1.2. Понятие функции. Определение функции


Определение функции

ОпределениеФункцией y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y.

Множество X называется областью определения функции.Множество элементов y ∈ Y, которые имеют прообразы во множестве X, называется множеством значений функции (или областью значений).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.

Само отображение  f  называется характеристикой функции.

Характеристика  f  обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y – это элемент из множества значений функции, а – это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y.

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X. Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y. На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y.

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции  f  называется множество пар .

Сложные функции

ОпределениеПусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x, а этому x соответствует y. Такое соответствие называют сложной функцией:  .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так:  .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и – это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и – это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.Например, числовые последовательности – это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений – вещественные или комплексные числа.Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.Логическое выражение является функцией. Ее область определения – это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов – “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция – это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция – это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что для всех выполняется неравенство:.

Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех :.

Максимумом M (минимумом m) функции f, на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′: .Верхняя грань функции может обозначаться так:.

Верхней гранью неограниченной сверху функции является бесконечно удаленная точка .

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′: .Нижняя грань функции может обозначаться так:.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X, имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу – значением 0: для всех .Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:.Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум: для всех ;;.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функцийПусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X. Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех таких что выполняется неравенство:. Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех таких что выполняется неравенство: .

Определение монотонной функцииФункция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус: . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:(1)   .При заданном значении независимой переменной x, принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть(2)   .При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:(2.n)   ,где n – целое. В результате, для каждого значения n, мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функцией.

Многозначная функция – это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции – это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция – это функция.

Использованная литература:О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 10-04-2018   Изменено: 08-10-2018

1cov-edu.ru

Что такое функция - материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

 

Понятие функции – одно из основных в математике.

На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.

Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин. Например, формула – это зависимость давления жидкости от глубины .

Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.

Знакомое вам обозначение как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины по определенному закону, или правилу, обозначаемому .

Другими словами: меняем (независимую переменную, или аргумент) – и по определенному правилу меняется .

Совсем необязательно обозначать переменные и . Например, – зависимость длины от температуры , то есть закон теплового расширения. Сама запись означает, что величина зависит от .

2. Можно дать и другое определение.

Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) – и получаем величину .

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается – а на выходе получается .

Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

3. Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Например, функция каждому действительному числу ставит в соответствие число в два раза большее, чем .

 

Повторим еще раз: каждому элементу множества по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества . Множество называется областью определения функции. Множество – областью значений.

Но зачем здесь такое длинное уточнение: «каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго»? Оказывается, что соответствия между множествами тоже бывают разные.

Рассмотрим в качестве примера соответствие между двумя множествами – гражданами России, у которых есть паспорта, и номерами их паспортов. Ясно, что это соответствие взаимно-однозначное – у каждого гражданина только один российский паспорт. И наоборот – по номеру паспорта можно найти человека.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция . Каждому значению соответствует одно и только одно значение . И наоборот – зная , можно однозначно найти .

Могут быть и другие типы соответствий между множествами. Возьмем для примера компанию друзей и месяцы, в которые они родились:

Каждый человек родился в какой-то определенный месяц. Но данное соответствие не является взаимно-однозначным. Например, в июне родились Сергей и Олег.

Пример такого соответствия в математике – функция . Один и тот же элемент второго множества соответствует двум разным элементам первого множества: и .

А каким должно быть соответствие между двумя множествами, чтобы оно не являлось функцией? Очень просто! Возьмем ту же компанию друзей и их хобби:

Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества.

Очень сложно было бы описать такое соответствие математически, не правда ли?

Вот другой пример. На рисунках изображены кривые. Как вы думаете, какая из них является графиком функции, а какая – нет?

Ответ очевиден. Первая кривая – это график некоторой функции, а вторая – нет. Ведь на ней есть точки, где каждому значению соответствует не одно, а целых три значения .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Перечислим способы задания функции.

1. С помощью формулы. Это удобный и привычный для нас способ. Например:

,

,

,

.

Это примеры функций, заданных формулами.

2. Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума. В следующей статье будет рассказано об исследовании функции с помощью графика.

К тому же не всегда легко вывести точную формулу функции. Например, курс доллара (то есть зависимость стоимости доллара от времени) можно показать только на графике.

3. С помощью таблицы. С этого способа вы когда-то начинали изучение темы «Функция» - строили таблицу и только после этого – график. А при экспериментальном исследовании какой-либо новой закономерности, когда еще неизвестны ни формула, ни график, этот способ будет единственно возможным.

4. С помощью описания. Бывает, что на разных участках функция задается разными формулами. Известная вам функция задается описанием:

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

1.2. Понятие функции

Для исследования различных явлений полезно знать, как изменение одних величин влияет на другие величины.

Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между двумя (несколькими) переменными величинами при их совместном изменении, или установлением зависимости между элементами двух (нескольких) множеств.

Определение.

Пусть даны две переменные х и y с областями изменения Х и Y. Переменная y называется функцией от х, если по некоторому правилу или закону каждому значению ставится в соответствие одно определенное значение.

Для указания этого факта, что y есть функция от х, пишут: ,,и т.п.

Можно также сказать, что функция f отображает множество Х на множество Y. Это обозначается так (рис.1.1).

Рис. 1.1

Переменная х называется независимой переменной или аргументом.

Переменная y называется зависимой переменной или функцией.

Относительно самих величин х и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

1.3. Область определения и изменения функции

Определение.

Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция y определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

Определение.

Множество Х называется областью определения функции и обозначается .

Обычно областью определения функции являются:

;

;

;

;

; ;

; ;

,

где ,и.

Например, для функций:

1) ;

2) .

Область определения функции может состоять из одного или нескольких промежутков и из отдельных точек.

Определение.

Множество значений Y называется областью изменения или областью значений функции, и обозначается .

Область изменения функции (множество ее значений) определяется законом соответствия.

Например, для функций

1) ;;

2) ;.

Определение.

Функция называетсячисловой функцией, если ее область определения и множество значенийсодержатся в множестве действительных чиселR.

В дальнейшем будем изучать лишь числовые функции. Частное значение функции призаписывается так:.

Например, если , то,,и т.п.

1.4. Последовательность

Определение.

Функция, определенная на множестве натуральных чисел , называетсяпоследовательностью.

Значения функции т.е. элементы множестваназываются членами последовательности, а– общим членом последовательности.

Последовательность обычно обозначают через или.

Например, ;.

1.5. График функции

Для наглядного представления функции строят ее график.

Определение.

Графиком функции называется множество всех точек плоскости, для каждой из которыхх является значением аргумента, а y – соответствующим значением функции.

Например, графиком функции является верхняя полуокружность радиусас центром в(рис. 1.2).

Рис. 1.2

1.6. Способы задания функции

Задать функцию – это значит указать правило, позволяющее по данному значению независимой переменной находить соответствующее значение функции.

Существует три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ состоит в том, что зависимость между переменными величинами задается в виде формулы (аналитического выражения), указывающей, какие и в каком порядке действия надо выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.

Например, ;;, где.

Аналитический способ является наиболее совершенным, т.к. к нему могут быть применены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.

Табличный способпредусматривает задание таблицы, в которой различным значениям аргументапоставлены соответствующие значения функции:

х

х1

х2

хn

y

y1

y2

yn

Такие таблицы составляются, например, по данным эксперимента; для облегчения вычислений с часто встречающимися функциями (таблицы логарифмов, таблицы тригонометрических функций и т.д.).

Графический способзадания функции состоит в том, что в данной системе координат задается некоторая кривая. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

studfiles.net

ФУНКЦИЯ - это... Что такое ФУНКЦИЯ?

  • ФУНКЦИЯ — (лат. functio – исполнение) обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Гёте). Наука о функциях органов живых существ – физиология; специальная наука о функциях нервной системы – физиология органов… …   Философская энциклопедия

  • функция — Команда или группа людей, а также инструментарий или другие ресурсы, которые они используют для выполнения одного или нескольких процессов или деятельности. Например, служба поддержки пользователей. Этот термин также имеет другое значение:… …   Справочник технического переводчика

  • функция — См …   Словарь синонимов

  • ФУНКЦИЯ — (лат. functio). В физиологии: отправление каким либо органом ему одному свойственных действий, как напр., дыхание, пищеварение. 2) в математике: величина, зависящая от другой переменной величины. Словарь иностранных слов, вошедших в состав… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Функция — [function] 1. Зависимая переменная величина; 2. Соответствие y=f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение… …   Экономико-математический словарь

  • Функция — (от латинского functio исполнение, осуществление), 1) деятельность, обязанность, работа; внешнее проявление свойств какого–либо объекта в данной системе отношений (например, функция органов чувств, функция денег). 2) Функция в социологии роль,… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • ФУНКЦИЯ — (от лат. functio исполнение осуществление),..1) деятельность, обязанность, работа; внешнее проявление свойств какого либо объекта в данной системе отношений (напр., функция органов чувств, функция денег)2)] Функция в социологии роль, которую… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ФУНКЦИЯ — ФУНКЦИЯ, в математике одно из основных понятий, выражение, определяющее регулярную зависимость между двумя множествами переменных величин, заключающуюся в том, что каждому элементу одного множества соответствует определенная, единственная… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • ФУНКЦИЯ — (function) Взаимосвязь между двумя и более переменными. Если у является функцией от х и записывается в виде y=f(x), то, если значение аргумента х известно, функция позволяет показывает, как найти значение у. Если у – однозначная функция от х, то… …   Экономический словарь

  • ФУНКЦИЯ —         (от лат. исполняю, совершаю)         центр, понятие в методологии функционального и структурно функционального анализа об в. Понятие “Ф.” стало активно использоваться в социальных науках со вт. пол. 19 в. в связи с проникновением сначала… …   Энциклопедия культурологии

  • dic.academic.ru

    Понятие функции | Алгебра

    Понятие функции в математике — одно из основных. Выражает зависимость одних переменных величин от других.

    Определение.

    Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

    Пусть каждому числу x из множества значений D поставлено в соответствие число y из множества значений E.

    «Поставлено в соответствие» — значит, указан определённый способ (правило), по которому для каждого x∈D  находят y∈E. (∈ — знак принадлежности. Запись x∈D читают «икс принадлежит дэ»).

    Чаще всего этот способ обозначают как y=f(x). Для обозначения функции применяют и другие буквы: y=g(x), s=f(t) и т.д.

    Если функция задана соответствием y=f(x), переменная x называется независимой переменной или аргументом, y — зависимой переменной или функцией.

    Множество значений D, которые может принимать x, называется областью определения функции.

    Множество значений E, которые может принимать y, называется областью значений функции.

    Функцию можно задать несколькими способами:

    — аналитическим (с помощью формулы),

    — графическим,

    — табличным,

    — описанием с помощью словесной формулировки).

    Функции, в которых значения аргумента и значения функции — числа, называются числовыми функциями. В курсе алгебры изучаются, в основном, числовые функции.

    Примеры функций.

    1) При движении автомобиля с постоянной скоростью пройденный путь является функцией от времени .

    Например, если автомобиль движется с постоянной скоростью 60 км/ч, зависимость пути от времени можно задать формулой s=60t, где s — пройденный путь (в километрах), t — время (в часах).

    2) Периметр квадрата является функцией от его стороны.

    Зависимость периметра от стороны квадрата можно задать формулой P=4a, где P — периметр, a — длина стороны.

     

    www.algebraclass.ru

    Функция

     
             
      Главная > Учебные материалы > Математика:  Функция  
       
     
    •  Репетитор: Васильев Алексей Александрович

       Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

             Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

    •  Репетитор: Крюков Илья Хассанович

       Предметы: математика, экономика, эконометрика, теория вероятностей.

             Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

    •  Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

       Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

             Стоимость: 1200 руб / 60 мин.

    •  Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

       Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

             Стоимость: 1200 руб / 60 мин.

    •  Репетитор: Тверской Василий Борисович

       Предметы: математика, физика.

             Стоимость: 3500 руб / 90 мин.

    •  Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

       Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

             Стоимость: 2000 руб / 60 мин.

    •  Репетитор: Ершикова Марина Львовна

       Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

             Стоимость: 1500 руб / 60 мин.

     
      1.Понятие функции.2.Свойства функций.3.Основные элементарные функции.

     

     
         
      1 2 3 4 5 6 7 8 9  
         
       
     

    1. Понятие функции

       Понятие "функция" является одним из основных понятий в математике. Под функцией понимают некий закон, по которому одна переменная величина зависит от другой. Согласно определению, если каждому значению переменной х множества Х ставится в соответствие одно определенное значение переменной у множества Y, то такое соответствие называется функцией. Исходя из этого, можно дать другую формулировку: однозначное соответствие двух переменных величин на множестве действительных чисел R называется функцией.    Переменая х называется независимой переменной или аргументом, y - зависимой переменной от x, буква f обозначает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции, а множество Y, соответственно, областью значений функции.

     

     
       
     

    2. Cвойства функций

       1.Четность и нечетность. Функция f(x) называется четной, если ее значения симметричны относительно оси OY, т.е. f(-x) = f(x). Функция f(x) называется нечетной, если  ее значение изменяется на противоположное при изменении переменной х на -х , т.е. f(-x) = -f(x). В противном случае функция называется функцией общего вида.

       2.Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при x1< (>) x2, f(x1) < (>) f(x2).

       3.Периодичность. Если значение функции f(x) повторяется через определенный период Т, то функция называется периодической с периодом  Т ≠ 0 , т.е. f(x + T) = f(x). В противном случае непериодической.

       4. Ограниченность. Функция f (x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > 0 , что для любого x, принадлежащего промежутку Х, | f (x) | < M. В противном случае функция называется неограниченной.

     

     
       
     

    3. Основные элементарные функции

    Степенная функция

       у = х  область определения (-∞,∞) область значений (-∞,∞) нечетная возрастает на (-∞,∞) непериодическая

     

     

     
        у = х² 

    область определения (-∞,∞) область значений (0,∞) четная возрастает на (0,∞) убывает на (-∞,0) непериодическая

     

     

     
       у = х³  

    область определения (-∞,∞) область значений (-∞,∞) нечетная возрастает на (-∞,∞) непериодическая

     

     

     
     
      у = 1/х

    область определения (-∞,0)U(0,∞) область значений (-∞,0)U(0,∞) нечетная убывает на (-∞;0) и на ( 0;∞) непериодическая

     

     

     
      у = 1/х²  

    область определения (-∞,0)U(0,∞) область значений (0,∞) четная возрастает на (-∞,0) и убывает на (0,∞) непериодическая

     

     

     
     
     

    область определения [0,∞) область значений [0,∞) общего вида, возрастает на [0; ∞) непериодическая

     

     

     
     

    область определения (-∞,∞) область значений (-∞,∞) нечетная возрастает на (-∞,∞) непериодическая

     

     

     
     
     

    Показательная функция

       у = а ͯ      (a>0  a≠1)

    область определения (-∞,∞) область значений (0; ∞)  общего вида возрастает на (-∞,∞), если a>1; убывает на (-∞,∞), если 0<a<1 непериодическая

     

     

     
     

    Логарифмическая функция

       у = log ₐ x    (a>0  a≠1)

    область определения (0,∞) область значений (-∞; ∞)  общего вида возрастает на (0,∞), если a>1; убывает на (0,∞), 0<a<1 непериодическая

     

     

     
     
     

    Тригонометрические функции

       y = sin x

    область определения (-∞; ∞)  область значений [-1; 1]  нечетная возрастает на [-π/2 + 2πn, π/2 + 2πn]; убывает на [π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn], nϵZ; период  Т=2π

     

     

     
     

      y = cos x

    область определения (-∞; ∞)  область значений [-1; 1]  четная возрастает на [-π + 2πn, 2πn]; убывает на [2πn, π + 2πn], nϵZ; период  Т=2π

     

     

     
     

       y = tg x

    область определения (-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ; область значений (-∞; ∞)  нечетная возрастает на (-π/2 + πn, π/2 + πn) nϵZ; период  Т=π

     

     

     
     

       y = ctg x

    область определения (πn, π + πn) nϵZ; область значений (-∞; ∞)  нечетная убывает на (πn, π + πn) nϵZ; период  Т=π

     

     

     
     
     

      y = arcsin x

    область определения [-1; 1] область значений [-π/2; π/2]  нечетная возрастает на [-1; 1]

     

     

     
     

       y = arccos x

    область определения [-1; 1] область значений [0; π]  функция центрально-симметрична относительно точки (0; π/2) убывает на [-1; 1]

     

     

     
     

       y = arctg x

    область определения (-∞; ∞) область значений [-π/2; π/2]  нечетная возрастает на (-∞; ∞)

     

     

     
     

       y = arcctg x

    область определения (-∞; ∞) область значений [0; π]  ни четная, ни нечетная убывает на (-∞; ∞)

       
     
       
     
     

    Пример 1.

    Найти область определения функции.

     
     

    Пример 2

    Выяснить четность или нечетность функции.

     

    График функции y=x³+2sin x

     
     

    Пример 3

         
         
         
             
             
       
         
      1 2 3 4 5 6 7 8 9  
         

    www.mathtask.ru

    Функция | Математика | FANDOM powered by Wikia

    У этого термина существуют и другие значения, см. функция.

    Отображе́ние или фу́нкция ( лат. functio — «исполнение, осуществление») — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.

      Отображение функции. Править

      Наиболее распространенная трактовка понятия функции состоит в его отождествлении с понятием отображения:

      Определение. Пусть $ X $ и $ Y $ — два множества. Закон $ F $, согласно которому каждому элементу $ x \in X $ поставлен в соответствие единственный элемент $ y \in Y $, называется отображением множества $ X $ в множество $ Y $ или функцией, заданной на $ X $ со значениями в $ Y $.

      Отображения обозначают так:

      • $ F:\ X \to Y $ или $ X\to^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} Y $ для отображения $ F $, множества $ X $ в множество $ Y $.
      • $ y=F(x) $ или $ F:x \mapsto y $ или $ x \mapsto^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} y $.

      При этом:

      • Множество $ X $ тогда называется о́бластью определе́ния отображения $ F $ (обозначается D(f) или D(x).).
      • Множество $ Y $ — о́бластью значе́ний отображения $ F $.(обозначается E(f) или E(y).
      • Элемент $ x $ называют аргуме́нтом или незави́симой переме́нной,
      • Элемент $ y=F(x) $ — значе́нием или зави́симой переме́нной.

      Функции считаются равными, если у них одинаковые области определения и значений и если они определяются одним правилом. Например, все три следующие функции различны:

      • $ F: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ $, $ F(x)=x $
      • $ F: \mathbb{R} $    $ \to \mathbb{R}_+ $, $ F(x)=|x| $
      • $ F: \mathbb{R} $    $ \to \mathbb{R} $  , $ F(x)=|x| $

      При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств $ X $ и $ Y $. Если $ X $ и $ Y $ — числовые множества, такие, как $ \mathbb{R} $ или $ \mathbb{C} $, то отображение называют функцией. Если $ X $ или $ Y $ многомерны, например, $ \mathbb{R}^n $ или $ \mathbb{C}^n $, то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если $ X $ — произвольной природы, а $ Y $ — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

      Способы задания функции Править

      Словесный Править

      игрек равно целая часть от х. ($ ~f(x)=[x] $)

      Аналитический Править

      $ ~f(x)=x! $

      Графический Править

      С помощью графика.

      Таблицы Править

      Функция задается таблицей значений. Например:

      Интуитивно можно догадаться, что y = x3.

      Смежные понятия Править

      Сужение функции. Править

      Пусть дано отображение $ F:X \to Y $, и $ M \subset X $. Тогда суже́нием функции $ F $ на $ M $ называется функция $ \left.F\right\vert_{M} $, определяемая равенством

      $ \left.F\right\vert_{M}(x) = F(x),\; \forall x\in M $.

      Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

      Образ множества Править

      Пусть $ M \subset X $. Тогда о́бразом множества $ M $ называется подмножество $ Y $, определяемое равенством

      $ F(M) = \{ F(x) \mid x \in M \} $.

      Множество $ F(X) $ называется образом отображения $ F $.

      Прообраз Править

      Пусть задано отображение $ F:X \to Y $, $ x\in X, \;y\in Y $ и $ y=F(x) $. Тогда $ x $ называется проо́бразом $ y $, а $ y $ называется о́бразом $ x $. Согласно определению отображения, каждый элемент $ x\in X $ должен иметь ровно один образ, но элемент $ y\in Y $ может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.

      Пример. Пусть дана функция $ F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $, где $ F(x) = x^2 $. Тогда

      • $ y = -1 $ не имеет прообразов;
      • $ y = 0 $ имеет единственный прообраз $ x = 0 $;
      • $ y = 1 $ имеет два прообраза: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -1 $.

      Полный прообраз элемента Править

      Пусть задано отображение $ F:X \to Y $, и $ y \in Y $. Тогда множество $ \{x\in X \mid F(x) = y\} \subset X $ называется по́лным проо́бразом элемента $ y $. Полный прообраз обозначается $ F^{-1}(y) $.

      Пример. Пусть $ F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $, и $ F(x) = \sin x $. Тогда

      $ F^{-1}(1) = \left\{{\pi \over 2}+2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\right\} $.

      Полный прообраз множества Править

      Пусть $ N \subset Y $. Тогда проо́бразом множества $ N $ называется подмножество $ X $, определяемое равенством

      $ F^{-1}(N) = \{ x \in X \mid F(x) \in N \} $.

      Пример. Пусть $ F: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, и $ F(x) = \cos x $. Тогда

      • $ F\left(\left[0, {\pi \over 2}\right]\right) = [0, 1] $,
      • $ F^{-1}([0,1]) = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} \left[-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+ 2\pi n\right] $.

      Свойства прообразов и образов Править

      • $ F^{-1}(A \cup B) = F^{-1}(A) \cup F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y $;

      График Править

      Файл:Cubicpoly.svg

      Пусть дано отображение $ F: X \to Y $. Тогда его гра́фиком $ \Gamma $ называется множество

      $ \Gamma = \{ (x,F(x)) \mid x \in X \} \subset X \times Y $,

      где $ X \times Y $ обозначает декартово произведение множеств $ X $ и $ Y $.

      • График непрерывной функции $ F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ является кривой на двумерной плоскости.
      • Графиком непрерывной функции $ F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ является поверхность в трёхмерном пространстве.

      Исторический очерк Править

      Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

      Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

      Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Л. Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Д. Бернулли (1753). В основе решения Д. Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Л.Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Д. Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в 1885 К. Вейерштрасс, всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Л.Эйлера уже ошибочны. Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении..

      С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797—1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция $ fx $ обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям $ x $, содержащимся между $ 0 $ и какой-либо величиной $ x $». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от $ x $ называть число, которое даётся для каждого $ x $ и вместе с $ x $ постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.

      Различные классы функций:

      • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч.1, 3 изд., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
      • Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
      • Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т.1-2, М., 1975;
      • История математики, т.2-3, М., 1970-72.
      • Функция. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия». 1995.

      Эта статья содержит материал из статьи Функция русской Википедии.

      ru.math.wikia.com