Умножение и деление степеней с одинаковым основанием. При умножении степеней с одинаковым основанием


Свойства степени с одинаковыми основаниями.

Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени - достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

Свойства степени

Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

1-е свойство.

а0 = 1

Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

2-е свойство.

а1 = а

3-е свойство.

аn * am = a(n+m)

Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

4-е свойство.

an/am = a(n-m)

Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

5-е свойство.

(an)m = a(n*m)

6-е свойство.

a-n = 1/an

Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

7-е свойство.

(a*b)m = am * bm

Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

8-е свойство.

(a/b)n = an/bn

9-е свойство.

а½ = √а

Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

10-е свойство.

(√а)2 = а

Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

11-е свойство.

n √an = a

Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

12-е свойство.

am/n = n √am

Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

Применение степеней и их свойств

Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

Формулы сокращенного умножения - еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

Показательные уравнения и неравенства

Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

fb.ru

Правила умножения степеней с разным основанием — Коллегия адвокатов

Как умножать степени

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

www.algebraclass.ru

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 . Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или: 2a 4 — (-6a 4 ) = 8a 4 3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6 5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или: x -3 ⋅ a m = a m x -3 3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2 a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных. Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или: 4a n ⋅ 2a n = 8a 2n b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4 (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) ⋅ (x — y). Ответ: x 4 — y 4 . Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2 : то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 . (a 2 — y 2 )⋅(a 2 + y 2 ) = a 4 — y 4 . (a 4 — y 4 )⋅(a 4 + y 4 ) = a 8 — y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac$. Но это равно a 2 . В ряде чисел a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 . любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

Так, y 3 :y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac= y$.

И a n+1 :a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.

Или: y 2m : y m = y m 8a n+m : 4a m = 2a n 12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней. Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 . Также, $\frac : \frac = \frac.\frac= \frac= \frac$.

h 2 :h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac= h^3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac$ Ответ: $\frac$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac$. Ответ: $\frac$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю. a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель. a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель. a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель. После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю. Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

www.math20.com

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1 Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  • Упростить выражение. b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Представить в виде степени. 6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
  • Представить в виде степени. (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
  • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

    Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2 ) на 3 5 . Это понятно, если посчитать (3 3 + 3 2 ) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

    Свойство № 2 Частное степеней

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

  • Записать частное в виде степени (2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
  • Вычислить.

    = 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней. 3 8 : t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

      Пример. Упростить выражение. 4 5m + 6 · 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2 ) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2 ) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3 Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n ) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    • Пример. (a 4 ) 6 = a 4 · 6 = a 24
    • Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .
    • По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

      Свойства 4 Степень произведения

      При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

      (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

    • Пример 1. (6 · a 2 · b 3 · c ) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    • Пример 2. (−x 2 · y) 6 = ( (−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6 ) = x 12 · y 6

    Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

    (a n · b n )= (a · b) n

    То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить. 2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить. 0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
  • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

    Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

    Пример возведения в степень десятичной дроби.

    4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

    Свойства 5 Степень частного (дроби)

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    (a : b) n = a n : b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней. (5 : 3) 12 = 5 12 : 3 12
  • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    math-prosto.ru

    Степени и корни

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

    нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

    a m · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    ( a / b ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р . ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

    П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m — n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы . 2 0 = 1, ( – 5 ) 0 = 1, ( – 3 / 5 ) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

    О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

    где a ≠ 0 , не существует .

    В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

    — любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

    Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

    0 0 — любое число.

    Р е ш е н и е . Рассмотрим три основных случая:

    1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

    2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x – любое число; но принимая во внимание, что в

    нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

    www.bymath.net

    Правила умножения степеней с разным основанием

    СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

    СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

    § 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

    Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним, то есть

    Доказательство. По определению степени

    2 2 • 2 3 = 2 5 = 32; (—3) • (—3) 3 = (—3 ) 4 = 81.

    Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.

    Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при т > п

    (a =/= 0)

    Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где a =/= 0, это все равно, что доказать формулу

    Если т > п, то число т — п будет натуральным; следовательно, по теореме 1

    Теорема 2 доказана.

    Следует обратить внимание на то, что формула

    доказана нами лишь в предположении, что т > п. Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:

    К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались и мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению 3 — 2 .

    Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним, то есть

    Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа, получаем:

    что и требовалось доказать.

    Например, (2 3 ) 2 = 2 6 = 64;

    518 (Устно.) Определить х из уравнений:

    1) 2 • 2 2 • 2 3 • 2 4 • 2 5 • 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 • 4 4 • 4 6 • 4 8 • 4 10 = 2 x ;

    2) 3 • 3 3 • 3 5 • 3 7 • 3 9 = 3 x ; 4) 1 /5 • 1 /25 • 1 /125 • 1 /625 = 1 / 5 x .

    519. (У с т н о.) Упростить:

    520. (У с т н о.) Упростить:

    521. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями:

    1) 32 и 64; 3) 8 5 и 16 3 ; 5) 4 100 и 32 50 ;

    2) —1000 и 100; 4) —27 и —243; 6) 81 75 • 8 200 и 3 600 • 4 150 .

    oldskola1.narod.ru

    112ak.ru

    7 класс. Алгебра. Степень с натуральным показателем и ее свойства. - Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями.

    Комментарии преподавателя

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства . Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

     

     

    Тема: Сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем и ее свой­ства

    Урок: Умно­же­ние сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми (фор­му­ла )

    Ос­нов­ные опре­де­ле­ния:

    Здесь a - ос­но­ва­ние сте­пе­ни,

     n - по­ка­за­тель сте­пе­ни,

    - n-ая сте­пень числа.

    Тео­ре­ма 1. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

    По-ино­му: если а – любое число; n и k на­ту­раль­ные числа, то:

    От­сю­да пра­ви­ло 1:

    При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли скла­ды­ва­ют­ся, ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

    Разъ­яс­ня­ю­щие при­ме­ры:

    1) 

    2) 

    Вывод: част­ные слу­чаи под­твер­ди­ли пра­виль­ность тео­ре­мы №1. До­ка­жем ее в общем слу­чае, то есть для лю­бо­го а и любых на­ту­раль­ных n и k.

    Дано число а – любое; числа n и k – на­ту­раль­ные. До­ка­зать: 

    До­ка­за­тель­ство ос­но­ва­но на опре­де­ле­нии сте­пе­ни.

    То есть 

    При­мер 1: Пред­ставь­те в виде сте­пе­ни.

    Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой 1.

    а)  

    б)  

    в)

    г) 

    д) 

    е) 

    ж)

    Здесь ис­поль­зо­ва­но обоб­ще­ние:

    з)

    и) 

    к) 

    л) 

    м) 

    При­мер 2: Вы­чис­ли­те (можно ис­поль­зо­вать таб­ли­цу ос­нов­ных сте­пе­ней).

    а)  (по таб­ли­це)

    б) 

    При­мер 3: За­пи­ши­те в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем 2.

    а)  

    б) 

    в)

    г)

    При­мер 4: Опре­де­ли­те знак числа:

    , а – от­ри­ца­тель­ное, так как по­ка­за­тель сте­пе­ни при -13 нечет­ный.

    По-ино­му:

    При­мер 5: За­ме­ни­те (·) сте­пе­нью числа с ос­но­ва­ни­ем r:

    Имеем  , то есть .

     

    На этом уроке мы изучим деление степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и теорему об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Далее мы сформулируем теорему о делении степеней с одинаковыми основаниями, решим разъясняющие задачи и докажем теорему в общем случае. Затем мы применим теорему для решения различных задач, а также решим типичные задачи с использованием обеих теорем.

     

     

    Тема: Сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем и ее свой­ства

    Урок: Де­ле­ние сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми (фор­му­ла )

    Ос­нов­ные опре­де­ле­ния:

    Здесь a - ос­но­ва­ние сте­пе­ни,

    n - по­ка­за­тель сте­пе­ни,

    - n-ая сте­пень числа.

    Тео­ре­ма 1. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

    При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли скла­ды­ва­ют­ся, ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

    Тео­ре­ма 2. Для лю­бо­го числа а и любых на­ту­раль­ных n и k, таких, что  n > k спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

    При де­ле­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми по­ка­за­те­ли от­ни­ма­ют­ся, а ос­но­ва­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным.

    Разъ­яс­ня­ю­щие за­да­чи

    1) 

    2) 

    Вывод: част­ные слу­чаи под­твер­ди­ли пра­виль­ность тео­ре­мы №2. До­ка­жем ее в общем слу­чае, то есть для лю­бо­го а и любых на­ту­раль­ных n и k таких, что  n > k.

    До­ка­за­тель­ство тео­ре­мы 2.

    Пер­вый спо­соб.

    Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой 1. При­ме­ним ее для сте­пе­ней  и .

     

      . Раз­де­лим обе части на .

    Вто­рой спо­соб.        

    До­ка­за­тель­ство ос­но­ва­но на опре­де­ле­нии сте­пе­ни

    Со­кра­тим k со­мно­жи­те­лей.

    То есть   для лю­бо­го а и любых на­ту­раль­ных n и k таких, что  n > k.

    При­мер 1: Вы­чис­лить.

    Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой 2.

    а) 

    б)

    При­мер 2: Упро­стить.

    а)  

    б) 

    в) 

    При­мер 3: Ре­шить урав­не­ние.

    а)  

    б)  

    При­мер 4: Вы­чис­лить:

    Для ре­ше­ния сле­ду­ю­щих при­ме­ров будем поль­зо­вать­ся обе­и­ми тео­ре­ма­ми.

    а) =6 или быст­рее =6

    б) ==81 или быст­рее =81

    в) == или быст­рее 

    При­мер 5: Упро­стить:

    а) 

    www.kursoteka.ru

    Деление степеней с одинаковыми основаниями

    Пусть надо a9 ÷ a3; здесь, согласно смыслу деления, дано произведение = a9 и дан один множитель = a3. Надо найти другой множитель. Напишем данное произведение (a9) подробнее

    a · a · a · a · a · a · a · a · a

    и отделим, например, подчеркивая, данный множитель, т. е. a3 или a · a · a. Тогда мы увидим, каков другой множитель, а именно осталось неподчеркнутым

    a · a · a · a · a · a,

    что = a6. Итак,

    a9 ÷ a3 = a6.

    Пусть надо b47 ÷ b18. Данное произведение есть b47 или такое произведение, где b повторяется множителем 47 раз; отделим один данный множитель, b18, или произведение, где b повторяется 18 раз множителем. Тогда мы сообразим, что искомым множителем является произведение, где b повторяется 29 раз множителем, т. е. b29. Итак, b47 ÷ b18 = b29.

    Также

    x15 ÷ x5 = x10(a + b)7 ÷ (a + b) = (a + b)6323 ÷ 320 = 33 = 27 и т. д.

    Вообще

    am ÷ an = am-n (если m > n)

    или словами: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без изменения, а показатель делителя вычитается из показателя делимого (если показатель делимого больше показателя делителя).

    Пусть теперь надо

    20a5b4c2d ÷ 5a3b3c2.

    Здесь дано произведение (20a5b4c2d) и один множитель 5a3b3c2; надо найти другой множитель. У произведения коэффициент (+20), он получился от умножения коэффициента данного множителя (+5) на коэффициент искомого множителя. Чтобы найти этот коэффициент, надо (+20) ÷ (+5), получим +4. В данном произведении a взято множителем 5 раз, в данном множителе a входит множителем 3 раза. Поэтому в искомом множителе a должно входить множителем 2 раза, т. е. в искомом множителе должно быть a2. В данном произведении b берется множителем 4 раза, а в данном множителе – 3 раза; следовательно, в искомом множителе b должно входить множителем лишь 1 раз. В данном произведении имеем c2 (c берется множителем 2 раза) и в данном множителе имеем c2. Поэтому в искомом множителе c не должно вовсе входить. В данном произведении имеется множитель d, а в данном множителе d вовсе нет; поэтому d должно иметься в искомом множителе. Итак,

    20a5b4c2d ÷ 5a3b3c2 = 4a2bd.

    Еще примеры:

    В предыдущем встречались деления, вроде c2 ÷ c2; a ÷ a; b3 ÷ b3; и т. д. Здесь уместно заметить, что частное от деления какого-либо числа на самое себя всегда равно 1.

    maths-public.ru

    Умножение и деление степеней с одинаковым основанием

    Тема: «Умножение и деление степеней с одинаковым основанием»

    2 урок по данной теме

    Цели:

    1. Создать условия для закрепления умения выполнять умножение и деление степеней с одинаковым основанием, повторить  повторить определение степени числа с натуральным   показателем  n>1

    2. Развивать логические операции мышления: анализ, синтез, обобщение, умение делать выводы, вычислительные навыки

    3. Воспитывать аккуратность, самостоятельность, учить детей сотрудничать, оказывать помощь друг другу.

    Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, раздаточный материал, доска, мел.

    Методы: словесные, практические

    Формы: беседа, практикум.

    Форма организации деятельности учащихся: фронтальная, парная.

    Ход урока:

    Этапы

    Деятельность учителя и учащихся

    Организационный момент

    (2 мин)

    Здравствуйте, ребята! Хочу обратить ваше внимание, что у нас сегодня с вами необычный урок. На нашем уроке присутствуют гости. Повернитесь к гостям, поздоровайтесь с ними. Присаживайтесь. Положительный настрой на урок

    Долгожданный дан звонок – Начинается урок. Тут затеи и задачи, Игры, шутки, всё для вас. Пожелаю всем удачи – За работу! В добрый час! 

    (Объяснение работы с маршрутным листом и критериями оценивания.)Ребята, у каждого из вас лежит маршрутный лист. За каждый вид работы на уроке вы будете проставлять себе баллы. И в конце урока выставить себе отметку.

    Актуализация знаний (2 мин)

    Ребята, давайте вспомним, какую тему мы изучали с вами на прошлом уроке? ( Умножение и деление степеней с одинаковым основанием).

    Чему мы научились?

    Целеполагание

    (2мин)

    Сегодня мы продолжим работать по теме «Умножение и деление степеней с одинаковым основанием». Какие цели вы можете поставить исходя из темы урока? (Дети ставят перед собой цели). Учитель обобщает цели!

    Устный счет

    (3 мин)

    1. Дайте определение степени.

    2. Представьте произведения в виде степеней

    9·9·9 = 9³

    (-х)(-х)(-х)(-х)(-х) = (- х)⁵

    (а-с)(а-с) = (а – с)²

    1. Найдите значение выражения

    (-2)⁴ = 16

    = -1/32

    (- 0,1)³ = -0,001

    Проверка домашнего задания.(5 мин)

    Откройте тетради, запишите число и классная работа.

    Что было задано на дом?

    Сравните свое решение, с решением, которое представлено на слайде.

    Какое правило вы применяли при выполнении №408, №409? (умножение степеней с одинаковым основанием). Как выполнить умножение степеней с одинаковым основанием?

    Какое правило применяли при выполнении №414, №415? (деление степеней с одинаковым основанием). Как выполнить деление степеней с одинаковым основанием?

    Оцените работу согласно критериям и проставьте баллы в маршрутный лист.

    Закрепление

    1. ин)

    1. Работа по учебнику (с контролерами)

    Откройте учебник на 95 стр. № 410.

    Прочитайте задание. Чем данное задание отличается от тех,которые мы с вами уже выполняли? (разное основание). Подумайте в парах, как можно решить это задание. Один учащийся решают у доски с комментированием, остальные самостоятельно в тетрадях.

    С.96, № 417. Прочитайте задание.

    В чем особенность данного задания? (дробная черта). Что означает дробная черта? (деление). Обсудите в парах решение данного задания. Один учащийся решают у доски с комментированием, остальные самостоятельно в тетрадях. После проверка.

    Физкультминутка

    Чему равна степень числа с нулевым показателем? (степень числа а с нулевым показателем равна единице.)

    №420 устно. Задание представлено на слайде.

    Найдите значение выражение.

    №418. Один учащийся у доски с комментированием, остальные в тетради.

    Самостоятельная работа

    (13 мин)

    Переходим к выполнению самостоятельной работы. У каждого из вас лежит конверт с заданием. В каждом конверте 3 карточки разного цвета. Розовая карточка содержит задания на отметку «5», зеленая карточка на «4», желтая карточка на «3». Выберите ту карточку, с которой вы можете справиться.. После выполнения проверяют по готовым ключам и выставляют отметки согласно критериям. (самопроверка)

    Подведение итогов

    (3 мин)

    1.. Выставление отметок.

    2. Домашнее задание.

    3. Подведение итогов.

    4. Проведение рефлексии.

    infourok.ru

    Свойства степеней с одинаковыми основаниями — Науколандия

    Существует три свойства степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Это

    • Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть сумма показателей исходных множителей.
    • Частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть разность показателей исходных множителей.
    • Возведение степени числа в степень равно выражению, в котором основание — это то же самое число, а показатель — это произведение двух степеней.

    Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует.

    Запишем эти свойства-правила в виде формул:

    • am × an = am+n
    • am ÷ an = am–n
    • (am)n = amn

    Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.

    52 × 53 = 55 — здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:

    52 × 53 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55 — пять в квадрате — это пять умноженное на пять, а в кубе — произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 55.

    39 ÷ 35 = 39–5 = 34. Запишем деление в виде дроби:

    Ее можно сократить:

    В результате получим:

    Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.

    Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу am ÷ an = am–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.

    Перейдем к третьему свойству:(22)4 = 22×4 = 28

    Запишем в развернутом виде:(22)4 = (2 × 2)4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 28

    Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.

    scienceland.info