Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Проверка на совместимость матрицы


Вычисление определителя D. Проверка совместимости системы уравнений

Домашнее индивидуальное задание. № 1-2 (для  всех  направлений  подготовки)

1.  Даны две матрицы А и В:

А = ,   В =

    Найдите:     1.1)  3А-9А,    1.2 )  АВ,  1.3) ВА,   1.4) А-1 ,   1.5) А2.

1.1.  3А-9А.

3А = 3 ×  =

9А = 9 ×  =

3A – 9A =  -  =

1.2.  АВ.

А × В =  ×  =

=  =

1.3.  ВА.

В × А =  ×  =

=  =

              Комментарий:

 Обратите  внимание  на  тот  факт,  что  АВ  ВА

1.4.  А-1.

А11 = (-1)1+1 × М11 = (-1)1+1 ×  = (-8×3 – (-2)×3) = -18                  

А12 = (-1)1+2 × М12 = (-1)1+2 ×  = (-1) × (1×3 - 4×3) = 9

А13 = (-1)1+3 × М13 = (-1)1+3 ×  = (-2×1 – 4×(-8)) = 30                   

А21 = (-1)2+1 × М21 = (-1)2+1 ×  = (-1) × (-7×3 – (-2)×2) = -17        

А22 = (-1)2+2 × М22 = (-1)2+2 ×  = (3×3 - 4×2) = 1      

А23 = (-1)2+3 × М23 = (-1)2+3 ×  = (-1) × (3×(-2) - 4×(-7)) = 22        

А31 = (-1)3+1 × М31 = (-1)3+1 ×  = (-7×3 – (-8)×2) = -5       

А32 = (-1)3+2 × М32 = (-1)3+2 ×  = (-1) × (3×3 - 2×1) = -7       

А33 = (-1)3+3 × М33 = (-1)3+3 ×  = (3×(-8) - 1×(-7)) =  -17  

D = 3 × (-1)1+1 ×  + (-7) × (-1)1+2 ×  + 2 × (-1)1+2 ×  = 3 × (-24 + 6) + 7 × (3 - 12) – 2 × (-2 + 32) = -177

А-1 =  = -

1.5.  А2.

А2 = А × А = ×  =

=  =

2. Вычислить определитель D:   .

Разложим  определитель  по  элементам  первой  строки: 

D =  = a11 × A11 + a12 × A12 + a13 × A13 + a14 × A14.  Теперь  вычислим  A11,  A12,  A13,  A14,    также  разлагая  соответствующие  определители по элементам  первой  строки.

A11 = (-1)1+1 × M11 =  = 2 × (-1)1+1 ×  + 1 × (-1)1+2 ×  + (-1) × (-1)1+3 ×  =

= 2 × (0 + 4) – (0 - 4) – (-4 + 8) = 8

A12 = (-1)1+2 × M12 = -1 ×  =

=  -1 ×  =

= -1 × (3 × (1 - 2) + 4 × (3 + 1)) = -13

A13 = (-1)1+3 × M13 =  =

Так как a13 = 0, произведение a13 × A13 = 0, A13 считать не нужно

A14 = (-1)1+4 × M14 =   = -1 ×  =

= -1 × ( -1 × (-8 - 4) + (-12 - 3) + 2 × (12 - 6)  ) = -9

D= 2 × 8 + (-2) × (-13) - 3 × 9 = 16 + 26 + 27 = 15

     Комментарий: 

При  вычислении  определителей  разумно  сначала  преобразовать  определитель,   используя  свойства  определителя  таким  образом,  чтобы  в  какой-то  строке (столбце)  определителя  все  элементы  кроме  одного  были бы  равны 0.  А  затем  получившийся  определитель  разложить  по  элементам  упомянутой  строки (столбца).  Вычислим  таким  образом  заданный  определитель

 D = .  Добьемся  того,  что бы  в  3-й  строчке  определителя  все  элементы,  кроме  a31 были бы  равны 0.

С  этой  целью:

1.  Из  2-ого  столбца  определителя  вычтем  первый  столбец.  Величина  определителя  при  этом  не  изменится: D =  = .

2.  Умножим  в  преобразованном  определителе  1-й  столбец  на  (-2)  и  сложим   полученный  результат  с  3-им  столбцом.  Величина  определителя  при  этом  не  изменится:

D = .

3.  Умножим  в  преобразованном  определителе  1-й  столбец  на  (-1)  и  сложим   полученный  результат  с  4-ым  столбцом.  Величина  определителя  при  этом  не  изменится:

D = .

4.  Полученный  определитель  разложим  по  элементам  3-й  строки:

D ==(добиваемся  того,  чтобы  в  3-ей строчке  все элементы  кроме  a21 были=0) = .

3. Проверьте совместимость системы уравнений и, в случае совместности, решите ее: 1) используя правило Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

.

Пусть A =  ,  B = ,   .  Тогда  заданная  система  записывается  так:     .

3.1. Проверка системы на совместность.

A =     B = .   Находим  определитель  системы:

D =  = 0 × (-1)2+1 ×  + 5 × (-1)2+2 ×  + 4 × (-1)2+3 ×  = 5 × (5 + 3) – 4 × (-2 - 12) = 96

D ¹ 0 , следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

3.2. Решение с использованием правила Крамера.

Находим  побочные  определители  D1,  D2, D3:

D1 =      D2 =       D3 = . И  тогда:

D1 = 6 × (-1)1+1 ×  + 4 × (-1)1+2 ×  + (-1) × (-1)1+3 ×  = 6 × (25 + 8) – 4 × (-100 + 88) – (40 + 110) = 96

D2 = 0 × (-1)2+1 ×  + (-20) × (-1)2+2 ×  + 4 × (-1)2+3 ×  = -20 × (5 + 3) – 4 × (-22 - 18) = 0

D3 = 0 × (-1)2+1 ×  + 5 × (-1)2+2 ×  + (-20) × (-1)2+3 ×  = 5 × (-22 - 18) + 20 × (-2 - 12) = -480

         И тогда . поскольку

x1 =       x2 =        x3 = , получаем ответ:

x1 =  = 1       x2 = 0        x3 =  = -5, или

X =

3.3. Решение с помощью обратной матрицы.

Пусть  A-1 обратная  к  матрице  А,  тогда  решение  системы  запишем  в  виде .Найдем  обратную  матрицу  A-1.  Они  находятся  из  соотношения:

А-1 =  .  Находим  последовательно:

A11 = (-1)1+1 × M11 =  = 25 + 8 = 33

A12 = (-1)1+2 × M12 = (-1) ×  = -1 × (0 – 12) = 12

A13 = (-1)1+3 × M13 =  = 0 - 15 = -15

A21 = (-1)2+1 × M21 = -1 ×  = -1 × (20 - 2) = -18

A22 = (-1)2+2 × M22 =  = 5 + 3 = 8

A23 = (-1)2+3 × M23 = (-1) ×  = -1 × (-2 -12) = 14

A31 = (-1)3+1 × M31 =  = 16 + 5 = 21

A32 = (-1)3+2 × M32 = -1 ×  = -4

A33 = (-1)3+3 × M33 =  = 5,    и  следовательно

A-1 =      B = ,  но  тогда 

X =   =   =

3.4. Решение методом Гаусса.

Преобразуем  расширенную  матрицу  системы  (прямой  ход).

 ®    ®   .

Полученная  в  результате  преобразования  матрица  есть  матрица  системы,  равносильной  исходной , и  тогда  (обратный ход)

          x3 = -5

5x2 + 4 × (-5) = -20

 5x2 = 0

                     x2 = 0

x1 + 4 × 0 – (-5) = 6

                     x1 = 1,  или

 X =

4. Проверьте совместимость системы уравнений, вычисляя ранги матрицы системы и расширенной матрицы и решите систему:

.

 Вычислим  ранг  матрицы из  коэффициентов  системы:

A =   ®   ®  

  Þ  RA = 3.

Теперь  находим  ранг  расширенной  матрицы:

A* =  ®  ®     (*)

    Þ    RA* = 3

            Число неизвестных m = 5.

Так  как  RA = RA* = R = 3 система  совместна. Но при  этом R меньше  числа  неизвестных  и   и при этом число свободных переменных m – R = 5 – 3 = 2. Следовательно

Система совместна и имеет бесконечное множество решений, зависящих  от  2 параметров.

        Напишем систему, равносильную исходной,  расширенной матрицей которой является матрица (*):

                                                          0матриНаходим решение системы

Пусть  x5 = a. Но тогда   x4 =x5 = a ( из последнего уравнения -4x4 + 4x5 = 0).

Положим  теперь x3 = b  и  тогда:

x2 + 3x3 + 6x4 – 4x5 = 1

x2 + 3x3 + 2a = 1

x3 = b

x2 = 1 - 2a - 3b

x1 + 4x2 – 2x3 – 3x4 = 2

x1 = 2 – 4x2 + 2x3 + 3x4

x1 = 2 – 4 × (1 - 2a - 3b) + 2b + 3a

x1 = 2 – 4 +8a + 12b + 2b + 3a = 11a + 14b -2

Ответ:   X =

vunivere.ru

Проверка на совместимость матрицы | stud-baza.bitballoon.com

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи". В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde$.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения нет, а если существуют – то сколько.

Исследовать СЛАУ $ \left \ & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end\right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde$, запишем их:

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков":

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Исследовать СЛАУ $ \left\ & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end \right.$ на совместность.

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатой форме. Если матрица приведена к ступенчатой форме, то ранг её равен количеству ненулевых строк. Следовательно, $\rang A=3$. Матрица $A$ (до черты) приведена к трапециевидной форме и ранг её равен 2, $\rang A=2$.

Исследовать СЛАУ $ \left\ & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end \right.$ на совместность.

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к трапециевидной форме. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang A < n$, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Грецкая александра владиленовна математический тренингГрафик функции производной

stud-baza.netlify.com

Теорема Кронекера-Капелли, формула и примеры

Выпишем основную и расширенную матрицы заданной системы

   

Вычислим ранги этих матриц с помощью элементарных преобразований строк. Рассмотрим расширенную матрицу . Первую строку оставим без изменения, ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , получим:

   

Далее первую строку оставим без изменения, третью строку сократим на и переставим вторую и третью строки, получим:

   

Первые две строки оставим без изменения, к третьей прибавим вторую, умноженную на 4:

   

Таким образом, матрицы и имеют по три линейно независимые строки, поэтому их ранги равны . По теореме Кронекера-Капелли, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрице и равен количеству неизвестных, то данная система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого, используя последнюю матрицу, перейдем к системе уравнений

   

Вычислим последовательно значения неизвестных. Из последнего уравнения получаем, что . Подставляя это значение неизвестной во второе уравнение, будем иметь:

   

Теперь подставим значения найденных неизвестных в первое уравнение:

   

ru.solverbook.com

Условие совместности СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли

Установить, совместна ли система линейных уравнений, с помощью теоремы Кронекера-Капелли часто можно быстрее, чем с помощью метода Гаусса, когда требуется последовательно исключать неизвестные. Основана эта теорема на использовании ранга матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу её расширенной матрицы, то есть чтобы .

Здесь матрица A (матрица системы) - это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных:

В свою очередь матрица В (расширенная матрица) - это матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца из свободных членов:

Ранги этих матриц связаны неравенством , при этом ранг матрицы В может быть лишь на одну единицу больше ранга матрицы A.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли о числе решений. Пусть для системы m линейных уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, то есть ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда верно следующее.

  • Если ранг матрицы равен числу неизвестных (), то система имеет единственное решение.
  • Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым n - r неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся r неизвестных определятся уже единственным образом.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений, то есть , то система совместна при любых свободных членах. В этом случае ранг расширенной матрицы также равен m, так как ранг матрицы не может быть больше числа её строчек.

В ходе доказательства теоремы Кронекера-Капелли были получены явные формулы для решений системы (в случае её совместности). Если уже известно, что система совместна, то, чтобы найти её решения, необходимо:

1) отыскать в матрице системы A ранга отличный от нуля минор порядка, равного рангу матрицы системы, то есть ранга r;

2) отбросить те уравнения, которые соответствуют строкам матрицы A, не входящим в минор ;

3) члены с коэффициентами, не входящими в , перенести в правую часть, а затем, придавая неизвестным, находящимся в правой части, произвольные значения, определить по формулам Крамера оставшиеся r неизвестных из системы r уравнений с отличным от нуля определителем .

Пример 1. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы. В обоих случаях он равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. Минор

отличен от нуля, поэтому последнее уравнение отбрасываем и неизвестному придаём произвольное значение .

Оставшиеся неизвестные определяются из системы

Решая последнюю систему по формулам Крамера или иным способом, находим

,

,

.

Присоединяя сюда , получаем все решения данной системы линейных уравнений.

Пример 2. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы:

.

Следовательно, ранг системы равен 3. Определим ранг расширенной матрицы:

.

Это означает, что ранг расширенной матрицы также равен 3. Следовательно, система совместна, а так как число неизвестных равно рангу матрицы системы, то она имеет единственное решение. Для решения можем использовать первые три уравнения:

Решая последнюю систему по формулам Крамера, находим

,

,

.

Всё по теме "Системы уравнений и неравенств"

Начало темы "Линейная алгебра"

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Проверка матрицы на совместимость | stud-baza.bitballoon.com

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи". В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde$.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения нет, а если существуют – то сколько.

Исследовать СЛАУ $ \left \ & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end\right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde$, запишем их:

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков":

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Исследовать СЛАУ $ \left\ & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end \right.$ на совместность.

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатой форме. Если матрица приведена к ступенчатой форме, то ранг её равен количеству ненулевых строк. Следовательно, $\rang A=3$. Матрица $A$ (до черты) приведена к трапециевидной форме и ранг её равен 2, $\rang A=2$.

Исследовать СЛАУ $ \left\ & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end \right.$ на совместность.

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к трапециевидной форме. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang A < n$, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Алгоритмы в математике в начальной школеЗадержка ассемблер avr

stud-baza.netlify.com

Матрицы проверка на совместимость | stud-baza.bitballoon.com

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи". В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde$.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения нет, а если существуют – то сколько.

Исследовать СЛАУ $ \left \ & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end\right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde$, запишем их:

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков":

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Исследовать СЛАУ $ \left\ & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end \right.$ на совместность.

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатой форме. Если матрица приведена к ступенчатой форме, то ранг её равен количеству ненулевых строк. Следовательно, $\rang A=3$. Матрица $A$ (до черты) приведена к трапециевидной форме и ранг её равен 2, $\rang A=2$.

Исследовать СЛАУ $ \left\ & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end \right.$ на совместность.

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к трапециевидной форме. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang A < n$, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Репетитор теория игрАльбом графических работ по инженерной графике

stud-baza.netlify.com

Исследование системы на совместимость и решение методом Крамера. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

1. Исследовать систему на совместимость и решить методом Крамера.

Решение:

Т-ма Крамера: крамеровская система имеет единственное решение.

Крамеровская система – это система, удовлетворяющая следующим 2-м условиям:

1) число уравнений системы = числу неизвестных

2) определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от 0

Составим определитель:

 

Система совместима, т.е. имеет хотя бы одно решение.

Ответ: (-4; 1; -2)

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

                                  .

Решение:Выпишем расширенную матрицу системы

Приведем эту матрицу к ступенчатому  виду. Для этого мы можем делать элементарные преобразования строк.

Т-ма Кронекери-Копелли: СЛУ совместима , когда ранг матрицы = рангу расширенной матрицы системы.

Ранг матрицы – число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы

С – расширенная матрица системы, А – матрица системы

r(C)=2

r(A)=2  r(C)=r(A) и по теореме Кронекери-Копелли система совместима. От ступенчатой матрицы переходим к ступенчатой системе:

Т. к. число уравнений системы < числа неизвестных, то в этом случае система имеет бесконечно много решений. Чтобы найти решение, надо разбить неизвестные на главные и свободные.

главные неизвестные, свободная неизвестная (может быть любым числом),

      

3. Разложить пространство R4 на прямую сумму подпространств размерности 2.

Решение:

R4 – множество строк длины 4 (4-х мерное арифметическое пространство)

R4={(

Если А и В – подпространства пространства V, то через А+В обозначают множество {a+b|aЄA, bЄB}

В случае, если А∩В={Ø} – нулевое подпространство, то такая сумма V=A+B называется прямой и в этом случае пишут V=A. В нашем случае Ø=(0,0,0,0)

Пусть теперь А={( B={(0,0,

Проверим, что пространство задаётся в виде А+В

Пусть 

а=( в==(0,0,, значит R4 =A.

Ответ: R4 =A, где А={( B={(0,0,

4. Докажите, что в пространстве M(2, R) система векторов  линейно независима.

Решение:

Система векторов а1,а2,а3,а4 линейно независима, если в любой системе вида

Ø

В нашем случае, пусть

Значит, система векторов Е1, Е2, Е3, Е4 линейно независима.

5. Найдите  жорданову  нормальную  форму матриц:  .

Решение:

Жорданова нормальная форма матрицы состоит из клеток Жордана вдоль главной диагонали, а все остальные элементы такой матрицы нулевые.

Клетка Жордана – это матрица вида:

Если размер клетки n*n, то она обозначается символом Yn(a).

Пример: Y1(a)=а, Y2(a)=, Y3(a)=

В искомой матрице записывают характеристический многочлен матрицы А и находят его корни.

Характеристический многочлен имеет единственный корень кратности 3.

Надо выяснить, какой из 3-х случае нам подходит:

Y1=, Y2=, Y3=(1)

Число всех клеток Жордана вычисляют по формуле:

A-E =~

Значит, . Искомая матрица имеет вид: Y=

Ответ: Y=

6. Исследовать, являются ли векторы

векторного  пространства  линейно зависимыми.

Решение:

Пусть

Это приводит к системе:

Т. к. определитель системы ≠ 0, то система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов f(x), g(x), h(x) являются линейно независимыми.

Ответ: линейно независимы.

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства R2, заданного в некотором базисе матрицей

.

Решение:

Характеристический многочлен имеет единственный корень  кратности 2.

Значит,  - собственное значение линейного оператора.

Найдем собственный вектор, отвечающий найденному собственному значению:

Пусть х = (х1, х2)  х(А-

θ

Пусть х2=t →x1=-t, где t – любое число

Ответ: собственное значение λ = -1, собственный вектор (-t, t), t – любое число.

8. Найти все значения , при которых вектор           линейно выражается через векторы

Решение:

Мы должны найти все λ, для которых уравнение  (1)

имеет решение

что приводит к системе:

Уравнение (1) имеет решение ↔, когда данная система имеет решение. А согласно теореме  Кронекери-Копелли данная система совместима ↔ ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы.

~~~

vunivere.ru