Как найти стороны прямоугольного треугольника? Основы геометрии. Найти сторону треугольника по стороне и углу


Стороны треугольника, формулы и примеры

Классификация треугольников по сторонам

Треугольники можно классифицировать по сторонам следующим образом:

Формулы связывающие стороны треугольника

Большая сторона треугольника лежит против большего угла.

В любом треугольнике (рис. 1) его стороны связаны с углами с помощью теоремы синусов:

   

и теоремы косинусов:

   

Площадь треугольника по трем сторонам (формула Герона)

   

где – полупериметр

Стороны в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике (рис. 2) стороны и , образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона – гипотенузой. Связаны стороны прямоугольного треугольника теоремой Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Две стороны и угол треугольника

Зная две стороны в треугольнике и угол между ними, можно с помощью теоремы косинусов вычислить третью сторону треугольника. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов известных сторон и разности с их удвоенным произведением на косинус угла между ними. (рис.76) a^2=b^2+c^2-2bc cos⁡α a=√(b^2+c^2-2bc cos⁡α )

Угол β или γ можно рассчитать через ту же теорему косинусов, зная две, образующие их стороны, при этом один из них – последний, проще найти, отняв два известных от 180 градусов. cos⁡β=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(b^2+c^2-2bc cos⁡α+c^2-b^2)/(2c√(b^2+c^2-2bc cos⁡α ))=(2c^2-2bc cos⁡α)/(2c√(b^2+c^2-2bc cos⁡α ))=(c-b cos⁡α)/√(b^2+c^2-2bc cos⁡α ) cos⁡γ=(a^2+b^2-c^2)/2ab=(b^2+c^2-2bc cos⁡α+b^2-c^2)/(2b√(b^2+c^2-2bc cos⁡α ))=(b-c cos⁡α)/√(b^2+c^2-2bc cos⁡α )

Медиана треугольника рассчитывается по вполне однозначной формуле, тогда как если нужно найти медианы через две стороны и угол между ними, то требуются преобразования. m_a=√(2b^2+2c^2-a^2 )/2=√(2b^2+2c^2-b^2-c^2+2bc cos⁡α )/2=√(b^2+c^2+2bc cos⁡α )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2b^2+2c^2-4bc cos⁡α+2c^2-b^2 )/2=√(b^2+4c^2-4bc cos⁡α )/2 m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2=√(2b^2+2c^2-4bc cos⁡α+2b^2-c^2 )/2=√(4b^2+c^2-4bc cos⁡α )/2

Для расчета биссектрис в произвольном треугольнике также существуют стандартные формулы, из которых только одна может быть преобразована и упрощена для двух сторон и угла между ними. l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b-c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-b^2-c^2+2bc cos⁡α ) )/(b+c)=(bc√(2(1+cos⁡α ) ))/(b+c)

Чтобы найти высоту, нужно знать все три стороны в треугольнике. Подставив их в формулу так, чтобы сторона, на которую опущена искомая высота была в знаменателе, рассчитываются их величины. h_a=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/a h_b=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/b h_c=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/c

Вычислить среднюю линию треугольника можно, зная лишь ту сторону, которой она параллельна, так как сторона будет в два раза больше. В случае с неизвестной стороной, можно подставить в формулу радикал,выведенный по теореме косинусов. M_a=a/2=√(b^2+c^2-2bc cos⁡α )/2 M_b=b/2 M_c=c/2

На пересечении биссектрис в треугольнике расположен центр окружности, которую можно в него вписать. Радиус такой окружности рассчитывается по следующей формуле(рис.75.5) r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p)

Центр описанной вокруг треугольника окружности в свою очередь расположен в точке пересечения медиатрисс, и его формула значительно видоизменена в сравнении с радиусом вписанной окружности. (рис.75.6) R=abc/(4√(p(p-a)(p-b)(p-c)))

geleot.ru

Найти сторону треугольника по стороне и углу

Найти сторону в произвольном треугольнике по стороне и углу возможности нет. Для вычисления длины стороны необходимо знать или длину одной из сторон и значения двух его углов, или же длины двух сторон и значение угла между ними.Рассмотрим оба варианта.

Обозначим стороны треугольника st1, st2 и st3, а углы буквами , и .Запишем формулу для вычисления длины одной из сторон, используя длины других двух сторон и угла между этими же сторонами (используется теорема косинусов):

   

При применении данной формулы необходимо обращать внимание на значение угла , так как если он будет тупым (больше 90 градусов), то косинус этого угла будет отрицательным.Запишем формулу для вычисления длины одной из сторон, используя длину другой стороны и двух углов, которые прилегают к этой стороне (используется теорема синусов):

   

Проще обстоит дело с прямоуг-ным треугольником.Поскольку у треуг-ника стороны называются катетами и гипотенузой, то обозначим их следующим образом: katet1, katet2, gipotenuza.

Найти длину одной из сторон через другую сторону и угол можно, воспользовавшись следующими формулами:

   

   

   

   

ru.solverbook.com

Сторона "A" и угол "α" равнобедренного треугольника

Основным элементом равнобедренного треугольника является высота, проведенная к основанию, она же медиана, она же биссектриса. Благодаря этим свойствам, она делит основание на две равные части под прямым углом, образуя прямоугольный треугольник с катетами в виде высоты и половины основания и гипотенузой, которая является боковой стороной. Поэтому, зная боковую сторону и угол α можно найти основание, высоту, и затем все остальные параметры. (рис.88.2) h_b=m_b=l_b=a sin⁡α b=2a cos⁡α

Периметр треугольника равен сумме двух боковых сторон и основания или удвоенного произведения боковой стороны на косинус угла. Площадь, как половина произведения основания на высоту, представлена в виде квадрата боковой стороны, умноженной на синус и косинус угла. P=2a+b=2a+2a cos⁡α S=hb/2=(a^2 sin⁡α)/2

Найти угол β равнобедренного треугольника через угол α можно, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. (рис.88.1) β=180°-2α

Так как высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, равна высоте и биссектрисе, а две боковые стороны равны между собой, следовательно оставшиеся высоты медианы и биссектрисы опущенные на них, также между собой равны. (рис.88.3, 88.4, 88.8) Вычислить медиану, биссектрису и высоту через боковую сторону и угол α можно, подставив их в соответствующие формулы. m_a=√(a^2+2b^2 )/2=√(a^2+8a^2 cos^2⁡α )/2=(a√(1+8 cos^2⁡α ))/2 h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(2a cos⁡α √((4a^2-4a^2 cos^2⁡α)))/2a=2a cos⁡α √((1-cos^2⁡α)) l_a=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)=(2a cos⁡α √(2+2 cos⁡α ))/(1+2 cos⁡α )

Средняя линия любого треугольника равна стороне, которой она параллельна, деленной на два. Если заменить сторону b на удвоенное произведение стороны a на косинус угла α, то данная средняя линия будет равна боковой стороне, умноженной на этот косинус. (рис.88.5) M_b=b/2=(2a cos⁡α)/2=a cos⁡α M_a=a/2

Если вписать в равнобедренный треугольник окружность, то ее радиус будет равен упрощенному радикалу, полученному из общей формулы радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник. Подставив в нее вместо стороны b известную боковую сторону и удвоенный косинус угла при основании, можно еще более упростить выражение. (рис.88.6) r=b/2 √((a-2b)/(a+2b))=(2a cos⁡α)/2 √((a-2*2a cos⁡α)/(a+2*2a cos⁡α ))=a cos⁡α √((1-4 cos⁡α)/(1+4 cos⁡α ))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании, выглядит как отношение боковой стороны к двум квадратным корням из разности единицы и косинуса угла при основании во второй степени. (рис.88.7) R=a^2/√(4a^2-b^2 )=a^2/√(4a^2-4a^2 cos^2⁡α )=a/(2√(1-cos^2⁡α ))

geleot.ru

Как найти сторону треугольника, если две другие известны

В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

  • Находим квадрат длины катета a;
  • Находим квадрат катета b;
  • Складываем их между собой;
  • Из полученного результата извлекаем корень второй степени. 

Пример: a=4, b=3, c=?

  • a²=4²=16;
  • b² =3²=9;
  • 16+9=25;
  • √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5. 

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

P=a+b+c

c=P-a-b

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

S=a*b* sin γ/2

sin γ= 2S/(a*b)

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Поделитесь этой статьёй с друзьями в соц. сетях:

podskajem.com

Как найти стороны прямоугольного треугольника? Основы геометрии

Катеты и гипотенуза – стороны прямоугольного треугольника. Первые – это отрезки, которые прилегают к прямому углу, а гипотенуза является самой длинной частью фигуры и находится напротив угла в 90о. Пифагоровым треугольником называется тот, стороны которого равны натуральным числам; их длины в таком случае имеют название «пифагорова тройка».

Египетский треугольник

Для того чтобы нынешнее поколение узнало геометрию в том виде, в котором ее преподают в школе сейчас, она развивалась несколько веков. Основополагающим моментом считается теорема Пифагора. Стороны прямоугольного треугольника (фигура известна на весь мир) составляют 3, 4, 5.

Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Однако на самом деле теорема звучит так: c2 (квадрат гипотенузы) = a2+b2 (сумма квадратов катетов).

Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется "египетским". Интересно то, что радиус окружности, которая вписана в фигуру, равняется единице. Название возникло примерно в V столетии до н.э., когда философы Греции ездили в Египет.

При построении пирамид архитекторы и землемеры пользовались соотношением 3:4:5. Такие сооружения получались пропорциональными, приятными на вид и просторными, а также редко рушились.

Для того чтобы построить прямой угол, строители использовали веревку, на которой было завязано 12 узлов. В таком случае вероятность построения именно прямоугольного треугольника повышалась до 95%.

Признаки равенства фигур

  • Острый угол в прямоугольном треугольнике и большая сторона, которые равны тем же элементам во втором треугольнике, – бесспорный признак равенства фигур. Беря во внимание сумму углов, легко доказать, что вторые острые углы также равны. Таким образом, треугольники одинаковы по второму признаку.
  • При наложении двух фигур друг на друга повернем их таким образом, чтобы они, совместившись, стали одним равнобедренным треугольником. По его свойству стороны, а точнее, гипотенузы, равны, так же как и углы при основании, а значит, эти фигуры одинаковые.

По первому признаку очень просто доказать то, что треугольники действительно равны, главное, чтобы две меньшие стороны (т. е. катеты) были равными между собой.

Треугольники будут одинаковыми по II признаку, суть которого заключается в равенстве катета и острого угла.

Свойства треугольника с прямым углом

Высота, которую опустили из прямого угла, разбивает фигуру на две равные части.

Стороны прямоугольного треугольника и его медианы легко узнать по правилу: медиана, которая опущена на гипотенузу, равна ее половине. Площадь фигуры можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов.

В прямоугольном треугольнике действуют свойства углов в 30о, 45о и 60о.

  • При угле, который равен 30о, следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.
  • Если угол 45о, значит, второй острый угол также 45о. Это говорит о том, что треугольник равнобедренный, и его катеты одинаковы.
  • Свойство угла в 60о заключается в том, что третий угол имеет градусную меру в 30о.

Площадь легко узнать по одной из трех формул:

  1. через высоту и сторону, на которую она опускается;
  2. по формуле Герона;
  3. по сторонам и углу между ними.

Стороны прямоугольного треугольника, а точнее катеты, сходятся с двумя высотами. Для того чтобы найти третью, необходимо рассматривать образовавшийся треугольник, и тогда по теореме Пифагора вычислить необходимую длину. Помимо этой формулы существует также соотношение удвоенной площади и длины гипотенузы. Наиболее распространенным выражением среди учеников является первое, так как требует меньше расчетов.

Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику

Геометрия прямоугольного треугольника включает в себя использование таких теорем, как:

  1. Теорема Пифагора. Ее суть заключается в том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В евклидовой геометрии данное соотношение является ключевым. Использовать формулу можно, если дан треугольник, к примеру, SNH. SN – гипотенуза, и ее необходимо найти. Тогда SN2=Nh3+HS2.
  2. Теорема косинусов. Обобщает теорему Пифагора: g2=f2+s2-2fs*cos угла между ними. Например, дан треугольник DOB. Известны катет DB и гипотенуза DO, необходимо найти OB. Тогда формула принимает данный вид: OB2=DB2+DO2-2DB*DO*cos угла D. Существует три следствия: угол треугольника будет остроугольным, если из суммы квадратов двух сторон вычесть квадрат длины третьей, полученный результат должен быть меньше нуля. Угол – тупоугольный, в том случае, если данное выражение больше нуля. Угол – прямой при равенстве нулю.
  3. Теорема синусов. Она показывает зависимость сторон к противолежащим углам. Иными словами, это отношение длин сторон к синусам противолежащих углов. В треугольнике HFB, где гипотенузой является HF, будет справедливо: HF/sin угла B=FB/sin угла H=HB/sin угла F.

fb.ru

Как найти сторону треугольника?

Безусловно, чаще всего вопрос о том, как же найти неизвестную сторону треугольника возникает при проведении алгебраических или же геометрических расчетов, но иногда такая необходимость возникает и в обычной жизни, например, при построении каких-либо архитектурных чертежей или проведении расчетов.

В настоящий момент времени есть несколько различных способов решения такой задачи. И каждый способ отличается от предыдущего не только формулой, по которой производится расчет, но и исходными данными, которые необходимы для вычисления.

Способы нахождения сторон треугольника

Итак, самым простым и логичным ответом на вопрос: как находить стороны треугольника, является то, что необходимо найти решение по формуле. В зависимости от исходных данных, формулы могут быть самыми разными. Обычно необходимую сторону треугольника можно вычислить по:

  1. Двум уже известным сторонам и углу, который находится между ними.
  2. Двум углам и одной известной стороне.

Как видно, в любом, из двух названных случаях, все равно необходимо знать значения трех показателей. Без их знания никогда не будет возможным найти ответ на вопрос о том, как находить стороны треугольника.

Как найти неизвестную сторону треугольника

Итак, чтобы найти сторону треугольника которая не известна по условию при помощи первого способа необходимо использовать следующую формулу: с=v(а2+b2-2аb*cosC). Что касается обозначений данной формулы, то а и b - это длины известных сторон, cosC угол, находящийся между ними. На самом деле, для решения задачи о том, как найти неизвестную сторону в треугольнике, абсолютно нет никакой необходимости обладать какими-то особыми алгебраическими знаниями, вполне достаточно знать основы.

Для того чтобы найти сторону по второму способу понадобится следующая формула: sinA/a=sinB/b=sinC/с. Обозначения этой формулы аналогичны предыдущей, то есть В и С обозначают известные углы, а С - единственно известную сторону.

Но для того, чтобы полученные в ходе вычислений данные были точными, необходимо очень внимательно и правильно производить расчеты, лучше всего провести их два раза,  а в случае несоответствия результатов друг другу, произвести расчет еще раз.

Треугольник, имеющий одинаковые стороны

Стандартные формула расчета поиска неизвестной стороны обычного треугольника были приведены выше. Но всегда необходимо помнить о том, что для того, чтобы найти боковую сторону равнобедренного треугольника, они не подходят.  И поэтому для решения данного вопроса существуют специальные отдельные формулы, которые подходят лишь для данного треугольника.

Итак, в первую очередь, обязательно нужно помнить, что высота такого треугольника - это, в то же время, и его медиана

elhow.ru