Как найти площадь правильного шестиугольника. Площадь вписанного в окружность правильного шестиугольника


Правильный шестиугольник, площадь правильного шестиугольника

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.Он равен .Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

Ответ: .

. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Ответ: .

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Площадь правильного шестиугольника — Циклопедия

Площадь правильного шестиугольника // KhanAcademyRussian [9:01]

Площадь правильного шестиугольника — это число, характеризующее правильный шестиугольник в единицах измерения площади.

Правильный шестиугольник (гексагон) — это шестиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=6;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/6;

P6 — периметр правильного шестиугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S6 — площадь правильного шестиугольника.

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=6:

[math]S_6=\frac{3a^2}{2}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=6S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=\frac{1}{2}P_6r, \ P_6=6a, \ r=\frac{a}{2}ctg\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=6R^2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}, \ R=\frac{a}{2\sin\frac{\pi}{6}} \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=6r^2tg\frac{\pi}{6}, \ r=R\cos\frac{\pi}{6}[/math]

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/6:

[math]S_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=6S_{\triangle}, \ S_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=\frac{1}{2}P_6r, \ P_6=6a, \ r=\frac{\sqrt{3}}{2}a \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2, \ R=a \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=2\sqrt{3}r^2, \ r=\frac{\sqrt{3}}{2}R[/math]

где [math]\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}[/math], [math]\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/math], [math]tg\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/math], [math]ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}[/math]

[править] Другие многоугольники

cyclowiki.org

Как найти площадь правильного шестиугольника

Для решения этой задачи Вам потребуется всего лишь провести диагонали в данном в задании правильном шестиугольнике. У Вас должно получиться шесть равносторонних (правильных) треугольников.

Нам известно, что площадь равностороннего (правильного) треугольника вычисляется по стандартной формуле:

  • S = √3/4*а2(в квадрате).

Поскольку у нас при проведении диагоналей получилось шесть одинаковых треугольников, то площадь шестиугольника будет в шесть раз превосходит площадь одного из треугольников, то есть:

  • S = 6*√3/4*а2(в квадрате), где а – это сторона шестиугольника.

Пример:

Дан правильный шестиугольник, где стороны равные 2 см. подставляем формулу и получаем:

  • S = 6*√3/4*2(в квадрате) = 1,5√3*4 = 6√3.

Ответ: 6√3 дм2 (в квадрате).

Как найти площадь правильного шестиугольника вписанного в окружность

1. Для решения такой непростой, на первый взгляд, задачи с шестиугольником напрямую используется его главная особенность, которая гласит, что правильный шестиугольник очень легко вписывается в окружность или наоборот, окружность можно вписать внутрь этой фигуры. Если окружность вписать в шестиугольник, то ее радиус можно найти по следующей формуле:

  • r = ((√3)*t)/2, где t, будет стороной данного нам шестиугольника.

Необходимо отметить, что стороны шестиугольника описанного окружностью равны радиусу окружности, то есть R=t.

R и r являются радиусами описанной либо вписанной окружностей, соответственно.

2. После того, как у Вас получилось разобраться, как вычислять радиус описанной либо вписанной окружности в шестиугольник, можно приступить к вычислению площади данной нам фигуры, используя формулы:

  • S = (3*√3*R2(в квадрате))/2, где R является радиусом окружности, в которую вписана наша шестиугольная фигура;
  • S = 2*√3*r2(в квадрате), где r является радиусом окружности, вписанной в нашу фигуру.

3. Чтобы окончательно не запутаться, давайте рассмотрим данные формулы на примерах.

Пример:

Нам дан правильный шестиугольник, у которого будут стороны равны 6 сантиметрам, и необходимо вычислить его площадь. Для решения такой задачи можно прибегнуть к двум способам:

  • S = (3*√3*6(в квадрате))/2 = 93,53 сантиметра в квадрате.

Второе решение немного длиннее, но от этого не менее эффективное.

Для начала потребуется вычислить радиус вписанной окружности по стандартной формуле:

  • r = ((√3)*6)/2 = 5,19 сантиметров,

затем подставляем формулу для получения площади:

  • S = 2*√3*5.19(в квадрате) = 93,53 сантиметра в квадрате.

Как Вы уже заметили, два вышеуказанных способа являются действенными и не нуждаются в проверки своих решений.

  • < Как сделать зелье в minecraft без модов
  • Как пить текилу >

razuznai.ru

Правильный шестиугольник вписанный в окружность

Правильный шестиугольник вписанный в окружность. К вашему вниманию типичная задача, которая встречается в школьном курсе математики. Сначала небольшое теоретическое отступление. Информацию о шестиугольнике и окружности можно посмотреть здесь и тут.

Известно, что в правильном шестиугольнике расстояния от центра до его вершин равны, также это расстояние равно стороне шестиугольника. То есть правильный шестиугольник состоит как бы из шести равносторонних треугольников «сложенных» друг с другом.

ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян Л. С.

Задача 1097. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников – вписанного в окружность и описанного около неё.

Как правило, когда дано такое условие большинство ребят привыкли строить эскиз следующим образом:

*Конечно, можно построить диагонали и высоты образованных равносторонних треугольников. Далее обозначить сторону описанного шестиугольника, например, за «х» и вычислять их площади.

Мы поступим следующим образом: повернём вписанный шестиугольник по часовой стрелке на 30 градусов и разобьём (диагоналями) на 6 равносторонних треугольников:

Видно, что сторона вписанного шестиугольника равна высоте описанного. Кроме того, очевидно, что рассматриваемые шестиугольники подобны. Вспомним свойства подобия фигур:

=> отношение сторон подобных фигур равно коэффициенту подобия, то есть

=> отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, то есть

Для того чтобы вычислить отношение площадей шестиугольников нам достаточно найти отношение площадей двух равносторонних треугольников (маленького и большого):

*Как уже сказано: сторона маленького треугольника равна высоте большого.

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике со стороной «х» его высота равна

*Это несложное вычисление, можно использовать теорему Пифагора.

Значит отношение сторон оговоренных треугольников будет равно:

Мы получили коэффициент подобия.

Таким образом, отношение площадей треугольников (малого и большого), а значит и вписанного и описанного шестиугольников будет равно квадрату этого коэффициента:

Ответ: 0,75

Ещё вариант решения!

Мы можем найти отношение площадей оговоренных выше равносторонних треугольников. Используем формулу площади треугольника:

Сторону большего треугольника принимаем за х, следовательно площадь будет равна:

Сторона меньшего треугольника будет равна (х√3)/2, тогда его площадь:

Отношение площади меньшего к площади большего равно:

Итог: мы построили эскиз, вычислили отношение сторон шестиугольников (отношение сторон равносторонних треугольников), далее использовали свойство подобия.

*Комментарий: не смотря на то что объяснение решения изложено несколько ёмко, на самом деле сам процесс вычисления очень прост и при понимании осуществляется в течение минуты. Здесь важна сама идея решения, а именно: использование свойства подобия фигур. И, безусловно, время затраченное на поиск результата будет значительно меньше, чем если бы мы вычисляли отношение площадей другим способом.

Дополнение! Важен один момент: необходимо внимательно прочитать условие. Здесь сказано, что необходимо найти отношение площадей вписанного и описанного шестиугольника. Если же будет стоять вопрос о нахождении отношения площади описанного и вписанного шестиугольника, то результат будет другой. Подробнее:

Отношение сторон большого и малого треугольников будет равно:

Это есть коэффициент подобия. Значит его квадрат будет равен:

То есть отношение площадей в этом случае будет равно 4/3.

Материал предоставил репетитор по математике, ведущий курсов ЕГЭ по математике и информатике в городе Челябинск Евгений Маслов.

C уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях.

matematikalegko.ru