Найдите координаты точки в пересечения графиков функций. Найдите координаты точек пересечения графиков функций


Как найти координаты точки пересечения графиков функций?

Как найти?

  1. Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие , а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
  2. Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
  3. Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции и . Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения и и найти и . Затем повторить тоже самое и с функцией . Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда . Иначе, в случае функции параллельны друг другу, так как - это коэффициент угла наклона. Если , но , тогда точкой пересечения будет . Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

Пример 1
Пусть даны и . Найти координаты точки пересечения графиков функций.
Решение

Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций и . Замечаем, что , поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения :

Переносим слагаемые с в левую часть, а остальные в правую:

Получили абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим в любое из уравнений хоть в , либо в :

Итак, - является точкой пересечения графиков двух линейных функций.

Ответ
Пример 2
Дано и . Найти точки пересечения графиков функций.
Решение
Как найти? Опять же обращаем внимание на то, что угловые коэффициенты равны . Это означает, что линейные функции параллельны между собой, поэтому у них нет точек пересечения!
Ответы
Графики функций параллельны, нет точек пересечения.

 Случай двух нелинейных функций 

Пример 3
Найти координаты точки пересечения графиков функций: и
Решение

Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни:

Разносим по разным сторонам уравнения члены с и без него:

Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты . Подставляем в любое из двух уравнений условия задачи. Например:

- точка пересечения графиков функций

Ответ

В статье: "Как найти координаты точки пересечения графиков функций?" было рассказано о случае двух линеных функций, и разобран случай с нелинейными. Были приведены способы, методы решения, а так же практические примеры.

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Примерное оформление решения заданий из части «С». Найдите координаты точек пересечения графиков функций

скачать ПРИМЕРНОЕ ОФОРМЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ИЗ ЧАСТИ «С».

С1. Найдите координаты точек пересечения графиков функций

и .

Решение. В точке пересечения графиков значения функций равны, следовательно, для нахождения абсциссы этой точки нужно решить уравнение: .

Обозначим , тогда уравнение принимает вид: .

Возведём обе части уравнения в квадрат и получим .

Выполним преобразования , .

Обе части полученного уравнения возведём в квадрат и получим , или . Отсюда или .

Сделаем проверку корней.

При получаем: . Значит, 18 – корень уравнения.

При значение не существует, следовательно, - 3  посторонний корень.

Найдём координаты точек пересечения: так как , то , значит

или .

Тогда .

Замена переменной является в данном случае тождественным преобразованием и не приводит ни к потере корней, ни к приобретению новых. Следовательно, координаты точек пересечения равны и .

Ответ: и .

С2. Решите уравнение .

Решение. Приведём степени к одному основанию. Получим уравнение, равносильное данному: . Пусть . Тогда уравнение принимает вид: или . Это уравнение, используя определение модуля, заменим равносильной ему совокупностью систем:

или

Уравнение первой системы приведем к виду . По формуле корней квадратного уравнения получаем или . Это посторонние решения, так как не выполняется условие . Следовательно, система решений не имеет.

Уравнение второй системы приведем к виду . По формуле корней квадратного уравнения получаем или . Неравенству удовлетворяет корень , который и является решением совокупности систем.

Итак, , следовательно.

Ответ: -2.

С3. В усеченном конусе радиусы оснований относятся как 1:3. В него вписан другой конус. Основание этого конуса совпадает с основанием усеченного конуса, а вершина лежит большого основания усеченного конуса. Плоскость, параллельная основаниям конусов, делит их высоту в отношении 1:2, считая от большего основания усеченного конуса. Определите отношения :, где - объём части вписанного конуса, которая отсекается от него этой плоскостью и прилегает его основанию, а - объём части усеченного конуса, которая отсекается от него той же плоскостью и прилегает к его большему основанию.

Решение.

=, (1)

=, (2)

  1. Пусть М = r, РО = R, так как по условию задачи , то .
  2. По условию, если отрезок = - высота данного усеченного конуса, то и .
  3. Найдем . Рассмотрим:  и , они подобны (по двум углам) , откуда , . Подставляя найденные значения в формулу (1), получаем: ==.
  4. Найдем . Рассмотрим: ВСМ и РНМ, они подобны (по двум углам)  отсюда , тогда отрезок . Подставляя найденные значения в формулу (2), получаем:
= .
  1. Составим отношения полученных объёмов::= :=.
Ответ: .

С4. Найдите все значения а, при которых область определения функции содержит отрезок длиной 5, состоящий из положительных чисел.

Решение. Так как 17 + а является основанием логарифма, то по определению логарифма . Для таких значений параметра а, найдем область определения:

совокупности систем:

или

Рассмотрим последнюю совокупность неравенств в зависимости от значений параметра а.

  1. при а = 0, эта совокупность не имеет решений;
  2. при число отрицательно и поэтому у неравенства нет положительных решений. Значит, такие значения параметра а, не удовлетворяют условию задачи;
  3. при число положительно и поэтому у неравенства нет решений. Значит .
Этот интервал состоит из положительных чисел. Он содержит отрезок длиной 5, только если его длина больше 5, т.е. правый его конец больше 5. Значит, , .

Учитывая условия , получаем ответ:.

Ответ: .

С1. Найдите все значения х, для которых точки графика функции лежат выше соответствующих точек графика функции .

Решение.

Составим неравенство по условию данной задачи: , преобразуем его и получим , заметим, что числитель дроби положителен при всех допустимых значениях переменной х, следовательно, последнее неравенство равносильно системе откуда .

Ответ.

С2. Решите уравнение .

Решение.

Введем новую переменную, пусть .

Тогда уравнение примет вид: .

Найдем ОДЗ: , т.е. , откуда .

Раскроем знак модуля, учитывая ОДЗ, данное уравнение имеет решения при : так как второй множитель положителен при всех значениях переменной t из ОДЗ, то последнее уравнение равносильно уравнению .

Возвращаясь к переменной х, имеем: .

Ответ. .

С3. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых наименьшее из двух чисел и больше -8.

Решение.

По условию a>0.

1). Пусть b наименьшее число, т.е.

( так как ).

2) Пусть с наименьшее число, т.е.

(так как a>0).

3). Наименьшее из чисел b и c больше -8 тогда и только тогда, когда, каждое из них больше -8, т.е. когда

Ответ:

С2. Решите уравнение .

Решение.

  1. Заметим, что выражение, стоящее под знаком корня второго слагаемого образует полный квадрат, тогда исходное уравнение примет вид:.
  2. Выражения, стоящие под знаком модуля положительны при всех значениях хR, раскрывая знак модуля, имеем:
Ответ. .

В8. Найдите значение функции в точке , если известно, что функция - четная, а - нечетная, .

Решение.

По определению четной функции имеем: , по определению нечетной функции , тогда функция у() примет вид: у = .

Ответ. 5.

В8. Нечетная функция определена на всем числовом промежутке. Для всякого неположительного х значение этой функции совпадает со значением функции . Сколько корней имеет уравнение = 0?

Решение.

Функция имеет четыре точки пересечения с осью абсцисс: . Неположительными из них являются -1 и 0. В силу нечетности функция будет иметь три корня -1, 0 и 1.

Ответ. 3.

В7. Найдите сумму всех корней уравнения .

Решение.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй имеет смысл.

1. ОДЗ: решая систему, получаем .

2. . Корень х = 4 ОДЗ, следовательно, исходное уравнение имеет два корня, и их сумма равна -4 + 1,25 = -2,75.

Ответ. -2,75.

В9. В бидон налили 3 литра молока 1% жирности и 7 литров молока 6% жирности. Какова жирность получившегося молока?

Решение.

«Метод стаканчиков»

Составим уравнение: , или 45 = 10 х %, х = 4,5 %.

Ответ. 4,5 %.

В10. Боковое ребро правильной четырехугольной призмы в 2 раза больше стороны основания. Расстояние между серединами двух непараллельных ребер, принадлежащих разным основаниям, равно . Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение.

Пусть ребро основания равно а, тогда боковое ребро равно 2а. Площадь полной поверхности состоит из суммы боковой поверхности и двух равных оснований, т.е. .

  1. М и К середины ребер основания, следовательно , тогда = .
  2. по теореме Пифагора из ∆MKN имеем: , т.е. , а = 2.
  3. Подставляя в формулу площади значение, а = 2 имеем: .
Ответ: 40.

В11. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса ВМ, причем АМ = 5, МС = 3. Найдите площадь треугольника АВМ.

Решение.

  1. по свойству биссектрисы угла треугольника имеем:,  .
  2. по теореме Пифагора:  а = 6.
  3. найдем площадь треугольника АВМ: , .
Ответ: 15.

С3. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых наименьшее из двух чисел и больше -8.

Решение.

Пусть a>0.

1).

( так как ).

(так как a>0).

3). Наименьшее из чисел b и c больше -8 тогда и только тогда, когда, каждое из них больше -8, т.е. когда

Ответ:

С5. Даны два уравнения: и . Значение параметра р выбирается так, что и число различных корней первого уравнения в сумме с числом дает число различных корней второго уравнения. Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.

Решение.

1. Рассмотрим второе уравнение. Преобразуем левую часть к виду: . Множество значений данного выражения , область определения , при аргумент , следовательно , а все выражение: , т.е. график функции убывает.

Правая часть второго уравнения – прямая , коэффициент при х положителен, значит прямая возрастает. Следовательно, второе уравнение имеет один корень, т.е. .

2. Первое уравнение легко привести к квадратному уравнению: , при условии .

В зависимости от дискриминанта оно может иметь: 1 корень (D =0), 2 корня (D>0), или не иметь корней (Dk различных корней первого уравнения не больше двух.

По условию , так как , то .

3. Пусть k = 2, тогда , что противоречит условию .

Пусть k = 1, тогда .

4. Решим второе уравнение при р = -9:

, или .

Легко заметить, что единственным решением (в силу непрерывности обеих частей при) является число х = 8.

Проверка: ,

,

, -1 = -1.

Ответ: х = 8.

скачать

nenuda.ru

Найдите координаты точки в пересечения графиков функций

Данный урок 20-й по теме «Электрический ток» и второй в серии уроков решения задач на применение закона Ома и закономерностей последовательного и параллельного соединения проводников. Урок подготовлен предшествующим материалом: – теоретические знания по теме (сформированы.

Как найти координаты точки пересечения графиков функций?

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции и. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения и и найти и. Затем повторить тоже самое и с функцией. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда. Иначе, в случае функции параллельны друг другу, так как — это коэффициент угла наклона. Если, но, тогда точкой пересечения будет. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций и. Замечаем, что, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения :

Переносим слагаемые с в левую часть, а остальные в правую:

Получили абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим в любое из уравнений хоть в, либо в :

Итак, — является точкой пересечения графиков двух линейных функций.

Случай двух нелинейных функций

Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни:

Разносим по разным сторонам уравнения члены с и без него:

Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты. Подставляем в любое из двух уравнений условия задачи. Например:

— точка пересечения графиков функций

В статье: «Как найти координаты точки пересечения графиков функций?» было рассказано о случае двух линеных функций, и разобран случай с нелинейными. Были приведены способы, методы решения, а так же практические примеры.

Найдите координаты точки в пересечения графиков функций

Найдите координаты точки В пересечения графиков функции постройте их график: 1) у=5х-3 и у=*х-7

Ответ оставил Гость

Приравниваем друг к другу обе функции и получаем: 5x — 3 = 3x + 1; 2x = 4; x=2; подставляем значение x=2: y(2) = 3*2+1 = 7; т. е. координатами точек пересечения обеих функций будет (2, 7).

Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Математика.

Найдите координаты точки в пересечения графиков функций

Найдите координаты точки В пересечения графиков функции постройте их график: 1) у=5х-3 и у=*х-7

Ответ оставил Гость

Приравниваем друг к другу обе функции и получаем: 5x — 3 = 3x + 1; 2x = 4; x=2; подставляем значение x=2: y(2) = 3*2+1 = 7; т. е. координатами точек пересечения обеих функций будет (2, 7).

Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Математика.

poiskvstavropole.ru

Как вычислить координаты точек пересечения графиков функций

Построить кривую, заданную уравнением в полярной системе координат. Есть следующее уравнение r = 2sin4? r- это у меня «ро» f- это «фи» К сожалению,не нашла в своих лекциях подробного описания как это сделать. Полазив по интернету поняла только,что это будет многолистник или.

Как найти координаты точки пересечения графиков функций?

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции и. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения и и найти и. Затем повторить тоже самое и с функцией. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда. Иначе, в случае функции параллельны друг другу, так как — это коэффициент угла наклона. Если, но, тогда точкой пересечения будет. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций и. Замечаем, что, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения :

Переносим слагаемые с в левую часть, а остальные в правую:

Получили абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим в любое из уравнений хоть в, либо в :

Итак, — является точкой пересечения графиков двух линейных функций.

Случай двух нелинейных функций

Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни:

Разносим по разным сторонам уравнения члены с и без него:

Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты. Подставляем в любое из двух уравнений условия задачи. Например:

— точка пересечения графиков функций

В статье: «Как найти координаты точки пересечения графиков функций?» было рассказано о случае двух линеных функций, и разобран случай с нелинейными. Были приведены способы, методы решения, а так же практические примеры.

Как вычислить координаты точек пересечения графиков функций

Науколандия

Статьи по естественным наукам и математике

Найти точку пересечения графиков линейных функций

Если даны две линейные функции вида y = kx + m, то их графики (прямые) могут вообще не пересекаться, если параллельны друг другу. Во всех остальных случаях они будут пересекаться в одной точке.

Графики двух линейных функций параллельны друг другу, если имеют одинаковый угловой коэффициент ( k ) и различное значение m (если и m будет одно и то же, то это будет одна и та же функция). Действительно, ведь k определяет угол между осью x и прямой, а значит у графиков линейных функций, отличающихся лишь значением m, угол с осью абсцисс один и тот же, и, следовательно, графики будут параллельны. Пример: графики функций y = 2x – 3 и y = 2x + 1 параллельны и, следовательно, не пересекаются.

Если две линейные функции имеют различные k, но одинаковые m, то они пересекаются в точке (0; m ). Действительно, если x = 0, то независимо от того, чему равен k, y становится равен m. Пример: y = –1.3 x + 8 и y = 2.1 x + 8.

Если две линейные функции имеют различные и k и m, то они пересекаются в какой-то точке, которую можно найти графическим способом. Сначала на координатной плоскости чертится одна прямая, затем вторая, далее находится их точка пересечения. Для того, чтобы начертить прямую линейной функции, надо найти две точки, которые принадлежат прямой. Для этого берут два различных x и вычисляют y. Это нужно сделать для каждой из двух функция. При этом не обязательно брать одинаковые x. Следует брать те, вычислять с которыми удобнее, или их будет проще нанести на координатную плоскость.

Также можно решить уравнение. Ведь точка пересечения — это та точка, где у обоих функций одинаковы x и y. Если y одинаковы, то правая часть одного уравнения равна правой части другой. То есть их можно приравнять и найти значение x, при котором это равенство верно. А далее, имея x, можно вычислить y, через любую из функций. Пример:

Как вычислить координаты точек пересечения графиков функций

Науколандия

Статьи по естественным наукам и математике

Найти точку пересечения графиков линейных функций

Если даны две линейные функции вида y = kx + m, то их графики (прямые) могут вообще не пересекаться, если параллельны друг другу. Во всех остальных случаях они будут пересекаться в одной точке.

Графики двух линейных функций параллельны друг другу, если имеют одинаковый угловой коэффициент ( k ) и различное значение m (если и m будет одно и то же, то это будет одна и та же функция). Действительно, ведь k определяет угол между осью x и прямой, а значит у графиков линейных функций, отличающихся лишь значением m, угол с осью абсцисс один и тот же, и, следовательно, графики будут параллельны. Пример: графики функций y = 2x – 3 и y = 2x + 1 параллельны и, следовательно, не пересекаются.

Если две линейные функции имеют различные k, но одинаковые m, то они пересекаются в точке (0; m ). Действительно, если x = 0, то независимо от того, чему равен k, y становится равен m. Пример: y = –1.3 x + 8 и y = 2.1 x + 8.

Если две линейные функции имеют различные и k и m, то они пересекаются в какой-то точке, которую можно найти графическим способом. Сначала на координатной плоскости чертится одна прямая, затем вторая, далее находится их точка пересечения. Для того, чтобы начертить прямую линейной функции, надо найти две точки, которые принадлежат прямой. Для этого берут два различных x и вычисляют y. Это нужно сделать для каждой из двух функция. При этом не обязательно брать одинаковые x. Следует брать те, вычислять с которыми удобнее, или их будет проще нанести на координатную плоскость.

Также можно решить уравнение. Ведь точка пересечения — это та точка, где у обоих функций одинаковы x и y. Если y одинаковы, то правая часть одного уравнения равна правой части другой. То есть их можно приравнять и найти значение x, при котором это равенство верно. А далее, имея x, можно вычислить y, через любую из функций. Пример:

poiskvstavropole.ru