Наибольший общий делитель (НОД). Нод как находить


НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ, алгоритм как найти НОД

Наибольший общий делитель чисел – это наибольшее число, на которое делятся все заданные числа.

Алгоритм поиска НОД

Вычисление НОД похоже на поиск НОК. Чтобы найти наибольший общий делитель, нужно использовать следующий алгоритм:

  1. Разложить все числа на простые множители, используя признаки делимости чисел.
  2. Найти совпадающие множители во всех числах и выписать их.
  3. Перемножить совпадающие множители.

Если среди множителей чисел не были найдены одинаковые, числа являются взаимно простыми.

Примеры поиска наибольшего общего делителя

Рассмотрим, как найти НОД с помощью алгоритма на нескольких примерах.

Пример 1:

Найдите наибольший общий делитель чисел 420 и 990.

Решение:

Разложим оба числа на простые множители:

Получили, что:

420 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

990 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11

Выпишем все совпадающие множители для обоих чисел и перемножим их:

НОД = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30

Ответ: 30

Пример 2:

Найдите наибольший общий делитель чисел 588 и 1820.

Решение:

Разложим оба числа на простые множители:

Получили, что:

588 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 7

1820 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13

Выпишем все совпадающие множители для обоих чисел и перемножим их:

НОД = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 28

Ответ: 28

Пример 3:

Найдите наибольший общий делитель чисел 1000 и 3267.

Решение:

Разложим оба числа на простые множители:

Получили, что:

1000 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5

3267 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 11

Совпадающих множителей у этих 2 чисел нет, поэтому они являются взаимно простыми, то есть

Ответ: 1

worksbase.ru

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.

Нахождение путём разложения на множители

Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.

Пример 1. Найдём НОД (84, 90).

Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:

Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой: 1 · 2 · 3 = 6.

Таким образом, НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найдём НОД (15, 28).

Раскладываем 15 и 28 на простые множители:

Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель – единица.

НОД (15, 28) = 1.

Алгоритм Евклида

Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.

Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.

Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.

Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно, НОД (27, 9) = 9.

В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:

  1. Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
  2. Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
  3. Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
  4. Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
  5. Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.

Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)

2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)

3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)

4) 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 – это значит, что НОД (140, 96) = 4.

Последовательное деление так же можно записывать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:

  1. Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
  2. Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
  3. Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.

Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа – 48:

1) 48 : 4 = 12

48 делится на 4 без остатка. Таким образом, НОД (140, 96, 48) = 4.

naobumium.info

Как находить НОК и НОД?

Чтобы сократить записи придумали, что кратно будут записывать так: , а делит так: Каждое число является делителем других чисел, которые называются кратными этому числу. К (22) = Изобразим множества делителей чисел 18, 24 Д (18) Д (24)={2; 3; 6} Наибольший из общих делителей – 6, НОД (18; 24)=6 Изобразим множества кратных числам 18 и 22 К (18) К (24)={72; 144; …} – общие кратные 18 и 22 Наименьшее из общих кратных – 72. НОК (18; 24)= 72 Как находить НОД и НОК? Для чисел 18 и 24 это просто: - чтобы найти НОД перебираем общие делители 2; 3, пока не находим наибольший -6. - чтобы найти НОК умножаем 18 на 2, на 3 и так далее, пока не найдем число, которое делится на 24 – это 72 Если же числа большие, то их раскладывают на простые множители 600 2 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 НОД должен содержать все общие множители в наименьшей степени (подчеркнуты) : НОД (600; 108)= НОК должен содержать все множители в наибольшей степени (жирный шрифт) : НОК (600;108) = =5400 НОД (27;14)=1, так как у них нет общих делителей, кроме 1. 27=33, а Такие числа называют взаимно простыми НОК (27;14)= по той же самой причине, у них нет общих делителей. Как всегда, новые открытия стали сразу применяться. Удобно использовать методы нахождения НОК при сложении дробей. Наименьший общий знаменатель – это и есть НОК знаменателей. . НОД (408;90) 1 НО4 (408; 90) = 2040 НОД (92; 51)=1– взаимно простые НОК (92;51)=92*51= 4692

<a rel="nofollow" href="http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass" target="_blank" >http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass</a>

Находим НОК - наибольшее общее кратное, возьмем 2 числа - 10 и 15 Сначала находим НОК числа 10, делем на самое наименьшее число, если к примеру 10 делиться еще и на 5 то делим на 2 т. к. 2 самое маленькое число на которое можно делать (а делить можно на 2, 3, 5, 7,11,13 и так далее) Видим что число 10 делиться на 2, будет 5 и 5 = 1. 10|2 5|5 1| Находим НОК числа 15 Видим что число на самое маленькое делиться на 3, будет 5 и 5 =1 15|3 5|5 1| Смотрим числа на которые мы делили, и если видим одинаковые обводим их в кружок. остальные числа складывает 2+3 =5 Мы нашли НОК

хотите всё знать заходите на сайт готдомзад

Пример: 12 и 15 НОК=60 12 и 15 НОД=3

Нод — это наибольший общий делитель. Нок — это наименьшее общее кратное

ример: 12 и 15 НОК=60 12 и 15 НОД=3

чтобы найти НОД надо: 1) разложить их на простые множители 2)из множителей, входящих в разложение одного из чисел вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел 3) найти произведение оставшихся множителей Чтобы найти НОК надо: 1)разложить их на простые множители 2) выписать множители входящие в разложение одного из чисел 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел 4)найти произведение получившихся множителей

touch.otvet.mail.ru

Наибольший общий делитель (НОД): определение, как найти, схема

 

Решим задачу. У нас есть  два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем, 

  • 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

  • Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.

Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.

Как найти наибольший общий делитель

Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.

Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.

  • 48 = 2*2*2*2*3,
  • 36 = 2*2*3*3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые  не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

  • 48 = 2*2*2*2*3,
  • 36 = 2*2*3*3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. 

Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

  • 1. Разложить числа на простые множители.
  • 2. Из множителей,  входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.
  • 3. Посчитать произведение оставшихся множителей.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Простые и составные числа: разложение чисел на простые множители Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspНаименьшее общее кратное (НОК): определение, как найти, общая схема

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Наибольший общий делитель, НОД | Формулы с примерами

Найти наибольший общий делитель двух чисел

НОД (a,b) - самое большое натуральное число, на которое делится и a и b.

Найдем НОД из примера

Делители числа 12 : 1, 2, 3 , 4, 6, 12.

Делители числа 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Общий делитель чисел 12 и 18 : 1, 2, 3, 6.

Наибольший из общих делителей - 6.

Значит, НОД (12, 18) = 6.

Пример
НОД (8, 20) = 4;

НОД (10, 50) = 10;

НОД (4, 94) = 2;

Схема нахождения НОД (a, b)

1. Разложить a и b на простые множители.

2. Подчеркнуть общие множители этих разложений.

3. Перемножить все подчеркнутые множители одного из чисел.

Пример
a = 72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3;

b = 96 = 2• 2• 2 • 2 • 2 • 3;

НОД (72, 96) = 2 • 2 • 2 • 3 = 24.

Пример
a = 630 = 2 • 3 • 3 • 5 • 7;

b = 3675 = 3 • 5 • 5 • 7 • 7;

НОД (630, 3675) = 3 • 5 • 7 = 105.

! Схема подходит и для нахождения НОД трех и более чисел.

Пример
220 = 2 • 2 • 5 • 11;

105 = 3 • 5 • 7;

30 = 2 • 3 • 5;

НОД (220, 105, 30) = 5.

Найдем наибольший общий делитель другим способом

1. Разложим 2 числа (12 и 18) на простые множители;

2. Оставляем равные множители;

3. Находим произведение множителей первой и второй группы;

Аналогичным образом можно найти наибольший общий делитель для 3, 4, 5 и более чисел.

formula-xyz.ru

Как найти НОД?

Как найти НОД?

Математика для многих - не самый легкий предмет. Уж сколько непонятных формул и теорем она в себе таит! И все это каким-то чудом должны не только запомнить, но и понять ученики. Мы попробуем сделать эту науку для вас немного понятнее, научив, как найти НОД чисел.

Решение задач

Наибольший общий делитель, или попросту НОД, – это показатель, который вычисляется для двух и более чисел. Как известно, число, на которое другое число делится без остатка, называется делителем. Таких чисел для каждого числа как минимум два: 1 и оно само. Такие числа называют простыми. К ним относятся 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и т. д. Но у большинства чисел существует три и больше делителя. Для числа 10 это цифры 1, 2, 5, 10; для 8 – 1, 2 , 4, 8.

Наибольшее натуральное число, на которое без остатка делятся два и более числа, называется НОД. Чтобы найти НОД для двух чисел, необходимо:

Для начала разложить каждое число на простые множители, т.е. простые цифры, которые при взаимном умножении давали бы исходное. Делать это очень удобно в столбик. Слева мы записываем исходное число, справа – самый маленький простой множитель, на который число делится. Результат деления записываем под исходным числом. Справа от него – следующий простой множитель, и так до тех пор, пока не получите единицу.

Давайте сразу посмотрим, как найти НОД на конкретном примере. Допустим, нам даны цифры 124 и 72.

124|2 72|2
62|2 36|2
31|31 18|2
1|1 9|3
  3|3
  1|1

Затем надо подчеркнуть одинаковые общие множители в обоих числах:

Чтобы найти НОД, перемножьте общие простые множители. В нашем случае:

  • НОД (72; 124) = 2 х 2 = 4

Если вам необходимо посчитать НОД трех и более чисел, то все делается так же, но уже для всех трех чисел.

Есть ряд чисел, которые называют взаимно простыми. Они не имеют между собою других общих делителей, кроме 1. Поэтому их НОД равен 1. Например, таковы числа 49 и 8. Простые множители 49 = 7 х 7 х 1; 8 = 2 х 2 х 2х 2 х 1. Как видите, из всех цифр у них общая одна – единица.

Онлайн-калькулятор

Также можно воспольз

elhow.ru

Что такое наибольший общий делитель двух чисел (НОД) и методика как его находить

Одной из задач, вызывающих проблему у современных школьников, привыкших к месту и не к месту использовать калькуляторы, встроенные в гаджеты, является нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и более чисел.

Невозможно решить никакую математическую задачу, если неизвестно, о чём собственно спрашивают. Для этого нужно знать, что означает то или иное выражение, используемое в математике.

Общие понятия и определения

Необходимо знать:

  1. Если некое число можно использовать для подсчёта различных предметов, например, девять столбов, шестнадцать домов, то оно является натуральным. Самым маленьким из них будет единица.
  2. Когда натуральное число делится на другое натуральное число, то говорят, что меньшее число — это делитель большего.
  3. Если два и более различных числа делятся на некое число без остатка, то говорят, что последнее будет их общим делителем (ОД).
  4. Самый большой из ОД именуется наибольшим общим делителем (НОД).
  5. В таком случае, когда у числа есть только два натуральных делителя (оно само и единичка), оно называется простым. Самое маленькое среди них — двойка, к тому же она и единственное чётное в их ряду.
  6. В случае если у двух чисел максимальным общим делителем является единица, то они будут взаимно простыми.
  7. Число, у которого больше чем два делителя, именуется составным.
  8. Процесс когда находятся все простые множители, которые при умножении между собой дадут в произведении начальное значение в математике называют разложением на простые множители. Причём одинаковые множители в разложении могут встречаться неоднократно.

В математике приняты следующие записи:

  1. Делители Д (45) = (1;3;5;9;45).
  2. ОД (8;18) = (1;2).
  3. НОД (8;18) = 2.

Различные способы найти НОД

Проще всего ответить на вопрос как найти НОД в том случае, когда меньшее число является делителем большего. Оно и будет в подобном случае наибольшим общим делителем.

Например, НОД (15;45) = 15, НОД (48;24) = 24.

Но такие случаи в математике являются весьма редкими, поэтому для того, чтобы находить НОД используются более сложные приёмы, хотя проверять этот вариант перед началом работы все же весьма рекомендуется.

Способ разложения на простые сомножители

Если необходимо найти НОД двух или более различных чисел, достаточно разложить каждое из них на простые сомножители, а затем произвести процесс умножения тех из них, которые имеются в каждом из чисел.

Пример 1

Рассмотрим, как находить НОД 36 и 90:

  1. 36 = 1*2*2*3*3;
  2. 90 = 1*2*3*3*5;

НОД (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Теперь посмотрим как находить то же самое в случае трёх чисел, возьмём для примера 54; 162; 42.

Как разложить 36 мы уже знаем, разберёмся с остальными:

  1. 162 = 1*2*3*3*3*3;
  2. 42 = 1*2*3*7;

Таким образом, НОД (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

Следует заметить, что единицу в разложении писать совершенно необязательно.

Рассмотрим способ, как просто раскладывать на простые множители, для этого слева запишем необходимую нам цифру, а справа станем писать простые делители.

Разделять колонки можно, как знаком деления, так и простой вертикальной чертой.

  1. 36 / 2 продолжим наш процесс деления;
  2. 18 / 2 далее;
  3. 9 / 3 и ещё раз;
  4. 3 / 3 сейчас совсем элементарно;
  5. 1 — результат готов.

Искомое 36 = 2*2*3*3.

Евклидов способ

Этот вариант известен человечеству ещё со времён древнегреческой цивилизации, он во многом проще, и приписывается великому математику Евклиду, хотя весьма похожие алгоритмы применялись и ранее. Этот способ заключается в использовании следующего алгоритма, мы делим большее число с остатком на меньшее. Затем наш делитель делим на остаток и продолжаем так действовать по кругу пока не произойдёт деление нацело. Последнее значение и окажется искомым наибольшим общим делителем.

Приведём пример использования данного алгоритма:

попробуем выяснить какой НОД у 816 и 252:

  1. 816 / 252 = 3 и остаток 60. Сейчас 252 разделим на 60;
  2. 252 / 60 = 4 в остатке на этот раз окажется 12. Продолжим наш круговой процесс, разделим шестьдесят на двенадцать;
  3. 60 / 12 = 5. Поскольку на сей раз никакого остатка мы не получили, то у нас готов результат, двенадцать будет искомым для нас значением.

Итак, по завершении нашего процесса мы получили НОД (816;252) = 12.

Действия при необходимости определения НОД если задано более двух значений

Мы уже разобрались, что делать в случае, когда имеется два различных числа, теперь научимся действовать, если их имеется 3 и более.

При всей кажущейся сложности, данная задача проблем у нас уже не вызовет. Сейчас мы выбираем два любые числа и определяем искомое для них значение. Следующим шагом отыскиваем НОД у полученного результата и третьего из заданных значений. Затем снова действуем по уже известному нам принципу для четвёртого пятого и так далее.

Заключение

Итак, при кажущейся большой сложности поставленной перед нами изначально задачи, на самом деле все просто, главное уметь выполнять безошибочно процесс делений и придерживаться любого из двух описанных выше алгоритмов.

Хотя оба способа и являются вполне приемлемыми, в общеобразовательной школе гораздо чаще применяется первый способ. Это связано с тем, что разложение на простые множители понадобится при изучении следующей учебной темы — определение наибольшего общего кратного (НОК). Но все же стоит ещё раз заметить — применение алгоритма Евклида ни в коей мере не может считаться ошибочным.

Видео

С помощью видео вы сможете узнать, как найти наибольший общий делитель.

liveposts.ru