Чему равна площадь осевого сечения конуса? Площади осевого сечения конуса формула


Как найти площадь осевого сечения конуса

Конус представляет собой геометрическое тело, основание которого представляет собой круг, а боковая поверхности — все отрезки, проведенные из точки, находящейся вне плоскости основания, к этому основанию. Прямой конус, тот, что обыкновенно рассматривается в школьном курсе геометрии, дозволено представить как тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Перпендикулярным сечением конуса является плоскость, проходящая через его вершину перпендикулярно основанию.

Вам понадобится

  • Чертеж конуса с заданными параметрами
  • Линейка
  • Карандаш
  • Математические формулы и определения
  • Высота конуса
  • Радиус окружности основания конуса
  • Формула площади треугольника

Инструкция

1. Начертите конус с заданными параметрами. Обозначьте центр окружности как О, а вершину конуса — как P. Вам нужно знать радиус основания и высоту конуса. Припомните свойства высоты конуса. Она представляет собой перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к его основанию. Точка пересечения высоты конуса с плоскостью основания у прямого конуса совпадает с центром окружности основания. Постройте осевое сечение конуса. Оно образовано диаметром основания и образующими конуса, которые проходят через точки пересечения диаметра с окружностью. Обозначьте полученные точки как А и В.

2. Осевое сечение образовано двумя прямоугольными треугольниками, лежащими в одной плоскости и имеющими один всеобщий катет. Вычислить площадь осевого сечения дозволено двумя методами. 1-й метод — обнаружить площади получившихся треугольников и сложить их совместно. Это особенно наглядный метод, но по сути он ничем не отличается от классического вычисления площади равнобедренного треугольника. Выходит, у вас получилось 2 прямоугольных треугольника, всеобщим катетом которых является высота конуса h, вторыми катетами — радиусы окружности основания R, а гипотенузами — образующие конуса. От того что все три стороны этих треугольников равны между собой, то и сами треугольники тоже получились равными, согласно третьему свойству равенства треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то есть S=1/2Rh. Площадь 2-х треугольников соответственно будет равна произведению радиуса окружности основания на высоту, S=Rh.

3. Осевое сечение почаще каждого рассматривают как равнобедренный треугольник, высотой которого является высота конуса. В данном случае это треугольник АPВ, основание которого равно диаметру окружности основания конуса D, а высота равна высоте конуса h. Площадь его вычисляется по классической формуле площади треугольника, то есть в результате получаем ту же самую формулу S = 1/2Dh = Rh, где S – площадь равнобедренного треугольника, R — радиус окружности основания, а h — высота треугольника, являющаяся единовременно и высотой конуса.

Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки, которая именуется вершиной конуса и проходящих через плоскую поверхность, которая именуется основанием конуса. Под площадью конуса понимают площадь его боковой поверхности и площадь основания, которое является окружностью.

Вам понадобится

  • Элементарные умения стереометрии.

Инструкция

1. Вычислим площадь боковой поверхности. Пускай нам дан радиус основания R и длина образующей конуса l. Тогда площадь боковой поверхности конуса равна П*R*l, где П-число Пи.

2. Сейчас вычислим площадь основания конуса. Потому что основанием конуса является окружность, то площадь основания равна площади этой окружности и равна П*R*R.

3. Окончательная площадь конуса равна сумме площадей его поверхности и основания. То есть S = П*R*R + П*R*l. Ну, либо позже реформирования, S = П*R(R + l).

Видео по теме

Обратите внимание! Площадь — величина позитивная, и если вы получили негативное значение, значит, вы где-то ошиблись. Наблюдательно перепроверьте все свои расчеты.

Полезный совет Зная площадь конуса и радиус его основания, дозволено обнаружить длину его направляющей, а зная площадь и длину направляющей — радиус его основания.

Построение сечения конуса не такая уж трудная задача. Основное — соблюдать суровую последовательность действий. Тогда данная задача будет легко выполнима и не затребует от Вас крупных трудозатрат.

Вам понадобится

  • — бумага;
  • — ручка;
  • — циркль;
  • — линейка.

Инструкция

1. При результате на данный вопрос, вначале следует определиться – какими параметрами задано сечение.Пускай это будет прямая пересечения плоскости основания конуса l с плоскостью сечения и точка О, которая является местом пересечения высоты конуса с его сечением. Построение иллюстрирует рис.1. 1-й шаг построения сечения – это проведение через центр сечения его диаметра, продленного до l перпендикулярно этой линии. В результате получается точка L. Дальше через т.О проведите прямую LW, и постройте две направляющие конуса, лежащие в основном сечении О2М и О2С . В пересечении этих направляющих лежат точка Q, а также теснее показанная точка W. Это первые две точки желанного сечения.

2. Сейчас проведите в основании конуса диаметр ВВ1 перпендикулярный МС и постройте образующие перпендикулярного сечения О2В и О2В1. В этом сечении через т.О проведите прямую RG, параллельную ВВ1. Т.R и т.G — еще две точки желанного сечения. Если бы силуэт сечения бал знаменит, то его дозволено было бы возвести теснее на этой стадии. Впрочем это совсем не эллипс, а что-то эллипсообразное, имеющее симметрию касательно отрезка QW. Следственно следует строить как дозволено огромнее точек сечения, дабы соединяя их в будущем плавной косой получить особенно подлинный эскиз.

3. Постройте произвольную точку сечения. Для этого проведите в основании конуса произвольный диаметр AN и постройте соответствующие направляющие О2A и O2N. Через т.О проведите прямую, проходящую через PQ и WG, до ее пересечения с только что построенными направляющими в точках P и E. Это еще две точки желанного сечения. Продолжая верно так же и дальше, дозволено набрать сколь желательно много желанных точек.

4. Правда, процедуру их приобретения дозволено немножко упростить пользуясь симметрией касательно QW. Для этого дозволено в плоскости желанного сечения провести прямые SS’, параллельные RG до пересечения их с поверхность конуса. Построение завершается скруглением построенной ломаной из хорд. Довольно возвести половину желанного сечения в силу теснее упомянутой симметрии касательно QW.

Видео по теме

Дабы решить данную задачу, нужно припомнить, что такое усеченный конус и какими свойствами он владеет. Непременно сделайте чертеж. Это дозволит определить, какую геометрическую фигуру представляет собой сечение конуса . Абсолютно допустимо, что позже этого решение задачи теснее не будет представлять для вас трудности.

Инструкция

1. Круглый конус – тело, полученное путем вращения треугольника вокруг одного из его катетов. Прямые, исходящие из вершины конуса и пересекающие его основание, именуются образующими. Если все образующие равны, то конус является прямым. В основании круглого конуса лежит круг. Перпендикуляр, опущенный на основание из вершины, является высотой конуса . У круглого прямого конуса высота совпадает с его осью. Ось – это прямая, соединяющая вершину с центром основания. Если горизонтальная секущая плоскость кругового конуса параллельна основанию, то его верхнее основание представляет собой круг.

2. От того что в условии задачи не оговорено, какой именно конус дается в данном случае, дозволено сделать итог, что это круглый прямой усеченный конус, горизонтальное сечение которого параллельно основанию. Его осевое сечение, т.е. вертикальная плоскость, которая проходит через ось круглого усеченного конуса , представляет собой равнобочную трапецию. Все осевые сечения круглого прямого конуса равны между собой. Следственно, дабы обнаружить площадь осевого сечения , требуется обнаружить площадь трапеции, основаниями которой являются диаметры оснований усеченного конуса , а боковые стороны – его образующие. Высота усеченного конуса является единовременно высотой трапеции.

3. Площадь трапеции определяется по формуле:S = ?(a+b) h, где S – площадь трапеции;a – величина нижнего основания трапеции;b – величина ее верхнего основания;h – высота трапеции.

4. От того что в условии не оговорено, какие именно величины даны, дозволено считать, что диаметры обеих оснований и высота усеченного конуса вестимы: AD = d1 – диаметр нижнего основания усеченного конуса ;BC = d2 – диаметр его верхнего основания; EH = h2 – высота конуса .Таким образом, площадь осевого сечения усеченного конуса определяется: S1 = ? (d1+d2) h2

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется фигура вращения, называемая конусом. Конус — геометрическое тело с одной вершиной и круглым основанием.

Инструкция

1. Расположите чертежный угольник, совместив один из катетов с плоскостью стола. Не отрывая сторону угольника от поверхности стола поворачивайте угольник вокруг второго катета. Сберегайте вертикальное расположение чертежного инструмента при его вращении, дабы вершина угольника оставалась статичной.

2. Позже полного цикла вершина угольника очертит на столе окружность, ограничивающую основание полученного тела вращения. Вершина прямого угла останется в центре круглого основания с радиусом, равным катету, лежащему на плоскости стола. Катет, послуживший осью вращения, становится высотой образованного конуса. Вершина конуса расположена верно над центром окружности в основании. Гипотенуза угольника является образующей конуса.

3. Осевое сечение принадлежит плоскости, в которой расположена ось конуса. Видимо, что плоскость осевого сечения перпендикулярна основанию конуса и разрезает конус на две равные части. Фигура, получившаяся в плоскости осевого сечения — равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру окружности основания конуса, боковые стороны равны образующей конуса.

4. Высота равнобедренного треугольника в плоскости осевого сечения, опущенная на основание, равна высоте конуса и единовременно является осью симметрии. Ось симметрии делит фигуру осевого сечения на два равных прямоугольных треугольника. Катеты этих прямоугольных треугольников — радиус окружности в основании конуса и высота конуса. Гипотенузы полученных прямоугольных треугольников равны образующей конуса.

5. Площадь равнобедренного треугольника в сечении конуса равна половине произведения диаметра основания конуса на высоту конуса. Площадь S прямоугольного треугольника в осевом сечении равна половине площади полного сечения и может быть вычислена по формуле:S= d*h/4 где d -диаметр основания, h — высота конуса.

Полезный совет Площадь осевого сечения конуса вычисляется по формуле площади трапеции. В этом случае нужно знать оба радиуса оснований, высоту и серединную линию.

jprosto.ru

Чему равна площадь осевого сечения конуса?

  • Осевое сечение конуса - это треугольник.Следовательно, площадь осевого сечения конуса равна произведению высоты конуса на радиус основания.

    S=h*r

  • Определение из курса стереометрии:

    Осевое сечение - это сечение трхмерной фигуры плоскостью, которая проходит через ось этой фигуры.

    Для конуса осевым сечением будут являться треугольник.

    Таким образом, для нахождения площади осевого сечения конуса необходимо найти площадь данного треугольника.

    Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведнную к данному основанию.

    Высота треугольника будет совпадать с высотой конуса, она равна h.

    Основание треугольника будет равно диаметру окружности d (окружность является основанием конуса).

    Таким образом, S = 0,5*d*h.

    Так как половина диаметра окружности - это радиус, то формулу можно переписать в следующем виде:

    Sсеч = R*h.

  • Площадь осевого сечения конуса вычисляется по формуле:

    S=1/2*(h*2r),где h -это высота,r-это радиус основания.Например.если высота конуса равна 5 см, а радиус основания равен 2,5 см, то площадь осевого сечения будет равна S=0.5*(5*2*2.5)=12.5 cm

  • Для ответа необходимо хорошее пространственное представление. Если конус разделить от вершины до средины основания , мы получим фигуру треугольника. А площадь треугольника высчитывается произведением высоты на длину нижней стороны , деленную на два , в данном случае это радиус.

  • Вообразите себе конус и разделите его на две части сверху вниз. Это будет треугольник . А формулу, как найти площади его, вы знаете. На самом деле, нахождение площади сечения в случаях в стереометрии сводится к понятиям обычной геометрии на плоскости

  • Надо сказать, что сечение представляет собой ни что иное, как треугольник. То есть найти площадь осевого сечения конуса можно найти с помощью следующей формулы: S=1/2d*h=Rh. D признается диаметром конуса, R признается радиусом основания, h является высотой конуса

  • При осевом сечении конуса плоскость проходит через вершину данного конуса , а самим сечением получается треугольник. Площадью такого сечения является половина диаметра или радиуса, умноженного на высоту. То есть формула вычисления такой площади выглядит так :

    S = 1/2D h = R h

    где D - это диаметр конуса ( основания ), R - радиус основания, а h - это высота конуса и треугольника, соответственно.

  • info-4all.ru

    Как найти площадь осевого сечения конуса

    Конус представляет собой геометрическое тело, основание которого представляет собой круг, а боковая поверхности — все отрезки, проведенные из точки, находящейся вне плоскости основания, к этому основанию. Прямой конус, который обычно рассматривается в школьном курсе геометрии, можно представить как тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Перпендикулярным сечением конуса является плоскость, проходящая через его вершину перпендикулярно основанию.

    Вам понадобится

    • Чертеж конуса с заданными параметрами
    • Линейка
    • Карандаш
    • Математические формулы и определения
    • Высота конуса
    • Радиус окружности основания конуса
    • Формула площади треугольника

    Инструкция

    • Начертите конус с заданными параметрами. Обозначьте центр окружности как О, а вершину конуса — как P. Вам необходимо знать радиус основания и высоту конуса. Вспомните свойства высоты конуса. Она представляет собой перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к его основанию. Точка пересечения высоты конуса с плоскостью основания у прямого конуса совпадает с центром окружности основания. Постройте осевое сечение конуса. Оно образовано диаметром основания и образующими конуса, которые проходят через точки пересечения диаметра с окружностью. Обозначьте полученные точки как А и В.
    • Осевое сечение образовано двумя прямоугольными треугольниками, лежащими в одной плоскости и имеющими один общий катет. Вычислить площадь осевого сечения можно двумя способами. Первый способ — найти площади получившихся треугольников и сложить их вместе. Это наиболее наглядный способ, но по сути он ничем не отличается от классического вычисления площади равнобедренного треугольника. Итак, у вас получилось 2 прямоугольных треугольника, общим катетом которых является высота конуса h, вторыми катетами — радиусы окружности основания R, а гипотенузами — образующие конуса. Поскольку все три стороны этих треугольников равны между собой, то и сами треугольники тоже получились равными, согласно третьему свойству равенства треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то есть S=1/2Rh. Площадь двух треугольников соответственно будет равна произведению радиуса окружности основания на высоту, S=Rh.
    • Осевое сечение чаще всего рассматривают как равнобедренный треугольник, высотой которого является высота конуса. В данном случае это треугольник АPВ, основание которого равно диаметру окружности основания конуса D, а высота равна высоте конуса h. Площадь его вычисляется по классической формуле площади треугольника, то есть в итоге получаем ту же самую формулу S = 1/2Dh = Rh, где S – площадь равнобедренного треугольника, R - радиус окружности основания, а h — высота треугольника, являющаяся одновременно и высотой конуса.

    completerepair.ru

    Как найти площадь осевого сечения усеченного конуса

    Чтобы решить данную задачу, необходимо вспомнить, что такое усеченный конус и какими свойствами он обладает. Обязательно сделайте чертеж. Это позволит определить, какую геометрическую фигуру представляет собой сечение конуса. Вполне возможно, что после этого решение задачи уже не будет представлять для вас сложности.

    Инструкция

    • Круглый конус – тело, полученное путем вращения треугольника вокруг одного из его катетов. Прямые, исходящие из вершины конуса и пересекающие его основание, называются образующими. Если все образующие равны, то конус является прямым. В основании круглого конуса лежит круг. Перпендикуляр, опущенный на основание из вершины, является высотой конуса. У круглого прямого конуса высота совпадает с его осью. Ось – это прямая, соединяющая вершину с центром основания. Если горизонтальная секущая плоскость кругового конуса параллельна основанию, то его верхнее основание представляет собой круг.
    • Поскольку в условии задачи не оговорено, какой именно конус дается в данном случае, можно сделать вывод, что это круглый прямой усеченный конус, горизонтальное сечение которого параллельно основанию. Его осевое сечение, т.е. вертикальная плоскость, которая проходит через ось круглого усеченного конуса, представляет собой равнобочную трапецию. Все осевые сечения круглого прямого конуса равны между собой. Следовательно, чтобы найти площадь осевого сечения, требуется найти площадь трапеции, основаниями которой являются диаметры оснований усеченного конуса, а боковые стороны – его образующие. Высота усеченного конуса является одновременно высотой трапеции.
    • Площадь трапеции определяется по формуле:S = ½(a+b) h, где S – площадь трапеции;a – величина нижнего основания трапеции;b – величина ее верхнего основания;h – высота трапеции.
    • Поскольку в условии не оговорено, какие именно величины даны, можно считать, что диаметры обеих оснований и высота усеченного конуса известны: AD = d1 – диаметр нижнего основания усеченного конуса;BC = d2 – диаметр его верхнего основания; EH = h2 – высота конуса.Таким образом, площадь осевого сечения усеченного конуса определяется: S1 = ½ (d1+d2) h2

    completerepair.ru

    Конус. Усеченный конус

     

    Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

    Данная кривая называется направляющей, прямые – образующими, точка – вершиной конической поверхности.

    Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

    Конусом (прямым круговым конусом) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

           
       
     
     

     

    Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

    Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

    Круг, ограничивающий конус, называется его основанием. Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

     

    Для конуса верны формулы:

    (7)

    где R – радиус основания;

    H – высота;

    l – длина образующей;

    Sосн – площадь основания;

    Sбок – площадь боковой поверхности;

    Sполн – площадь полной поверхности;

    V – объем конуса.

     

    Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

     
     

     

    Рис. 35

     

    Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

    Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими. Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

     

    Для усеченного конуса верны формулы:

    (8)

     

    где R – радиус нижнего основания;

    r – радиус верхнего основания;

    H – высота, l – длина образующей;

    Sбок – площадь боковой поверхности;

    Sполн – площадь полной поверхности;

    V – объем усеченного конуса.

    Пример 1.Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

    Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

     

    Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О1А и О1В и образующую АВ.

    Рассмотрим подобные треугольники SO2B и SO1A, коэффициент подобия , тогда

    Отсюда

    Из SO1A

    Так как то

    Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

    Ответ: .

    Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

    Решение.Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R, значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

    Ответ: 2 см, .

    Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

    Решение.Сделаем рисунок (рис. 37).

     

    В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O1O2AB проведем AC^O1B. В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC=BC=3 см.

    Ответ:

    Пример 4.Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

    Решение. Сделаем рисунок (рис. 38).

     

    Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC), образующие конусов (BC и AC) и высоту цилиндра (AB). Неизвестной является только CO. это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC. Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту , проведенную к ней DC, с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона:

    Но

    Из этих равенств находим Подставляя найденные значения, получаем:

    Таким образом, площадь поверхности тела вращения равна

    Ответ: см2.

    Пример 5. Два конуса имеют общую высоту, но вершины их лежат в разных концах высоты. Образующая первого конуса равна l, а угол при вершине его осевого сечения равен 2a. Угол при вершине осевого сечения второго конуса равен 2b.Найти объем общей части конусов.

    Решение.Сделаем рисунок (рис. 39).

     

    Объем общей части конусов равен сумме объемов конуса с общим основанием радиуса ВА, высотой BD и высотой BC соответственно. Получим следующее выражение для вычисления объема:

    Рассмотрим первый конус, у которого образующая DF равна l, а угол при вершине осевого сечения Треугольник CDF прямоугольный, , тогда Из треугольника BDA ( ) выразим DB: из треугольника BCA ( ) выразим BC:

    Получим следующее: или Из этих равенств выразим AB: Þ

    Подставив найденные выражения в формулу для вычисления объема, получим:

    Ответ: .

     

    Похожие статьи:

    poznayka.org

    Конус [wiki.eduVdom.com]

    Конусом (прямым круговым конусом) называется тело, состоящее из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

    Конус является телом вращения.

    Конус

    Рис.1

    Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

    Конус — тело, которое ограничено конической поверхностью и плоскостью, на которой лежат концы образующих конической поверхности.

    Коническая поверхность — поверхность, которая образуется движением отрезка, один из концов которого неподвижен, а другой перемещается на плоскости вдоль некоторой кривой. Отрезки называют образующими конической поверхности, а кривую – направляющей. Неподвижная точка – вершина конической поверхности.

    Боковая поверхность конуса — часть конической поверхности, ограниченная плоскостью.

    Основание конуса — часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью конуса.

    Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания (См.Рис.1). В противном случае, конус называется наклонным. В школьном курсе изучается прямой круговой конус.

    Круговой конус — конус, у которого в основании круг.

    Прямой круговой конус (просто конус) — круговой конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром круга, лежащего в основании, перпендикулярна плоскости основания.

    Ось конуса — прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.

    Высота конуса — отрезок оси конуса, соединяющий вершину конуса с центром основания.

    Конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.

    Образующие конуса совпадают с образующими конической поверхности.

    Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. См.Рис.2.

    Рис.2

    Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

    Площадь боковой поверхности (круглого) конуса равна произведению половины длины окружности основания (C) на образующую (l): $$S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot Cl=\pi\cdot rl$$ , где r – радиус основания, l – длина образующей.

    Площадь полной поверхности конуса — сумма площадей основания конуса и его боковой поверхности, которая записывается формулой: $$S_{полн}=\pi\cdot r(l+r)$$ , где r — радиус основания, l — длина образующей.

    Объем всякого конуса равен трети произведения площади основания (S) на высоту (h): $$V=\frac{1}{3}\cdot Sh$$ Объем круглого конуса: $$V=\frac{1}{3}\cdot Sh=\frac{1}{3}\cdot\pi r^2 \cdot h$$

    Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. См.Рис.3.

    Усечённый конус

    Рис.3

    Формулы для усечённого конуса (См.Рис.4): $$ S_{бок}=\pi\cdot l\cdot (R+r) \\ S_{полн}=S_{бок}+\pi(R^2+r^2) \\ V=\frac{1}{3}\pi\cdot h(R^2+R\cdot r+r^2) $$

    Усечённый конус

    Рис.4

    Пример 1. Высота конуса равна 4 , а длина образующей - 5. Найдите диаметр основания конуса.

    Видео-решение.

    wiki.eduvdom.com