Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14. Расстояние между точкой и плоскостью


Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

В этой статье мы поговорим о том, как найти расстояние от точки до плоскости с помощью метода координат. О том как находить расстояние от точки до плоскости геометрическим способом, вы можете прочитать здесь.

Решим задачу: в единичном кубе найдите расстояние от точки до плоскости .

На этот раз давайте решим ее с помощью метода координат.

Сначала немного теории.

Рассстояние  от точки  до плоскости вычисляется по такой формуле:

Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим наш куб в систему координат:

В нашей задаче роль точки  играет точка . То есть ,  ,  

Теперь наша задача найти коэффициенты ,   ,   и в уравнении  плоскости .

Плоскость   определяется тремя точками  ,    и . Если мы координаты точек подставим в уравнение плоскости , то получим верное равенство.

Коэффициент  в уравнении плоскости мы можем принять равным 1.

Чтобы найти коэффициенты  ,   и  , подставим координаты точек  ,    и в уравнение плоскости . Получим систему уравнений:

Отсюда: ,  ,  

Подставим координаты точки  и значения коэффициентов в формулу для расстояния:

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Определение расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и в начертательной геометрии определяется графически согласно следующему алгоритму.

Алгоритм построения

  1. Плоскость переводят в проецирующее положение с помощью методов преобразования ортогональных проекций.
  2. Из точки на плоскость опускают перпендикуляр и находят его длину. Направление проекции перпендикуляра определяется на основании теоремы о проецировании прямого угла.

Задача № 1

Рассмотрим, как реализуется составленный нами алгоритм на практике. На рисунке ниже представлены графические построения, необходимые для определения расстояния между точкой N и плоскостью α, заданной треугольником ABC.

Ход решения

  • Через вершину B'' треугольника A''B''C'' проводим проекцию h'' горизонтали h. По линиям связи находим h'.
  • Переводим ABC в проецирующее положение. Для этого перпендикулярно h вводим новую фронтальную плоскость П4. Проецируем на неё точку N и треугольник ABC.
  • Из точки N''1 проводим N''1M''1 ⊥ A''1C''1. Длина отрезка N''1M''1 – искомое расстояние между плоскостью треугольника ABC и точкой N.

Задача № 2

Требуется определить величину расстояния между точкой K и плоскостью β, заданной следами. В отличие от предыдущей задачи здесь нет необходимости проводить линию уровня, так как её роль выполняет проекция h0β.

Ход решения

  • Переводим плоскость β в проецирующее положение. Для этого перпендикулярно следу h0β вводим дополнительную фронтальную плоскость П4. На прямой f0β берем произвольную точку E, определяем её проекции E'', E' и E''1. Через E''1 и X0α1 проводим прямую f0β1, которая является следом плоскости β на П4. По линии связи определяем проекцию K''1 точки K.
  • Из K''1 проводим перпендикуляр K''1M''1 в направлении прямой f0β1. Длина отрезка K''1M''1 – величина искомого расстояния от K до β.

Если требуется перевести отрезок KM в исходную систему плоскостей, то это делается с помощью обратных преобразований, как показано на следующем рисунке.

Похожие задачи:

ngeometry.ru

Вычисление расстояния от точки до плоскости

Реферат

по алгебре и геометрии

Вычисление расстояния между линейными геометрическими объектами в пространстве

студента группы КБ-12

Никитченко Богдана

Вычисление расстояния от точки до плоскости

Первый способ

Расстояние от точки до плоскости находим по следующей формуле:

d= , где - длина вектора нормалиN={A;B:C} плоскости α, а число есть результат подстановки координат точкиM1(x1; y1; z1) в левую часть общего уравнения плоскости.

Пример ( Клетеник № 959(5)):

Вычислить расстояние d от точки M5(9;2;-2) до плоскости 12y-5z+5=0.

Решение:

N= {0; 12; -5}

d= = 3

Ответ: 3

Второй способ

Составляем уравнение прямой L, которая проходит через точку М1 и перпендикулярна к плоскости α.

Находим координаты  точки M0(x0; y0; z0) - точки пересечения прямой L и плоскости α.

Вычисляем расстояние между точками M0 и М1  по формуле:

d= M0M1 = (x1-x0)2 + (y1-y0)2 + (z1-z0)2

Пример ( Клетеник № 959(4)):

Вычислить расстояние d от точки M4(3;-6;7) до плоскости 4x-3z-1=0.

Решение:

L:

4(4t+3) -3(-3t+7) =0

16t +12 +9t -21-1=0

25t=10

t=0,4

x0= 4•0,4+3=4,6

y0= - 6

z0= -3•0,4+7=5,8

M0(4,6; -6; 5,8)

d==2

Ответ: 2

Вычисление расстояния между параллельными плоскостями

Первый способ

Выберем любую точку на первой плоскости.

Применим формулу расстояния от точки до плоскости.

d=

Пример (Клетеник № 964(5)):

Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

30x-32y+24z-75=0 15x-16y+12z-25=0

Решение:

Пусть y=0 и z=0. Тогда подставив эти значения в первое уравнение, получим

x=2,5. Мы получили точку М(2,5; 0; 0) . Применим формулу расстояния от точки до плоскости: d= =0,5

Ответ: 0,5

Второй способ

Если плоскость α задана уравнением Ax + By + Cz + D1=0 , а плоскость β задана уравнением Ax + By + Cz + D2=0, то расстояние между параллельными плоскостями находим по следующей формуле:

d=

Пример( Клетеник №964(6)):

Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

6x-18y-9z-28=0 4x-12y-6z-7=0

Решение:

Умножив обе части второго уравнения на , получим 6x-18y-9z-10,5=0.

Применим формулу: d= =

Ответ:

Вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве

Первый способ

Определим направляющий вектор прямой a ={ l; m; n}и вычислим его длину по формуле a =

Найдем координаты некоторой точки М0(x0; y0; z0), лежащей на прямой a. Вычислим координаты вектора M0M1={x1-x0; y1-y0; z1-z0}, найдем векторное произведение векторов a и M0M1 и его длину.

Найдем расстояние от точки до прямой в пространстве по формуле:

d(M1;L)=

Пример (Клетеник №1063(1)):

Вычислить расстояние d от точки P(2; 3; -1) до прямой:

= =

Решение:

a = {3; 2; -2}

a ==

M0(5; 0; -25) M0P = {-3; 3; 24}

a x M 0P = = 54i – 66j + 15k

a x M 0P = =21

d= 21=21

Ответ: 21

Второй способ

Составляем уравнение плоскости α , проходящей через данную точку М1(x1; y1; z1) перпендикулярно к данной прямой L.

Определяем координаты M0(x0; y0; z0) – точки пересечения прямой  L и плоскости α .

Находим расстояние от точки М1до прямой L по формуле:

d= (x1-x0)2 + (y1-y0)2 + (z1-z0)2

Пример(Клетеник №1063(2)):

Вычислить расстояние d от точки P(2; 3; -1) до прямой:

Решение:

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P(2; 3; -1) с вектором нормали a={1; 1; 4}.

(x-2) + (y-3) +4(z+1)=0

x+y+4z-1=0

Найдем точку пересечения прямой и плоскости

(t+1)+(t+2)+4(4t+13)-1=0

t+1+t+2+16t+52-1=0

18t=-54

t= -3

M0(-2; -1; 1) - точка пересечения прямой   и плоскости.

d==6

Ответ: 6

Вычисление расстояния между параллельными прямыми

Выберем на одной из прямых любую точку.

Применим формулу расстояния от точки до прямой:

d(M1;L)=

Пример(Клетеник № 1064):

Убедившись, что прямые параллельны, вычислить расстояние d между ними.

Решение:

Перейдем от общих уравнений прямой к каноническому.

Найдем точку M0(x0; y0; z0)

Пусть z0=0. Тогда подставим это значение в общие уравнения прямой.

4x=54

x=13,5

y= -8,5

M0(13,5; -8,5; 0)

a1 =N1 x N2== -3i+j-4k

a 1={-3,1,-4} a 2={3,-1,4}

Векторы a1и a2 коллинеарны. Следовательно прямые параллельны.

Из уравнения второй прямой находим M1(-7; 5; 9).

M0M1={-20,5; 13,5; 9}

a1 x M0M1==63i+109j-20k

a1 =

a1 x M0M1 =

d= =25

Ответ: 25

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми находим по формуле: d(L1;L2)=, гдеa1,a2 – направляющие векторы прямых, M1, M2–точки на прямых L1 и L2.

Если числитель равен нулю, то прямые пересекаются.

Пример (Клетеник №1083(3)):

Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми: = =

Решение:

a1 x a2 = =-6i-9j-18k

a1 x a2 = 21

M1(-5; -5; 1) M2(9; 0; 2)

M2M1={14; 5; 1}

a1 a2 M2M1 = -84 – 45 -18 =147

d==7

Ответ: 7

studfiles.net

расстояние между точкой и плоскостью видео YouTube

...

6 лет назад

Математика — это просто. Приходите на занятия и убедитесь в этом сами: http://www.berdov.com Сегодня мы рассмотрим...

...

3 лет назад

В этом видео получаем расстояние между точкой и плоскостью в пространстве. JOIN VSP GROUP PARTNER PROGRAM: https://youpartnerwsp.co...

...

3 лет назад

В этом видео рассматриваем картинки, касающиеся предыдущего видео. JOIN VSP GROUP PARTNER PROGRAM: ...

...

5 лет назад

Узнайте больше про курсы подготовки к ЕГЭ/ОГЭ: http://lancmanschool.ru/kursi-ege/?roistat=youtube_ZFadG_NtRRQ Подписывайтесь на Наш...

...

5 лет назад

Узнайте больше про курсы подготовки к ЕГЭ/ОГЭ: http://lancmanschool.ru/kursi-ege/?roistat=youtube_R_g2HZLnnTk Подписывайтесь на Наш...

...

3 лет назад

В этом видео вычисляем расстояние между точкой и прямой на плоскости. JOIN VSP GROUP PARTNER PROGRAM: https://youpartnerwsp.com/ru/join?...

...

4 лет назад

Видеоурок Автокад от http://www.vatman16rus.ru Построить плоскость параллельную заданной плоскости на расстоянии...

...

4 лет назад

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве" от ALWEBRA.COM.UA. Приводится в общем виде решение задачи...

...

1 лет назад

Задачник по математике с видеоразборами: https://drive.google.com/open?id=1T7dhZb4B87Q2LMJChH50sA_gc3ENSKJL Задачник по математике с...

...

3 лет назад

В этом видео считаем расстояние между прямыми на плоскости. JOIN VSP GROUP PARTNER PROGRAM: https://youpartnerwsp.com/ru/join?92473.

...

5 лет назад

Условие пересечения трёх плоскостей в одной точке. Биссектральная плоскость. Условие пересечения плоскост...

...

6 лет назад

В этом видео показано, как найти расстояние между точками, используя теорему Пифагора. Это видео - русская...

...

2 лет назад

ЗАДАЧНИК КО ВСЕМ РОЛИКАМ: https://vk.com/wall-135395111_8104 МОИ КУРСЫ: https://vk.com/market-135395111 УСКОРИТЬ ПРОЦЕСС СОЗДАНИЯ ...

...

3 лет назад

Задачи по теме "прямая" расположены в порядке усложнения. Видео завершается задачей повышенной сложности...

...

4 лет назад

Видеоурок "Расстояние от точки до плоскости" от ALWEBRA.COM.UA. Выводится формула расстояния от точки пространств...

...

4 лет назад

Аналитическая геометрия. Задание прямой и плоскости в пространстве. Решение типовых задач. Видеокурс "Высш...

...

5 лет назад

Видеоурок "Расстояние от точки до прямой" от ALWEBRA.COM.UA. Выводится формула расстояния от точки до прямой, задан...

...

12 меc назад

Задачник по математике с видеоразборами: https://drive.google.com/open?id=1T7dhZb4B87Q2LMJChH50sA_gc3ENSKJL Метод координат (расстояние...

...

1 лет назад

Задачник по математике с видеоразборами: https://drive.google.com/open?id=1T7dhZb4B87Q2LMJChH50sA_gc3ENSKJL Решение стереометрических...

...

4 лет назад

Видеоурок Автокад от http://www.vatman16rus.ru Определение расстояния от точки до плоскости. Перпендикуляр к плоскост...

syoutube.ru

III. Расстояние между точкой и плоскостью

II. Угол между плоскостями

Здесь векторы, перпендикулярные соответствующим плоскостям.

Тогда (10)

III. Расстояние между точкой и плоскостью

Напоминаю, что формула, позволяющая найти расстояние от точки, заданной своими координатами М(x0;y0;z0) в определенной системе отсчета до плоскости, заданной в этой же системе уравнением ax + by + cz + d = 0 имеет вид:

(11)

 

Примеры задач:

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 6. На ребре CC1 отметили точку М так, что CM : MC1 =2 : 1; точка K лежит на середине DC . Через точки В1, М и К проведено сечение. Найти расстояние от точки В до плоскости этого сечения и найти угол между прямой AC1 и плоскостью сечения.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. ( Понятно, что можно ввести систему координат иначе, но на результат решения задачи он не скажется)

Для решения задачи, нам нужно знать координаты точек A, B1, M, K и C1. Используя тот факт, что длины ребер куба равны 6 и отрезок СМ составляет 2/3 длины ребра СС1, то СМ = 4. Поэтому координаты вышеперечисленных точек записываются следующим образом:

A(6; 0; 0), B1(0; 0; 6), M(0; 6; 4), K( 3; 6; 0), C1(0; 6; 6),

Пишем уравнение плоскости B1MK.

Для этого возьмем произвольную точку Р плоскости с координатами (x; y; z) и запишем условие компланарности векторов B1P, B1M и B1K : B1P = aB1M + bB1K

B1P{x; y; z – 6}, B1M{0; 6; – 2}, B1K{3; 6; – 6}

Тогда:

Итак, расстояние от точки В до плоскости B1MK рассчитываем по формуле (11)

Для определения угла между прямой АС1 и плоскостью B1MK запишем координаты вектора AC1{ –6;6;6} – направляющего вектора прямой АС1 и определим угол, по формуле (9)

- вектор, перпендикулярный плоскости

Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 187 | Нарушение авторских прав

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.009 сек.)

mybiblioteka.su

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ В ПРОСТРАНСТВЕ Расстоянием

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ В ПРОСТРАНСТВЕ Расстоянием между точкой и плоскостью в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью BB 1 C 1. Ответ:

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 B 1 C 1. Ответ: 1.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью BCA 1.

Решение. Через точки A 1 и D – середину ребра BC, проведем прямую. Искомым расстоянием будет расстояние AE от точки A до этой прямой. В прямоугольном треугольнике ADA 1 имеем, AA 1 = 1, AD = , DA 1 =. Следовательно, AE = Ответ:

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 B 1 C.

Решение. Достроим данную треугольную призму до четырехугольной. Искомым расстоянием будет расстояние от точки A 1 до плоскости CDA 1 в призме A … D 1. Это расстояние мы нашли в предыдущей задаче. Оно равно Ответ:

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 C 1 B. Решение. Искомое расстояние равно расстоянию от точки A до плоскости A 1 B 1 C из предыдущей задачи. Ответ:

Решение. Искомое расстояние равно расстоянию от точки A до плоскости A 1 B 1 C из предыдущей задачи. Ответ:

present5.com

Расстояние до прямых и плоскостей

1. От точки A до прямой l - это длинна перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую l : d - AB.

2. Между параллельными прямыми а и b - это расстояние от любой точки (A) одной прямой до другой прямой: d = AB.

3. От точки А до плоскости а - это длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости a : d = AB.

4. Между параллельными плоскостями а и ? - это расстояние от любой точки (A) одной из плоскостей до другой плоскости: d = AB.

5. Между прямой а и параллельной ей плоскостью а - это расстояние от любой точки А прямой а до плоскости a : d = AB.

6. Между скрещивающимися прямыми а и b - это длинна общего перпендикуляра к прямым a и b.

или

расстояние от одной из прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельную первой прямой: d = AB.

formula-xyz.ru