь себя!!!

Отлично!

Учитель: Метод вспомогательных сечений.

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы  секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственное». Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC.

  1. Находим точки Р', Q' и R' и затем строим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, определяемой какими-нибудь двумя пересекающимися прямыми из трех прямых MP, MQ и МR. Например, плоскостью МРQ.
  2. Построим другое вспомогательное сечение пирамиды плоскостью  определяемой двумя пересекающимися прямыми, одна из которых — это прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след плоскости PQR. Например, прямая МС.
  3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р'Q' и R'С, а затем строим прямую MF — линию пересечения плоскостей.
  4. В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находим точку F'=PQ пересекается MF.
  5. Так как точка F' лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости PQR. Тогда и прямая RF, лежит в плоскости PQR. Проводим прямую RF', и находим точку С'=RF' пересекается МС. Точка С', таким образом, лежит и на прямой МС, и в плоскости PQR, т. е. она является следом плоскости PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).
  6. Дальнейшие построения вполне понятны: строим C'Q, D', D'R, А', А'Р, РС'. Четырехугольник РС'D'А' — искомое сечение.

Задание № 3. Построить сечение призмы по трем данным точкам самостоятельно.

Желаю успеха!

Отлично!

Учитель: Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Постройте сечение куба, проходящее через точки  P, R, Q.

  1. Точки P и R лежат в одной плоскости,  проведём прямую PR.
  2. Прямая PR лежит в плоскости AA’B’B, точка Q лежит в плоскости DD’C’C, параллельной  AA’B’B.
  3. Проведём через точку Q прямую параллельную прямой PR, получим точку K

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Теорема. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

  1. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L.
  2. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK
  3. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.
  4. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости BB’C’C,параллельной плоскости  AA’D’D.
  5. Проведём прямую параллельную прямой RF, через точку Q, получим точку M.
  6. Проведем PM
  7. Полученный шестиугольник является искомым сечением.

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Аксиома:   Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема:    Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Теорема: Если две параллельные плоскости  пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Задание № 4

Постройте сечение куба, по трем данным точкам,  а потом проверьте себя, кликнув по этому рисунку

5. Гимнастика для глаз

6. Далее ребята защищают свои мини проекты по темам:

  1. «Многоугольники, полученные в сечении куба».
  2. «Нахождение площади сечений в многогранниках».

7. Тест по теме «Сечения многогранников».

8. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Приложение 1. Презентация «Сечение многогранников»

Приложение 2. Презентация «Нахождение площади сечения в многогранниках»

Приложение 3. Презентация «Многоугольники, получающиеся в сечении куба»

Приложение 4. Обзор электронных образовательных ресурсов

Приложение 5. Тест.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Сечение многогранников плоскостью

Плоская фигура, полученная при пересечении любого многогранника плоскостью, представляет собой некоторый многоугольник. Вершины этого многоугольника находятся как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны многоугольника строятся как линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью.Сечение призмы проектирующей плоскостью (фиг. 302).

I, а. Пятиугольная прямая призма поставлена основанием на плоскость П1 и рассечена фронтально-проектирующей плоскостью δ.Требуется:а) построить проекции сечения;б) найти натуральную величину фигуры сечения;в) построить развертку поверхности усеченной призмы;г) построить аксонометрическую проекцию усеченной призмы.I, б. Нахождение проекций сечений. Фронтальная проекция В2С2А2D2Е2 фигуры сечения совпадает с фронтальной проекцией δ2 плоскости δ, так как вершины фигуры сечения являются точками пересечения ребер призмы с плоскостью δ. Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, так как призма прямая и ее ребра и грани перпендикулярны плоскости П1. Профильная проекция фигуры сечения выявится многоугольником, полученным путем построения третьей проекции по двум данным.I, в. Нахождение натуральной величины фигуры сечения.а) Метод совмещения. Совместим плоскость δ с плоскостью П1. За ось вращения принимаем горизонтальный след плоскости δ. Проекция δ2 совместится с осью х12. Пользуясь правилом совмещения, находим натуральную величину фигуры сечения ¯A¯B¯C¯D¯E.б) Метод перемены плоскостей проекций. Принимаем плоскость δ за новую плоскость проекций, а проекцию δ2 - за новую ось проекций s24. Проводим из проекций B2C2A2D2 и Е2 перпендикуляры к новой оси s24 и на них откладываем глубины вершин фигуры сечения, например: E2E4 = E1E4 и т.д. Точки A4, B4, С4, D4, E4 последовательно соединяем прямыми и получаем натуральную величину фигуры сечения. Фигуру сечения и ее проекции на чертеже выделяют штриховкой под углом 45° к оси х12. Штриховка может быть наклонена как вправо, так и влево, но для всех проекций и фигуры сечения штриховку следует выполнять в одну сторону.II. Построение развертки поверхности усеченной призмы. Строим развертку боковой поверхности данной призмы. Затем на соответствующих боковых ребрах откладываем размеры оставшихся после отсечения плоскостью частей ребер H, Н1, Н2, h4 и Н4, которые берем с фронтальной и профильной проекций. Соединив последовательно прямыми точки DO, ЕO, АO, ВO, СO, DO, получим линию сечения, по которой плоскость δ рассекает призму на две части. Для получения развертки поверхности усеченной призмы к соответствующим боковым граням пристраиваем фигуру сечения и нижнее основание.III. Построение аксонометрических проекций усеченной призмы.III, а. Строим аксонометрическую проекцию призмы, пользуясь координатами на (фиг.302, I, а).III, б. На соответствующих ребрах боковых граней откладываем от нижнего основания оставшиеся части ребер, используя для этого размеры Н, Н1, Н3, Н3, h5. Полученные точки А', В', С, D', Е' и А' соединяем прямыми. Определяем невидимые и видимые элементы и обводим их соответствующими линиями.Сечение призмы плоскостью общего положения (фиг.303).

I, а. Треугольная прямая призма поставлена основанием на плоскость П1 и рассечена плоскостью а общего положения.Требуется: а) построить проекции сечения;б) найти натуральную величину фигуры сечения;в) построить развертку поверхности усеченной призмы;г) построить аксонометрическую проекцию усеченной призмы. В этом случае горизонтальная проекция фигуры сечения сливается с горизонтальной проекцией призмы, так как боковые ребра и грани призмы перпендикулярны плоскости П1. Для построения фронтальной проекции воспользуемся горизонталями. Через точку А1 - горизонтальную проекцию ребра - проводим прямую, параллельную проекции следа k1 - горизонтальную проекцию h2 горизонтали. Затем найдем ее фронтальную проекцию h3, которая, пересекаясь с фронтальной проекцией ребра D2E2 в точке А2 определит фронтальную проекцию точки пересечения ребра призмы с плоскостью а.I, б. Аналогичным построением находим остальные точки пересечения ребер призмы плоскостью а (В2, С2), после чего соединим последовательно прямыми точки А2, В2, С2 и А2 и получим фронтальную проекцию А2В2С2 фигуры сечения - треугольника.I, в. Натуральную величину фигуры сечения находим путем совмещения плоскости а с плоскостью П1 вращением вокруг проекции следа k1II и III. Построение развертки поверхности усеченной призмы и аксонометрических проекций аналогично соответствующим построениям для пятиугольной призмы (фиг.302).Сечение пирамиды фронтально - проектирующей плоскостью (фиг. 304).

1, а. Правильная четырехугольная пирамида поставлена основанием на плоскость П1 и рассечена фронтально-проектирующей плоскостью б.Требуется:а) построить проекции сечения;б) найти натуральную величину фигуры сечения;в) построить развертку поверхности усеченной пирамиды;г) построить аксонометрическую проекцию усеченной пирамиды (фиг.304, а).I. б. Фронтальная проекция фигуры сечения - отрезок E2F2К2М2 - совпадает с фронтальной проекцией δ2 так как точки пересечения ребер пирамиды с секущей плоскостью лежат в плоскости δ. Горизонтальные проекции точек пересечения находят при помощи вертикальных линий связи на горизонтальных проекциях соответствующих ребер, например: точку Е1 на горизонтальной проекции ребра S1A1, точку F1на S1B1 и т.д. Соединив последовательно прямыми точки Къ Ei, &i, JWi и Кг, получим горизонтальную проекцию фигуры сечения. Профильная проекция фигуры сечения - четырехугольник E3F3M3K3 находится, как третья проекция, по двум данным (фиг.304,б).I. в. Натуральная величина фигуры сечения находится способом совмещения плоскости δ с плоскостью П1 и способом перемены плоскостей проекций, где за новую плоскость П4 принята плоскость δ, а за новую ось проекций S24 - проекция δ2 (фиг.304,в).II. Для построения развертки боковой поверхности находим натуральную величину ребра пирамиды путем построения прямоугольного треугольника S2O2¯D2, у которого S2O2 = H, a O2¯D2 = S1¯D1; гипотенуза S2D2 является натуральной величиной ребра. Зто равносильно повороту ребра до параллельности плоскости П2. Затем строим развертку боковой поверхности нерассеченной пирамиды - фигуру, состоящую из четырех равнобедренных треугольников, основания которых равны сторонам квадрата основания, а боковые стороны - натуральным величинам ребер. Для определения величины отсеченных частей ребер, вместо поворота их, переносим с профильной проекции на натуральную величину ребра точки E3,F3,M3 и К3, получаем размеры R1,R2,R3,R4 Равные отсеченным частям ребер размер R1 равен отсеченной части S2¯E2, R2 равен S2¯F2 и т. д. (фиг.304, I, б). Перенеся на развертку при помощи этих размеров на соответствующие ребра точки Ео, Fo, Мо, Ко и Ео и соединив их последовательно прямыми, получим ломаную линию, по которой пирамида рассечена фронтально-проектирующей плоскостью δ. Для получения развертки поверхности усеченной пирамиды к линии сечения присоединяем соответствующей стороной фигуру сечения, а к линии основания — основание пирамиды.III, а. Для изображения изометрической проекции усеченной пирамиды, пользуясь координатами с (фиг.304, I, б), сначала строим основание и вершину пирамиды, а затем вторичную проекцию фигуры сечения (горизонтальную проекцию фигуры сечения) E'1F'1M'1K'1.III, б. Соединяем прямыми точку S' (вершину пирамиды) с точками А', В', С и D' (вершинами основания) - получаем изометрическую проекцию пирамиды. Из точек Е'1, F'1, M'1 и К'1 параллельно оси z проводим прямые до пересечения с соответствующими ребрами пирамиды. Точки Е'1, F'1, M'1 и К'1 явятся вершинами фигуры сечения, соединив которые прямыми, получим изометрическую проекцию фигуры сечения.III, в. Определив видимые и невидимые элементы усеченной призмы, обводим их соответствующими линиями и заштриховываем фигуру сечения. Над усеченной частью пирамиды изображена отсеченная ее часть.

Сечение тел вращения плоскостью.....



 

www.viktoriastar.ru

Построение сечений многогранников

А вы знаете, что называется сечением многогранников плоскостью? Если вы пока сомневаетесь в правильности своего ответа на этот вопрос, то можете довольно просто себя проверить. Предлагаем пройти небольшой тест, представленный ниже.

Вопрос. Назовите номер рисунка, на котором изображено сечение параллелепипеда плоскостью?

Итак, правильный ответ – на рисунке 3.

Если вы ответите правильно, это подтверждает то, что вы понимаете, с чем имеете дело. Но, к сожалению, даже правильный ответ на вопрос-тест не гарантирует вам наивысших отметок на уроках по теме «Сечения многогранников». Ведь самым сложным является не распознавание сечений на готовых чертежах, хотя это тоже очень важно, а их построении.

Для начала сформулируем определение сечения многогранника. Итак, сечением многогранника называют многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны – на его гранях.

Теперь потренируемся быстро и безошибочно строить точки пересечения данной прямой с заданной плоскостью. Для этого решим следующую задачу.

Построить точки пересечения прямой MN с плоскостями нижнего и верхнего оснований треугольной призмы ABCA1B1C1, при условии, что точка M принадлежит боковому ребру CC1, а точка N – ребру BB1.

Начнем с того, что продлим на чертеже прямую MN в обе стороны (рис. 1). Затем, чтобы получить необходимые по уловию задачи точки пересечения, продлеваем и прямые, лежащие в верхнем и нижнем основаниях. И вот наступает  самый сложный момент в решении задачи: какие именно прямые в обоих основаниях необходимо продлить, так как в каждом из них имеется по три прямые.

Чтобы правильно сделать заключительный шаг построения, необходимо определить, какие из прямых оснований находятся в той же плоскости, что и интересующая нас прямая MN. В нашем случае – это прямая CB в нижнем и C1B1 в верхнем основаниях. И именно их и продлеваем до пересечения с прямой NM (рис. 2).

Полученные точки P и P1 и есть точки пересечения прямой MN с плоскостями верхнего и нижнего оснований треугольной призмы ABCA1B1C1.  

После разбора представленной задачи можно перейти непосредственно к построению сечений многогранников. Ключевым моментом здесь будут рассуждения, которые и помогут прийти к нужному результату. В итоге постараемся в итоге составить шаблон, который будет отражать последовательность действий при решении задач данного типа.   

Итак, рассмотрим следующую задачу. Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки X, Y, Z, принадлежащие ребрам AA1, AC и BB1 соответственно.

Решение: Выполним чертеж и определим, какие пары точек лежат в одной плоскости.

Пары точек X и Y, X и Z можно соединить, т.к. они лежат в одной плоскости.

Построим дополнительную точку, которая будет лежать в той же грани, что и точка Z. Для этого продлим прямые XY и СС1, т.к. они лежат в плоскости грани AA1C1C. Назовем полученную точку P.

Точки P и Z лежат в одной плоскости – в плоскости грани CC1B1B. Поэтому можем их соединить. Прямая PZ пересекает ребро CB в некоторой точке, назовем ее T. Точки Y и T лежат в нижней плоскости призмы, соединяем их. Таким образом, образовался четырехугольник YXZT, а это и есть искомое сечение. 

Подведем итог. Чтобы построить сечение многогранника плоскостью, необходимо:

1) провести прямые через пары точек, лежащих в одной плоскости.

2) найти прямые, по которым пересекаются  плоскости сечения и грани многогранника. Для этого нужно найти точки пересечения прямой, принадлежащей плоскости сечения, с прямой, лежащей в одной из граней.

Процесс построения сечений многогранников сложен тем, что в каждом конкретном случае он различен. И никакая теория не описывает его от начала и до конца. На самом деле есть только один верный способ научиться быстро и безошибочно строить сечения любых многогранников – это постоянная практика. Чем больше сечений вы построите, тем легче в дальнейшем вам будет это делать.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Сечения многогранников - презентация по Геометрии

Презентация на тему: Сечения многогранников

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1 Описание слайда:

СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВЕсли многогранник лежит по одну сторону от данной плоскости, то он может: а) не иметь с плоскостью ни одной общей точки; б) иметь одну общую точку – вершину многогранника; в) иметь общий отрезок – ребро многогранника; г) иметь общий многоугольник – грань многогранника.Если у многогранника имеются точки, лежащие по разные стороны от данной плоскости, то общей частью многогранника и плоскости будет многоугольник, называемый сечением многогранника плоскостью.

№ слайда 2 Описание слайда:

ДИАГОНАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯСечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания и два прилежащих к ней боковых ребра, называется диагональным сечением призмы. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и вершину, называется диагональным сечением пирамиды.Пусть плоскость пересекает пирамиду и параллельна ее основанию. Часть пирамиды, заключенная между этой плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. Сечение пирамиды также называется основанием усеченной пирамиды.

№ слайда 3 Описание слайда:

Упражнение 1Какой фигурой является сечение многогранника плоскостью?

№ слайда 4 Описание слайда:

Упражнение 2Сколько диагональных сечений имеет n-угольная: а) призма; б) пирамида?

№ слайда 5 Описание слайда:

Упражнение 3Может ли в сечении куба плоскостью получиться:а) треугольник;б) правильный треугольник;в) равнобедренный треугольник;г) прямоугольный треугольник;д) тупоугольный треугольник?

№ слайда 6 Описание слайда:

Упражнение 4Может ли в сечении куба плоскостью получиться:а) квадрат;б) прямоугольник;в) параллелограмм;г) ромб;д) трапеция;е) прямоугольная трапеция?

№ слайда 7 Описание слайда:

Упражнение 5Может ли в сечении куба плоскостью получиться:а) пятиугольник;б) правильный пятиугольник?

№ слайда 8 Описание слайда:

Упражнение 6Может ли в сечении куба плоскостью получиться:а) шестиугольник;б) правильный шестиугольник;в) многоугольник с числом сторон больше шести?

№ слайда 9 Описание слайда:

Упражнение 7Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью?

№ слайда 10 Описание слайда:

Упражнение 8Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться квадрат?

№ слайда 11 Описание слайда:

Упражнение 9Может ли в сечении тетраэдра плоскостью получиться четырехугольник, изображенный на рисунке?

№ слайда 12 Описание слайда:

Упражнение 10Может ли в сечении октаэдра плоскостью получиться:а) треугольник;б) четырехугольник;в) пятиугольник;г) шестиугольник;д) семиугольник;е) восьмиугольник?

№ слайда 13 Описание слайда:

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙПри построении сечений многогранников, базовыми являются построения точки пересечения прямой и плоскости, а также линии пересечения двух плоскостей.Если даны две точки A и B прямой и известны их проекции A’ и B’ на плоскость, то точкой С пересечения данных прямой и плоскости будет точка пересечения прямых AB и A’B’Если даны три точки A, B, C плоскости и известны их проекции A’, B’, C’ на другую плоскость, то для нахождения линии пересечения этих плоскостей находят точки P и Q пересечения прямых AB и AC со второй плоскостью. Прямая PQ будет искомой линией пересечения плоскостей.

№ слайда 14 Описание слайда:

Упражнение 1Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, лежащие на ребрах куба.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, лежащие на ребрах куба, выходящих из одной вершины, достаточно просто соединить данные точки отрезками.Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.

№ слайда 15 Описание слайда:

Упражнение 2Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD.Обозначим Q точку пересечения прямых PG и AB.Соединим точки E и Q, F и G. Полученная трапеция EFGQ будет искомым сечением.

№ слайда 16 Описание слайда:

Упражнение 3Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба, для которых AE = DF.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, соединим точки E и F. Прямая EF будет параллельна AD и, следовательно, BC.Соединим точки E и B, F и C. Полученный прямоугольник BCFE будет искомым сечением.

№ слайда 17 Описание слайда:

Упражнение 4Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба и вершину B.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F и вершину B, Соединим отрезками точки E и B, F и B.Через точки E и F проведем прямые, параллельные BF и BE, соответственно.Полученный параллелограмм BFGE будет искомым сечением.

№ слайда 18 Описание слайда:

Упражнение 5Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD.Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG с AB и DC.Обозначим S точку пересечения FR c СС1.Полученный пятиугольник EFSGQ будет искомым сечением.

№ слайда 19 Описание слайда:

Упражнение 6Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба.Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, найдем точку P пересечения прямой EF и плоскости грани ABCD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG с AB и CD.Проведем прямую RF и обозна-чим S, T её точки пересечения с CC1 и DD1.Проведем прямую TE и обозначим U её точку пересечения с A1D1.Соединим точки E и Q, G и S, U и F.Полученный шестиугольник EUFSGQ будет искомым сечением.

№ слайда 20 Описание слайда:

Упражнение 7Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, принадлежащие граням BB1C1C, CC1D1D, AA1B1B, соответственно. Решение. Из данных точек опустим перпендикуляры EE’, FF’, GG’ на плоскость грани ABCD, и найдем точки I и H пересечения прямых FE и FG с этой плоскостью.IH будет линией пересечения искомой плоскости и плоскости грани ABCD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой IH с AB и BC. Проведем прямые PG и QE и обозначим R, S их точки пересечения с AA1 и CC1.Полученный шестиугольник RPQSUV будет искомым сечением.

№ слайда 21 Описание слайда:

Упражнение 8Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба, параллельно диагонали BD.Решение. Проведем прямые FG и EH, параллельные BD.Проведем прямую FP, параллельную EG, и соединим точки P и G. Полученный пятиугольник EGPFH будет искомым сечением.

№ слайда 22 Описание слайда:

Упражнение 9Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F , лежащие на ребрах куба, параллельно диагонали BD1.Решение. Проведем прямые EF, EC и BD. Точку пересечения прямых EC и BD обозначим P. Через точку P проведем прямую, параллельную BB1, и ее точку пересечения с EF обозначим Q. Через точку Q проведем прямую RS, параллельную BD1. Точку пересечения прямых ER и BC обозначим G.Соединим отрезками точки G и F. F и S.Соединим отрезками точки E и G, G и F, F и S.Проведем прямую EH, параллельную FS и соединим точки H и S.Полученный пятиугольник EGFSH будет искомым сечением.

№ слайда 23 Описание слайда:

Упражнение 10Построить сечение двух кубов плоскостью, проходящей через точки K, L, M , лежащие на ребрах куба.Решение. Сначала построим сечение верхнего куба. Это будет шестиугольник LNMPKQ.Продолжим MN, PK и QL. Соответствующие точки обозначим R, S и U, V.Проведем прямые RX и VY, параллельные UV и SR, соответственно.Искомое сечение состоит из двух шестиугольников LNMPKQ и RSUVYX.

№ слайда 24 Описание слайда:

Упражнение 11Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки E, F, G.Решение. Соединим точки E и F. Проведем прямую FG и ее точку пересечения с CC1 обозначим H. Проведем прямую EH и ее точку пересечения с A1C1 обозначим I. Соединим точки I и G.Полученный четырехугольник EFGI будет искомым сечением.

№ слайда 25 Описание слайда:

Упражнение 12Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки E, F, G.Решение. Проведем прямую EG и обозначим H и I ее точки пересечения с CC1 и AC. Проведем прямую IF и ее точку пересечения с AB обозначим K. Проведем прямую FH и ее точку пересечения с B1C1 обозначим L. Полученный пятиугольник EKFLG будет искомым сечением.

№ слайда 26 Описание слайда:

Упражнение 13Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, параллельной AC1, проходящей через точки E, F.Решение. Проведем прямую EF и найдем точку G ее пересечения с плоскостью ACC1.Для этого проведем прямую EH параллельно BC. Искомой точкой G будет точка пересечения прямых EF и HC1.Через точку G проведем прямую параллельно AC1 и ее точки пересечения с A1C1 и AA1 обозначим I и K.Полученный четырехугольник EFIK будет искомым сечением.

№ слайда 27 Описание слайда:

Упражнение 14Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью, параллельной, проходящей через точки E на ребре BC, F на грани ABB1A1 и G на грани ACC1A1.Решение. Проведем прямую GF и найдем точку H ее пересечения с плоскостью ABC.Проведем прямую EH, и обозначим P и I ее точки пересечения с AC и AB. Проведем прямые PG и IF, и обозначим S, R и Q их точки пересечения с A1C1, A1B1 и BB1.Полученный пятиугольник EQRSP будет искомым сечением.

№ слайда 28 Описание слайда:

Упражнение 15Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B, D1.Решение. Заметим, что сечение будет проходить через точку E1. Проведем прямую AB и найдем ее точки пересечения K и L с прямыми CD и FE.Проведем прямые KD1, LE1 и найдем их точки пересечения P, Q с прямыми CC1 и FF1.Шестиугольник ABPD1E1Q будет искомым сечением.

№ слайда 29 Описание слайда:

Упражнение 16Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B’, F’.Решение. Проведем отрезки AB’ и AF’.Через точку B’ проведем прямую, параллельную AF’, и ее точку пересечения с EE1 обозначим E’.Через точку F’ проведем прямую, параллельную AB’, и ее точку пересечения с CC1 обозначим C’.Через точки E’ и C’ проведем прямые, параллельные AB’ и AF’, и их точки пересечения с D1E1 и C1D1 обозначим D’, D” .

№ слайда 30 Описание слайда:

Упражнение 17Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки F’, B’, D’.Решение. Проведем прямые F’B’ и F’D’, и найдем их точки пересечения P и Q с плоскостью ABC.Проведем прямую PQ. Обозначим R точку пересечения PQ и FC. Точку пересечения F’R и CC1 обозначим C’.Через точку F’ проведем прямые, параллельные C’D’ и B’C’, и их точки пересечения с AA1 и EE1 обозначим A’ и E’ .

№ слайда 31 Описание слайда:

Упражнение 18Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру AD и проходящей через точки E, F.Через точку F проведем прямую FG, параллельную AD.Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.

№ слайда 32 Описание слайда:

Упражнение 19Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру CD и проходящей через точки E, F .Решение. Через точки E и F проведем прямые EG и FH, параллельные CD.Соединим точки G и F, E и H. Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.

№ слайда 33 Описание слайда:

Упражнение 20Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G.Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с BD.Обозначим Q точку пересечения прямых PG и CD.Соединим точки F и Q, E и G. Полученный четырехугольник EFQG будет искомым сечением.

№ слайда 34 Описание слайда:

Упражнение 21Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки A, E, F.Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим G её точку пересечения с DB.Проведем прямые AG и CB. Обозначим P их точку пересечения.Проведем прямую PF и обозначим Q её точку пересечения с SC.Полученный четырехугольник AFQE будет искомым сечением.

№ слайда 35 Описание слайда:

Упражнение 22Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G.Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую FG и обозначим P её точку пересечения с SB.Проведем прямую PE и обозначим Q её точку пересечения с AB.Проведем прямую GQ и обозначим R её точку пересечения с AD.Проведем прямую RE и обозначим T её точку пересечения с SD.

№ слайда 36 Описание слайда:

Упражнение 23Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной AS и проходящей через точки E, F.Через точку F проведем прямую, параллельную AS, и обозначим G ее точку пересечения с AC.Проведем прямую EG и обозначим H ее точку пересечения с AD.Через точку H проведем прямую, параллельную AS, и обозначим I ее точку пересечения с SD.Полученный четырехугольник EFIH будет искомым сечением.

№ слайда 37 Описание слайда:

Упражнение 24Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной BD и проходящей через точки E, F.Решение. Проведем прямую EF и обозначим Q ее точку пересечения с AC. Проведем прямую SO и обозначим P её точку пересечения с EF.Через точку P проведем прямую GH, параллельную BD.Соединим точки F, G, E, H. Полученный четырехугольник FGEH будет искомым сечением.

№ слайда 38 Описание слайда:

Упражнение 25Построить сечение пирамиды SABCDEF плоскостью, проходящей через точки A1, C1, E1.Решение. Найдем точку пересечения P прямой A1C1 с плоскостью основания.Найдем точку Q пересечения прямой E1C1 с плоскостью основания.Прямая PQ будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания.Проведем прямую ED и обозначим R, её точку пересечения с прямой PQ.Аналогичным образом находятся точки F1 и B1.Шестиугольник A1B1C1D1E1F1 будет искомым сечением.

ppt4web.ru

Сечение многогранников плоскостью.

Поиск Лекций

Плоская фигура, полученная при пересечении любого многогранника плоскостью, представляет собой некоторый многоугольник. Вершины этого многоугольника находятся как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны многоугольника строятся как линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью.

Пересечение поверхностей

Многогранники пересекаются по замкнутым пространственным ломаным линиям, которые могут быть найдены следующим образом:

1. Способ ребер. Находятся точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого.

2. Способ граней. Определяются отрезки прямых, по которым грани одного многогранника пересекаются с гранями другого.

Пример: Построить линию пересечения двух трехгранных призм, одна из которых проецирующая.

В результате пересечения заданных многогранников получается ломаная пространственная линии. Она соединяет соответствующие точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Так как одна из призм проецирующая относительно горизонтальной плоскости проекций, горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальным очерком этой призмы. Искомые точки сечения можно получить, решая задачу на пересечение прямой (ребра) с плоскостью (гранью).

, . , .

Для построения точек пересечения ребра b с гранями призмы, используется горизонтально-проецирующая плоскость .

.

Тема11. Развертки

1. Что называют разверткой поверхности?

2. Какие поверхности –разворачивающиеся, а какие- неразворачивающиеся?

3. Укажите основные свойства разверток

4. Что называется аппроксимацией поверхности?

При построении разверток многогранников придется находить действительную величину ребер и граней этих многогранников с помощью вращения или перемены плоскостей проекций. При построении приближенных разверток для неразвертывающихся поверхностей придется заменять участки последних близкими к ним по форме развертывающимися поверхностями.

Развертка поверхностей любой прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней — прямоугольников и двух оснований — многоугольников.

Например, у развертки поверхностей шестиугольной призмы (рис. 139, б) все грани — равные между собой прямоугольники шириной а и высотой h, а основания — правильные шестиугольники со стороной, равной а.

Рис. Построение чертежа развертки поверхностей призмы: а — два вида; б — развертка поверхностей

Таким образом, можно построить чертеж развертки поверхностей любой призмы.

Развертка поверхностей цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов (рис. 140, б). Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, другая — длине окружности основания. На чертеже развертки к прямоугольнику пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.

Рис. Построение чертежа развертки поверхностей цилиндра: а - два вида; б - развертка поверхностей

 

Чертежи разверток поверхностей конуса и пирамиды.

Развертка поверхностей конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса (рис. 141, 6).

Рис. Построение чертежа развертки поверхностей конуса: а — два вида; б — развертка поверхностей

Построения выполняются так:

 

  1. Проводят осевую линию и из точки s' на ней описывают радиусом, равным длине s'a' образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса. Точку s' соединяют с концевыми точками дуги.
  2. К полученной фигуре — сектору пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса.

Длину окружности при построении сектора можно определить по формуле C = 3.14xD.

Угол а подсчитывают по формуле а = 360°хD/2L, где D — диаметр окружности основания, L —длина образующей конуса, ее можно подсчитать по теореме Пифагора.

Рис. Построение чертежа развертки поверхностей пирамиды: а — два вида; б — развертка поверхностей

Неразвертывающиеся поверхности - поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

Приближенные – выполненные способом аппроксимации развертки развертываемых поверхностей (цилиндры, конусы

poisk-ru.ru