Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам. Площадь прямоугольного треугольника как вычислить


Площадь прямоугольного треугольника | Треугольники

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Любая формула площади треугольника может быть использована и для вычисления площади прямоугольного треугольника.

Выведем формулы для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты, гипотенузу, острый угол, проекции катетов на гипотенузу.

I. Площадь треугольника равна половине произведению стороны на высоту, проведенную у этой стороне:

   

Поскольку катеты перпендикулярны, то один катет является высотой, проведенной к другому катету.

Поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Формула для нахождения

площади прямоугольного

треугольника

через катеты 

   

 

 

Также

площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе:

   

 

Так как высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

   

   

то можно найти

площадь прямоугольного треугольника

через проекции его

катетов на гипотенузу:

   

 

II. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

   

Для прямоугольного треугольника эту формулу можно записать как

 

 

 

   

 

или

 

 

 

 

   

 

Нахождение площади прямоугольного треугольника по формуле Герона либо через радиус вписанной или описанной окружности также возможно, но нецелесообразно, поскольку ведет к усложнению вычислений.

www.treugolniki.ru

Все основные формулы площади прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов. Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется - гипотенуза

1. Если известны только катеты

a, b - катеты треугольника

 

Формула площади треугольника через катеты ( S ) :

 

 

2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет

c - гипотенуза

a, b - катеты

α, β - острые углы

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :

 

Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если

то справедливы следующие тождества:

 

 

 

3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза

c - гипотенуза

c1, c2 - отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности

r - радиус вписанной окружности

О - центр вписанной окружности

 

Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :

 

www-formula.ru

Площадь прямоугольного треугольника - формула, пример расчета, калькулятор

Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов равняется 90°. Его площадь можно найти, если известны два катета. Можно, конечно, пойти и длинным путем – найти гипотенузу и просчитать площадь по формуле Герона, но в большинстве случаев это только займет лишнее время. Именно поэтому формула площади прямоугольного треугольника выглядит так:

Площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведения катетов.

Пример расчета площади прямоугольного треугольника. Дан прямоугольный треугольник с катетами a = 8 см, b = 6 см. Вычисляем площадь: Площадь равна: 24 см2

Также в прямоугольном треугольнике применяется теорема Пифагора. – сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.Формула площади равнобедренного прямоугольного треугольника вычисляется также как и обычного прямоугольного треугольника.

Пример расчета площади равнобедренного прямоугольного треугольника: Дан треугольник с катетами a = 4 см, b = 4 см. Вычисляем площадь: Вычисляем площадь:=8 см2

Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе может использоваться, если в условии дан один катет. Из теоремы Пифагора находим длину неизвестного катета. К примеру, дана гипотенуза c и катет a, катет b будет равен:Далее вычисляем площадь по обычной формуле. Пример расчета формулы площади прямоугольного треугольника по гипотенузе идентичен описанному выше.

2mb.ru

Как найти площадь прямоугольного треугольника необычным способом

На уроках геометрии в средней школе всем нам говорили о том, как найти площадь прямоугольного треугольника. Однако в рамках школьной программы мы получаем только самые необходимые знания и учимся наиболее распространенным и стандартным способам вычислений. Существуют ли необычные способы нахождения этой величины?

В качестве введения вспомним, какой треугольник считается прямоугольным, а также обозначим понятие площади.

Прямоугольным треугольником называют замкнутую геометрическую фигуру, один из углов которой равен 900. Неотъемлемыми понятиями в определении прямоугольного треугольника являются катеты и гипотенуза. Под катетами подразумевают две стороны, которые в точке соединения образуют прямой угол. Гипотенуза – сторона, противоположная прямому углу. Прямой треугольник может быть равнобедренным (две его стороны будут иметь одинаковую величину), но никогда не будет равносторонним (все стороны одной длины). Определения высоты, медианы, векторов и прочих математических терминов подробно разбирать не будем. Их легко найти в справочниках.

Площадь прямого треугольника. В отличие от прямоугольников, правило о произведении сторон в определении площади треугольника не действует. Если говорить сухим языком терминов, то под площадью треугольника понимают свойство этой фигуры занимать часть плоскости, выраженное числом. Довольно сложно к восприятию, согласитесь. Не будем пытаться глубоко вникнуть в определение, наша цель не в этом. Перейдем к главному – как найти площадь прямоугольного треугольника? Сами вычисления производить не будем, укажем только формулы. Для этого определимся с обозначениями: A,B,C – стороны треугольника, катеты – AB, BC. Угол ACB – прямой. S – площадь треугольника, hnn – высота треугольника, где nn – сторона, на которую она опущена.

Способ 1. Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известна величина его катетов

S= 0.5*a*b

Способ 2. Находим площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

S= 0.5*hBC*BC

Способ 3. Вычисление площади через прямоугольник

Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата (если треугольник равнобедренный) или прямоугольника. Получим простой четырехугольник, составленный из 2-х идентичных прямоугольных треугольников. В этом случае значение площади одного из них будет равно половине площади полученной фигуры. S прямоугольника вычисляем произведением сторон. Обозначим эту величину M. Искомое значение площади будет равно половине M.

S=0.5*M

Способ 4. «Пифагоровы штаны». Знаменитая теорема Пифагора

Мы все помним ее формулировку: «сумма квадратов катетов...». Но не все могут сказать, причем тут некие «штаны». Дело в том, что изначально Пифагор изучал взаимосвязь площадей квадратов, построенных на сторонах прямого треугольника. Выявив закономерности в соотношении сторон квадратов, он смог вывести и известную всем нам формулу. Ее можно применять в случае, когда неизвестна величина одной из сторон.

Способ 5. Как найти площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Тоже достаточно простой способ расчета. Формула предполагает выражение площади треугольника через числовые значения его сторон. Для расчетов необходимо знать величины всех сторон треугольника.

S = (p–AC)*(p–BC), где p = (AB+BC+AC)*0.5

Кроме приведенных, существует множество других способов найти величину такой загадочной фигуры, как треугольник. Среди них: вычисление методом вписанной или описанной окружности, вычисление при помощи координат вершин, использование векторов, абсолютной величины, синусов, тангенсов.

fb.ru

Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам

В треугольнике, величина угла в одной из вершин которого равна 90°, длинная сторона называется гипотенузой, а остальные две - катетами. Такая фигура можно представить как половину прямоугольника, разделенного диагональю. Это значит, что и площадь его должна быть равна половине площади прямоугольника, стороны которого совпадают с катетами. Несколько более сложной задачей является вычисление площади по катетам треугольника, заданного координатами своих вершин.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам" Как найти проекцию катета на гипотенузу Как вычислить длину катета Как вычислить длину катета прямоугольного треугольника

Инструкция

1

Если длины катетов (a и b) прямоугольного треугольника даны в условиях задачи в явном виде, формула расчета площади (S) фигуры будет очень проста - перемножьте эти две величины, а полученный результат разделите пополам: S = ?*a*b. Например, если длины двух коротких сторон такого треугольника составляют 30 см и 50 см, его площадь должна быть равна ?*30*50 = 750 см?.

2

Если же треугольник помещен в двухмерную ортогональную координатную систему и задан координатами своих вершин A(X?,Y?), B(X?,Y?) и C(X?,Y?), начните с вычисления длин самих катетов. Для этого рассмотрите треугольники, составленные из каждой стороны и двух ее проекции на координатные оси. То, что эти оси перпендикулярны, позволяет найти длину стороны по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой в таком вспомогательном треугольнике. Длины же проекций стороны (катетов вспомогательного треугольника) найдите вычитанием соответствующих координат точек, образующих сторону. Длины стороны должны быть равны |AB| = v((X?-X?)?+(Y?-Y?)?), |BС| = v((X?-X?)?+(Y?-Y?)?), |CA| = v((X?-X?)?+(Y?-Y?)?).

3

Определите, которая пара сторон является катетами - это можно сделать по их длинам, полученным на предыдущем шаге. Катеты обязаны быть короче гипотенузы. Затем воспользуйтесь формулой из первого шага - найдите половину произведения рассчитанных величин. При условии, что катетами являются стороны AB и BC, в общем виде формулу можно записать так: S = ? * (v((X?-X?)?+(Y?-Y?)?) * v((X?-X?)?+(Y?-Y?)?).

4

Если прямоугольный треугольник помещен в трехмерную систему координат, последовательность операций не изменится. Просто добавьте в формулы расчета длин сторон третьи координаты соответствующих точек: |AB| = v((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?), |BС| = v((X?-X?)?+(Y?-Y?)?+(Z?-Z?)?), |CA| = v((X?-X?)?+(Y?-Y?)?+(Z?-Z?)?). Окончательная формула в этом случае должна выглядеть так: S = ? * (v((X?-X?)?+(Y?-Y?)?+(Z?-Z?)?) * v((X?-X?)?+(Y?-Y?)?+(Z?-Z?)?). Как просто

masterotvetov.com

Как вычислить площадь треугольника | Expirience.ru

Треугольником является плоская геометрическая фигура, три вершины которого лежат не на одной прямой и соединены между собой прямыми линиями. Еще в школе заучивается наизусть, что длина каждой отдельно взятой стороны треугольника не превышает суммы длин остальных сторон. Видов треугольника также три – прямоугольный, у которого один из углов прямой; равнобедренный – у которого оба угла, лежащие у основания равны между собой; и равносторонний треугольник, у которого все три стороны равны между собой. Сумма углов любого треугольника равняется 180 гр. Напротив большой стороны находится большой угол, а против равных сторон лежат равные углы.

В общем и целом вычислять площади геометрических фигур учат в школе, но время берет свое и порой бывает ситуация, когда нужно или подсказать ребенку, как это делается, или определить площадь фигуры для какой-нибудь работы. Вот тогда и начинают вспоминать основы геометрии и начинать осваивать ее заново.

Как вычислить площадь треугольника по сторонам

Если известны все три стороны, то для определения площади треугольника применяется формула Герона: здесь основную роль играет размер полупериметра данного треугольника. В данном случае это будет выглядеть так: S = (a + b + c) : 2     где S является полупериметром, a, b, с – стороны треугольника

Тогда подставляем полученное значение полупериметра в формулу Герона и получаем: площадь треугольника = V {s (s – a)(s – b)(S – c)}

Используя числовые значения величин, производим вычисление всего, что в скобках под знаком квадратного корня, а потом вычисляем и сам квадратный корень.

Как вычислить площадь прямоугольного треугольника

Если один из углов треугольника равняется 90 гр., то его называют прямоугольным. Если известна длина двух катетов, то можно определить длину гипотенузы и начать просчитывать площадь по формуле Герона, но этот путь долог и неэффективен. Есть более простая формула, которая выглядит таким образом: S = ½ (a х b)    т.е. площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведений обоих катетов. Подставляем числовые значения и получаем искомую величину.

Как вычислить площадь равнобедренного треугольника

Самым быстрым и реальным способом найти площадь равнобедренного тр-ка, является следующее:

Из вершины треугольника опускается биссектриса, она же получается и медианой. В результате получается два прямоугольных треугольника, в которых можно определить некоторые величины. Если есть размеры длин, то площадь определяется по формуле теорему Пифагора, а если есть значение острого угла, то площадь находится с использованием свойств синусов, косинусов и тангенсов. Чаще всего нужно найти высоту биссектрисы и нижнего основания. В таком случае формула площади будет:  S = ½ ( b x h), где b – длина основания, а h – высота.

Самые интересные новости:

загрузка...

expirience.ru

Как найти площадь прямоугольного треугольника

По двум катетам: S = a·b/2 По катету и противолежащему углу: S = a^2/2tg(α) = b^2/2tg(β) По катету и прилежащему углу: S = a^2·tg(β)/2 = b^2·tg(α)/2 По гипотенузе и углу: S = c^2·sin(α)·cos(α)/2 = c^2·sin(β)·cos(β)/2 = c^2·sin(α)·sin(β)/2 По гипотенузе и катету: S = a·sqrt(c^2 – a^2)/2 = b·sqrt(c^2 – b^2)/2, где sqrt(...) — обозначение квадратного корня.

произведение катетов дели на 2

дорисуй до прямоугольника найди его площадь и раздели на 2

Прямоугольный треугольник. `S` = `1/2 ab` = `1/2 c h_c`, где `c` - гипотенуза, `a, b` - катеты, `h_c` - высота, проведённая к гипотенузе. Известно, что `sin alpha` = `{BH_2}/{AB}` - отношение противолежащего катета к гипотенузе, `cos alpha` = `{AH_2}/{AB}` - отношение прилежащего катета к гипотенузе и `tg alpha` = `{BH_2}/{AH_2}` - отношение противолежащего катета к прилежащему. Для студентов: Студенты не только пользуются школьными формулами, но также: составляют уравнения прямых на плоскости и в пространстве, составляют уравнения плоскостей и так далее.

Частное Произведения катетов

Ну вот допустим там 7 3 и 4(цифры) и надо (7×3)+(4×3)÷2 или по понятнее, произведение катетов ÷2

В учебник загляните

touch.otvet.mail.ru