Производная функции онлайн. Найти производные функций


Как найти производную функции, примеры решения

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

  1. Вынос константы за знак производной:
  2. Производная суммы/разности функций:
  3. Производная произведения двух функций:
  4. Производная дроби:
  5. Производная сложной функции:

Примеры решения

Пример 1
Найти производную функции
Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:

Используя правило производной степенной функции имеем:

Так же было учтено, что производная от константы равна нулю.

Ответ
Пример 2
Найти производную функции
Решение

По правилу производной разности:

По таблице интегрирования находим:

С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от , то нужно домножить ещё на производную самого аргумента:

После упрощения получаем:

Ответ
Пример 3
Найти производную функции
Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3:

Производная первой функции вычисляется как разность фунций:

Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: :

Продолжаем решение с учетом найденных производных:

Ответ
Пример 4
Найти производную функции
Решение

Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим и . Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны:

Используя формулу №4 получаем:

Выносим множитель в числителе за скобку:

Ответ
Пример 5
Найти производную функции
Решение

Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение.

Заметим, что аргумент синуса отличен от , поэтому тоже является сложной функцией:

Учитывая определение котангенса перепишем полученную производную в удобном компактном виде:

Ответ

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Онлайн калькулятор: Производная функции

Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее.В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, - вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже.Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если ждать до конца нет сил — нажмите кнопку остановить. У меня получался достаточно простой вариант уже после 10-15 секунд работы алгоритма упрощения.

Калькулятор производных

Допустимые операции: + - / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Производная функции

 

Показать детали вычисления

Показать шаги вычисления производной и упрощения формулы

Последовательность вычисления производной и упрощения формулы

Сохранить share extension

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, - — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

ГруппаКонстанты и переменныеОперацииТригонометрические функцииОбратные тригонометрические функцииГиперболические функции

Синтаксис математических выражений

planetcalc.ru

Как найти производную. Таблица производных.

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно.  Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

 

 

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам  получаем  другую функцию:

В этом равенстве  - функция, от которой мы берем производную,

- функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение  производной, существует таблица производных  элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

2. Производная степенной функции:

Заметим, что  может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1.

2. 

3.

3. Производная показательной функции:

Пример.

Частный случай этой формулы:

4. Производная логарифма:

Частный случай этой формулы:

5. Производные тригонометрических функций:

6. Производные обратных тригонометрических функций:

 

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

2. Производная произведения двух функций:

3. Производная дроби:

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

Чтобы правильно найти производную функции , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите  в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции

4. Вспомните, чему равны производные  этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

Так как по условию , следовательно,

Таким образом:

Пример 2. Найти производную функции:

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

Пример 3. Найти производную функции

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени  и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

Теперь легко найти производную:

Пример 4. Найти производную функции:

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции  по формуле производной дроби:

В нашем случае:

Отсюда:

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Производная онлайн с подробным решением

Калькулятор решает производные c описанием действий ПОДРОБНО бесплатно!

Это он-лайн сервис в один шаг:

  • Ввести функцию, для которой надо найти производную

Перейти: Онлайн сервис "Производная функции" →

Это он-лайн сервис в один шаг:
  • Ввести функцию, для которой надо найти частные производные
Перейти: Онлайн сервис "Частная производная функции" → Это он-лайн сервис в два шага:
  • Ввести функцию, для которой надо найти производную
  • Ввести найденную первую производную в форму
Перейти: Онлайн сервис "Вторая производная функции" → Это он-лайн сервис в три шага:
  • Ввести функцию, для которой надо найти производную
  • Ввести найденную первую производную в форму
  • Ввести найденную вторую производную функции в форму
Перейти: Онлайн сервис "Третья производная функции" →

Введите функцию, заданную в неявном виде, вы получите соответствующую производную

Это он-лайн сервис в три шага:

  • Ввести функцию x = x(t)
  • Ввести функцию y = y(t)

Перейти: Онлайн сервис "Производной параметрической функции" →

Производная сложной функции

Производную сложной функции онлайн вы сможете вычислить с помощью калькулятора производных здесь

Таблица производных

Вы также можете воспользоваться таблицей производных, чтобы самостоятельно вычислить любую производную, перейти:

www.kontrolnaya-rabota.ru

Производная онлайн

Производная онлайн для решения математики. Быстро решить задачу по нахождению производной в режиме онлайн. Сайт www.matcabi.net позволяет найти производную почти от любой математической функции онлайн. Правильно взять производную функции, продифференцировать сложную функцию по заданной переменной - это быстро и легко с нашим сайтом, позволяющим находить производные онлайн от математических функций. Определить производную онлайн высших порядков, при этом получить точный ответ. На сайте www.matcabi.net нахождение производной онлайн осуществляется мгновенно. Достаточно ввести заданную функцию, указать порядок производной, и ответ получите сразу в режиме онлайн. Ввести функцию, определить порядок производной, получить мгновенный ответ и найти производную онлайн от заданной функции. В математике понятие производной широко применимо, поэтому задачи нахождения производной онлайн встречаются часто. Не все математические сайты способны находить производные функций в режиме онлайн быстро и качественно, особенно если требуется найти производную от сложной функции или таких функций, которые не включены в общий курс высшей математики. Сайт www.matcabi.net поможет найти производную онлайн и решить поставленную задачу. Используя онлайн решение производных на сайте www.matcabi.net, вы получите точный ответ. Вы можете находить производные от сложных математических функций в режиме онлайн, при этом порядок производной может варьироваться от одного до десяти. Для практических задач по нахождению производной функции онлайн этого вполне достаточно. Решая задачи по нахождению производных функций, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение производных на сайте www.matcabi.net. Необходимо ввести заданную функцию, выбрать порядок производной, получить онлайн решение производной и сравнить ответ с вашим решением. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить онлайн призводную и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибки в решении и вовремя скорректировать ответ при взятии производной от функции онлайн.

www.matcabi.net

таблица производных | математика-повторение

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x7+x5-x4+x3-x2+x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:

y’=7x6+5x4-4x3+3x2-2x+1.

2. y=3x6-2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x5-2=18x5-2.

Применяем правило I,  формулы 3, 5 и 6 и 1.

 

 Применяем правило IV, формулы 5 и 1.

 

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных,  а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4), поэтому, будем находить производные  2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4. Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну  формулу.

Используем правило IV и формулу 4. Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

 

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х0; f (x0)). Придадим абсциссе х0 приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х0+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х0+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.

Δy=f (х0+Δх) — f (x0).  Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:

Определение производной. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Смотрите видео 10.3. Определение производной. Геометрический смысл производной.

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x2, если начальное значение аргумента было равно 4, а новое  -4,01.

Решение.

Новое значение аргумента х=х0+Δx. Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх=4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х0+Δх) - f (x0).  Так как у нас функция y=x2,  то Δу=(х0+Δx)2— (х0)2=(х0)2+2x0 · Δx+(Δx)2— (х0)2=2x0 · Δx+(Δx)2=

=2 · 4 · 0,01+(0,01)2=0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх=0,01; приращение функции Δу=0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy=y (х0+Δx) -y (х0)=у(4,01) -у(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х0, если f '(х0) = 1.

Решение.

Значение производной в точке касания х0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f '(х0) = tgα = 1  → α = 45°,   так как  tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°.

3. Вывести формулу производной функции y=xn.

Смотрите видео: «10.3.0. Вывод формулы производной степени».

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же,  как мы вывели формулу производной степени: (xn)' = nxn-1.

Вот эти формулы.     

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

 

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования.

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

 

www.mathematics-repetition.com

Производная функции одной переменной

В этой статье мы будем учиться находить производную от функции одной переменной. Дадим ее определение, вскользь затронем геометрический смысл. Разберемся с вопросом нахождения производной от сложной функции.

Итак, дадим определение производной: пусть в некоторой окрестности точки определена функция . Производной функции в точке называется предел, если он существует,

   

Из школы можно вспомнить формулу для нахождения касательной к функции в точке:  . То есть если говорить о геометрическом смысле производной, то обозначим производную функции в точке как угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной прямой к графику функции в этой точке.

Правила дифференцирования:

  1. Производная суммы равна сумме производных, то есть:  
  2. Производная произведения:  
  3. Вынесение константы за знак производной:  
  4. Производная частного:

Прежде чем перейти к задачам, необходимо обзавестись таблицей производных. В идеале вы должны ее знать наизусть, как таблицу умножения 🙂

Таблица производных

[свернуть]

Правилами дифференцирования и таблицей вооружились, двигаемся дальше.

Рассмотрим некоторую функцию . Как видим, функция зависит не просто от переменной , а от другой функции . Будем называть такую функцию сложной. Производная сложной функции вычисляется следующим образом:

Теперь всей необходимой теорией для решения стандартных задач на нахождение производной мы обладаем, а именно: правилами дифференцирования, таблицей производных и формулой производной от сложной функции. Давайте на примерах подробно разберемся с тем, как это работает.

Задачи на применение правила дифференцирования суммы

Пример 1. Найти производную функции

Решение:   Применяем правило дифференцирования суммы функций:

Заглядываем в таблицу производных и ищем там производную от и от

Всё, производная найдена. В ответ запишем

Пример 2. Найти производную функции , где

Решение:   Применяем правило дифференцирования суммы функций:

Открываем таблицу производных и находим производные от и

Производная найдена, в ответе записываем

Пример 3. Найти производную функции

Решение:

[свернуть]

Задачи на применение правила дифференцирования произведения

Пример 4. Найти производную функции

Решение:   Применим правило дифференцирования произведения:

Обращаемся к таблице производных и ищем там производные тангенса и

    или    

Производная найдена.

Пример 5. Найти производную функции

Решение:   Применим правило дифференцирования произведения:

Производная найдена.

Пример 6. Найти производную функции

Решение:

 

Производная найдена.

[свернуть]

Задачи с вынесением константы за знак производной

Это правило дифференцирования самое простое для понимания (редко у кого можно встретить здесь ошибки): мы просто выносим константу за знак производной и находим производную от оставшегося выражения.

Пример 7. Найти производную функции

Решение:   Видим константу , поэтому поступаем в соответствии с нашим правилом:

Всё, задача решена 🙂 Давайте, на всякий случай, рассмотрим еще одну такую задачу.

Пример 8. Найти производную функции

Решение:   Видим дробь. Производную от дроби находить пока не умеем, но может без проблем преобразовать выражение следующим образом:

Теперь константа очевидна, выносим и находим производную:

Производная найдена.

[свернуть]

Задачи на применения правила дифференцирования частного (дроби)

Ничего сложно в дифференцировании дробей нет, но на практике именно здесь чаще всего возникают ошибки, поэтому остановимся на этом моменте подробнее.

Пример 9. Найти производную функции

Решение:  Видим дробь. Мысленно повторяем для себя: «Производная дроби равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и всё это деленное на квадрат знаменателя«.

Числителем здесь является , а знаменателем — . Тогда, в соответствии с формулой, напишем:

Всё, производная успешно найдена.

Пример 10. Найти производную функции

Решение:  Рассматриваем выражение. Числителем служит , знаменателем — . По формуле получим:

В принципе, на этом этапе можно остановиться, производная найдена. Но, взглянув на числитель, несложно заметить и применить основное тригонометрическое тождество :

.

Вспомнив, что отношение синуса к косинусу есть тангенс, легко проверить получившийся ответ по таблице производных.

Пример 11. Найти производную функции

Решение:   Числитель здесь , знаменатель . По формуле производной для дроби запишем:

Производная найдена, но можно упростить полученное выражение, сделаем это:

Пример 12. Найти производную функции

Решение:   Числитель и знаменатель . Получаем:

Заметим, что здесь необязательно было пользоваться именно формулой для дроби, так как знаменатель представляет собой константу. Эту константу можно было вынести по предыдущему правилу дифференцирования.

[свернуть]

С правилами дифференцирования ознакомились. Переходим к дифференцированию сложной функции. Пока еще нет достаточного опыта, рекомендую на каждом шаге повторять для себя: «Производная сложной функции равна производной внешней функции на производную внутренней функции«.

Пример 13

Найти производную функции .

Решение:   Видим обыкновенный косинус, но воспользоваться таблицей производных сразу не можем, потому что зависит косинус не просто от , а от . Применяем формулу для сложной функции.

Необходимо очень чётко уяснить вопрос с тем, что является в некотором выражении внешней функцией, а что внутренней. Для этого нужно посмотреть на функцию как бы в целом (это может быть нечто очень громоздкое), понять, что это прежде всего: произведение, степень, дробь или что-то другое.

В данной задаче всё просто. Прежде всего наше выражение — это косинус. То есть косинус является внешней функцией. Внутренней функцией будет являться аргумент косинуса . Тогда по формуле запишем:

.

[свернуть]

В 13 и 14 примерах для нахождения производной достаточно было применить формулу для сложной функции всего один раз. Однако на практике чаще всего имеются выражения вида «функция от функции, зависящей от еще одной функции, которая зависит функции и т.д.». В этих случаях принцип нахождения производной не изменяется — мы просто используем формулу несколько раз.

Пример 15

Найти производную функции

Решение:    Имеем натуральный логарифм, который зависит от синуса, который зависит от некоторого выражения. Внешняя функция здесь сам логарифм, то есть , внутренняя — выражение под логарифмом, т.е. .

Производную первого множителя уже можем написать из таблицы производных (сделаем это позже, чтобы не возникло путаницы). Для нахождения производной второго множителя вновь используем формулу, полагая, что внешней функцией является синус, а внутренней — выражение :

Давайте для наглядности покажем на картинке процесс работы с выражением:

Функция слева от стрелки внешняя, справа внутренняя. Количество стрелок равно количеству применений формулы для сложной функции.

[свернуть]

Пример 16

Найти производную функции

Решение:   Нарисуем такую же картинку, как и в предыдущем примере:

Имеем три стрелки, то есть формулу для сложной функции будем последовательно применять именно три раза. На каждом шаге функция слева от стрелки — внешняя, справа — внутренняя.

Ответ получился некрасивым, но это нестрашно, потому что задания придумывал сам 🙂 Здесь все производные мы высчитываем на последнем шаге, чтобы не запутаться. На практике же чаще всего будет удобнее это делать после каждого применения формулы (для внешних функций).

[свернуть]

В первое время будет нелишним рисовать на черновике картинки из примеров 15 и 16 (понятно, применительно к своей задаче). Далее разберем пару примеров на комбинирование правил дифференцирования и формулы дифференцирования сложной функции.

Пример 17

Найти производную функции

Решение:   Видим произведение, поэтому по формуле дифференцирования произведения функций запишем:

Обе полученные функции под знаком производной сложные, поэтому дифференцируем их по соответствующему правилу:

[свернуть]

Пример 18

Найти производную функции

Решение:   Видим дробь, поэтому по формуле дифференцирования дробей запишем:

Обе полученные функции под знаком производной сложные, поэтому дифференцируем их по соответствующему правилу:

Опять получился не очень красивый ответ, но зато правильный 🙂

Здесь стоит заметить, что мы могли избавиться от дроби и перейти к произведению функций с помощью перенесения арксинуса в числитель (арксинус в этом случае получает степень ).

[свернуть]

На этом всё, спасибо за внимание!

higher-math.ru