Как найти сторону треугольника, зная две стороны. Нахождение сторон треугольника


Как найти сторону треугольника - в помощь школьнику :: SYL.ru

Есть несколько способов решения этой геометрической задачи. Они описаны в статье.

При помощи сторон и углов

Итак, первый способ нахождения сторон треугольника - это по нескольким сторонам и углу между ними (и аналогично с углами и одной прилежащей стороной). Данный способ подойдет для старшей школы, так как здесь используются такие понятия, как синус, косинус, квадрат числа и корень. Итак, как найти сторону треугольника, который является произвольным? Для начала нарисуем эту самую фигуру. Теперь давайте обзовем элементы нашей фигуры. Стороны будут a, b и c. Угол, находящийся напротив стороны a, у нас будет "альфа", напротив b -"бета", напротив c - "гамма". Для того чтобы найти сторону, скажем, a, необходимо вычислить квадратный корень из суммы квадрата b, c и вычесть из нее двойное произведение косинуса угла a на стороны b и c. То есть, для того, чтобы облегчить вид формулы и пояснить, как найти сторону треугольника произвольной формы, можем написать следующее: a=(b*b+c*c-2*b*c*cos"альфа")^(1/2). Будьте внимательны, ведь если угол, расположенный напротив искомой стороны, будет тупым, то косинус примет отрицательное значение. Еще одна формула нахождения сторон треугольника - по двум углам и сторонам. Сразу приведем формулу-равенство, так как для понимания наглядный вид проще, чем длинная роспись. По-прежнему нам нужно найти сторону a. Тогда, опираясь на обозначения, получим следующее: a=(b*sin"альфа")/sin"бета"=(b*sin"альфа")/sin("альфа"+"гамма")=(b*sin("бета"+"гамма"))/sin"бета". Вот таким мудреным способом можно найти неизвестную сторону произвольного треугольника.

Равнобедренный треугольник

Что такое равнобедренный треугольник? Сам по себе он имеет две одинаковые стороны и так называемое основание. Стороны-близнецы обозначим буквой a, основание - b. Стало быть, раз у треугольника есть два "бедра" одной величины, то и углы на "фундаменте" тоже будут одинаковыми. Их назовем "альфа". Для того чтобы ответить, как найти сторону равнобедренного треугольника, необходимо ввести еще одну величину - угол, образованный между равными "бедрами". Так как он располагается напротив b, то назвать его лучше всего "бета". Здесь при поиске неизвестных сторон можно пользоваться несколькими формулами. Давайте же посмотрим, какими именно. Первые две - это те, по которым можно вычислить длину стороны основания равнобедренного треугольника. Основана она на знаниях ученика о синусах и косинусах. Итак, выглядят наши вычисления следующим образом: b=2*a*sin("бета"/2)=a*(2-2*cos"бета")^(1/2) или же b=2*a*cos"альфа". Легко все и просто. Особенно, если "набить руку" и попрактиковаться. Теперь можем взглянуть, как вычислить длину равных сторон. Здесь тоже имеется два варианта, они немного сложнее, чем предыдущие. Выглядят громоздко, но пугаться этого не стоит. Как же найти "бедра"? Будем иметь следующий вид формул: a=b/(2*sin("бета"/2))=b/(2-2*cos"бета")^(1/2) или же a=b/(2/cos"альфа"). Какую именно запись нужно использовать? Все зависит от поставленной задачи и условий. Конечно же, можно произвести проверку вычислений по всем формулам, если у вас есть абсолютно все данные. Теперь можем двигаться дальше.

Прямоугольный треугольник

Наверное, каждый школьник, который только начал изучение геометрии, знает, что такое прямоугольный треугольник. С первого взгляда в данной фигуре нет ничего особенного, сложного и непонятного. Но вот когда "теряются" данные о той или иной стороне сего геометрического объекта, начинаются проблемы. Дело все в том, что вопрос: "Как найти сторону прямоугольного треугольника?" - затрагивает не только понятия синуса и косинуса, а еще и тангенсов углов. Таким образом, вычисления становятся намного сложнее и больше. Итак, сначала обозначим два катета нарисованного прямоугольного треугольника через a и b. Углы, лежащие напротив этих сторон, как и принято было прежде, назовем "альфа" и "бета" соответственно. Нашей гипотенузой будет служить сторона c. Угол, лежащий против него, нам не понадобится - он будет прямым. Вариантов вычислений тут несколько. Первый называется классическим. Для катета a формулы выглядит как: a=c*cos"бета"=c*sin"альфа"=b*tg"альфа". Сторону b найдем аналогичным способом: b=c*cos"альфа"=c*sin"бета"=a*tg"бета". Тогда наша гипотенуза находится при помощи: c=a/sin"альфа"=a/cos"бета" или c=b/cos"альфа"=b/sin"бета". Второй, более простой и привычный метод нахождения сторон прямоугольного треугольника - по теореме Пифагора. Она гласит: сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы. Значит, будем иметь следующее: a=(c*c-b*b)^(1/2), b=(c*c-a*a)^(1/2), c=(b*b+a*a)^(1/2). Вот простой и незамысловатый ответ на вопрос, как найти сторону треугольника. Не пугайтесь огромных вычислений.

Итоги

Итак, сегодня мы разобрались, как найти сторону треугольника, и выучили много новых формул. Для того чтобы лучше их запомнить, запишите их на какую-нибудь бумажку, по которой потом будет проще учить все наизусть. Не стоит пугаться "страшных" цифр и больших вычислений. Все проще, чем кажется.

www.syl.ru

Найти третью сторону треугольника | Треугольники

Задача.

Две стороны треугольника равны 9 см и 21 см, а угол напротив большей из них равен 120 градусов. Найти третью сторону треугольника.

Дано:

∆ ABC,

∠A=120º,

BC=21 см,

AC=9 см.  

Найти:  AB

Решение:

Пусть AB=x см.

В треугольнике ABC по теореме косинусов

   

(теорему косинусов применяем к стороне BC, поскольку именно напротив нее есть угол).

   

Так как косинус 120 градусов равен — 1/2, то

   

   

   

   

Второй корень не подходит по смыслу задачи (сторона треугольника не может быть равной отрицательному числу).

Поэтому AB=15 см.

Ответ: 15 см.

Задачи на теорему косинусов

www.treugolniki.ru

Как найти длину третьей стороны треугольника?

Задачами по решению треугольников (именно так называются подобные задачи) занимается особый раздел геометрии – тригонометрия.

По длине двух сторон треугольника

Найти длину третьей стороны треугольника прямоугольного предложил известный всем древнейший математик Пифагор. За основу берется прямоугольный треугольник, то есть такой, в котором один из углов равен 90 градусам. Прилегающие стороны к данному углу всегда обозначаются как катеты, соответственно, третья, самая большая  сторона, получила название "гипотенуза". Теорема Пифагора звучит следующим образом: «квадрат длины гипотенузы равняется сумме квадратов длин катетов».

Для решения такой задачи, значение длины одного катета обозначаем как Х (икс), а другого – Y (игрек), длину гипотенузы можно обозначить как Z (зет). Теперь запишем формулу вычисления длины гипотенузы: Z в квадрате= X в квадрате+Y в квадрате. Исходя из такой формулы, в итоге получаем значение квадрата длины гипотенузы. Значит, для получения значения длины гипотенузы нужно еще извлекать квадратный корень из полученной суммы длин катетов.

Ранее мы рассмотрели идеальный вариант, когда нужно определить длину гипотенузы. Если же в задаче неизвестна длина одного из катетов, то, опираясь на указанную теорему, можно вывести производную формулу. Квадрат длины одного из катетов равен значению, полученному при вычитании квадрата длины другого катета из квадрата длины гипотенузы: Х в квадрате = Z в квадрате - Y в квадрате. Ну и последним действием идет обязательно извлечение квадратного корня из полученного значения.

Для примера возьмем простые значения длины катетов: 2 и 3 сантиметра. Путем простых математических операций получаем Z в квадрате = 4 + 9 = 13. Значит, Z примерно равен 3,6 сантиметрам. Если же исключить возведение значений в квадрат, то получится, что Z=2+3=5 сантиметров, что не соответствует истине.

По длине двух сторон и по значению угла между ними

Найти длину третьей стороны треугольника можно, воспользовавшись теоремой косинусов. Данная геометрическая теорема звучит следующим образом: квадрат одной из сторон треугольника равен значению, получаемому при вычитании удвоенного произведения длины известных сторон и косинуса угла, который расположен между ними, из суммы квадратов длины известных сторон.

В математическом виде такая формула выглядит следующим образом: Z в квадрате=X²+Y²-2*X*Y*cosC. Здесь X, Y, Z обозначают длину всех сторон треугольника, а С – значение в градусах угла, который расположен между известными сторонами. 

Для примера используем треугольник, известные с

elhow.ru

Как найти длину стороны треугольника

Треугольник – это фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков соединяющих эти точки попарно. Точки называются вершинами (обозначаются заглавными буквами), а отрезки сторонами (обозначаются малыми буквами) треугольника. Различают следующие типы треугольников: остроугольный треугольник (все три угла острые), тупоугольный треугольник (один из углов тупой), прямоугольный треугольник (один из углов прямой), равнобедренный (две его стороны равны), равносторонний (все его стороны равны). Найти сторону треугольника можно разными способами, но это всегда будет зависеть от типа треугольника и исходных данных.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти длину стороны треугольника" Как найти длину стороны в равнобедренном треугольнике Как найти длину стороны треугольника по координатам Как найти углы треугольника по длинам его сторон

Инструкция

1

Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике:Пусть ABC – прямоугольный треугольник, угол С – прямой, углы A и B – острые. Тогда согласно определению косинуса: косинус угла A равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB. Синусом угла А называется отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB. Тангенсом угла А называется отношение противолежащего катета BC к прилежащему AC.

Из данных определений получаем следующие соотношения:Катет, противолежащий углу А, равен произведению гипотенузы на синус А, или равен произведению второго катета на тангенс А;Катет, прилежащий к углу А, равен произведению гипотенузы на косинус А;В прямоугольном треугольнике любая из сторон может быть вычислена по теореме Пифагора, если известны две другие. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

2

Соотношение сторон в произвольном треугольнике:Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Как просто

masterotvetov.com

Как найти сторону треугольника

Сторона треугольника – это прямая, ограниченная его вершинами. Всего их у фигуры три, это число определяет количество практически всех графических характеристик: угла, медианы, биссектрисы и т.д. Чтобы найти сторону треугольника, следует внимательно изучить начальные условия задачи и определить, какие из них могут стать основными или промежуточными величинами для расчета.

Инструкция

  • Стороны треугольника, как и других многоугольников, имеют собственные названия: боковые стороны, основание, а также гипотенуза и катеты у фигуры с прямым углом. Это облегчает расчеты и формулы, делая их более очевидными даже если треугольник произвольный. Фигура графическая, поэтому ее всегда можно расположить так, чтобы сделать решение задачи более наглядным.
  • Стороны любого треугольника связаны между собой и другими его характеристиками различными соотношениями, которые помогают вычислить требуемую величину в одно или несколько действий. При этом чем сложнее задача, тем длиннее последовательность шагов.
  • Решение упрощается, если треугольник стандартный: слова «прямоугольный», «равнобедренный», «равносторонний» сразу выделяют определенную взаимосвязь между его сторонами и углами.
  • Длины сторон в прямоугольном треугольнике связаны между собой теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. А углы, в свою очередь, связаны со сторонами теоремой синусов. Она утверждает равенство отношений между длинами сторон и тригонометрической функцией sin противолежащего угла. Впрочем, это верно для любого треугольника.
  • Две стороны равнобедренного треугольника равны между собой. Если их длина известна, вполне достаточно еще только одной величины, чтобы найти третью. Например, пусть известна высота, проведенная к ней. Этот отрезок делит третью сторону на две равные части и выделяет два прямоугольных треугольниках. Рассмотрев один из них, по теореме Пифагора найдите катет и умножьте на 2. Это и будет длина неизвестной стороны.
  • Сторону треугольника можно найти через другие стороны, углы, длины высоты, медианы, биссектрисы, величину периметра, площади, радиус вписанной окружности и т.д. Если нельзя сразу применить одну формулу, то произведите ряд промежуточных вычислений.
  • Рассмотрите пример: найдите сторону произвольного треугольника, зная медиану ma=5, проведенную к ней, и длины двух других медиан mb=7 и mc=8.
  • РешениеЗадача предполагает использование формул для медианы. Найти нужно сторону а. Очевидно, следует составить три уравнения с тремя неизвестными.
  • Запишите формулы для всех медиан:ma = 1/2•√(2•(b² + c²) – a²) = 5;mb = 1/2•√(2•(a² + c²) – b²) = 7;mc = 1/2•√(2•(a² + b²) – c²) = 8.
  • Выразите c² из третьего уравнения и подставьте ее во второе:c² = 256 – 2•a² – 2•b² b² = 20 → c² = 216 – a².
  • Возведите обе стороны первого уравнения в квадрат и найдите a, введя выраженные величины:25 = 1/4•(2•20 + 2•(216 – a²) – a²) → a ≈ 11,1.

completerepair.ru

Как найти сторону треугольника, зная две стороны

Треугольник составляют три отрезка, соединенных своими крайними точками. Нахождение длины одного из этих отрезков - сторон треугольника - очень распространенная задача. Знания лишь длин двух сторон фигуры недостаточно для вычисления длины третьей, для этого необходим еще один параметр. Это может быть величина угла в одной из вершин фигуры, ее площадь, периметр, радиус вписанной или описанной окружностей и т. д.

Инструкция

  • Если известно, что треугольник является прямоугольным, это дает вам знание величины одного из углов, т.е. недостающего для расчетов третьего параметра. Искомая сторона (C) может быть гипотенузой - стороной, лежащей напротив прямого угла. Тогда для ее вычисления извлеките квадратный корень и возведенных в квадрат и сложенных длин двух других сторон (A и B) этой фигуры: C=√(A²+B²). Если же искомая сторона является катетом, квадратный корень извлекайте из разности между квадратами длин большей (гипотенузы) и меньшей (второго катета) сторон: C=√(A²-B²). Эти формулы вытекают из теоремы Пифагора.
  • Знание в качестве третьего параметра периметра треугольника (P) сводит задачу вычисления длины недостающей стороны (С) к простейшей операции вычитания - отнимите от периметра длины обеих (A и B) известных сторон фигуры: C=P-A-B. Эта формула следует из определения периметра, который является длиной ломаной линии, ограничивающей площадь фигуры.
  • Наличие в исходных условиях величины угла (γ) между сторонами (A и B) известной длины потребует для нахождения длины третьей (С) вычисления тригонометрической функции. Возведите обе длины сторон в квадрат и сложите результаты. Затем из полученного значения вычтите произведение их же длин на косинус известного угла, а в завершение извлеките из полученной величины квадратный корень: С = √(A²+B²-A*B*cos(γ)). Теорема, которую вы использовали в расчетах, называется теоремой синусов.
  • Известная площадь треугольника (S) потребует использования трех формул. Первая определяет площадь, как половину произведения длины известных сторон (A и B) на синус угла между ними. Выразите из нее синус угла, и вы получите выражение 2*S/(A*B). Вторая формула позволит выразить косинус того же угла: так как сумма квадратов синуса и косинуса одинакового угла равна единице, косинус равен корню из разницы между единицей и квадратом полученного ранее выражения: √(1-(2*S/(A*B))²). Третья формула - теорема косинусов - была использована в предыдущем шаге, замените в ней косинус полученным выражением и вы будете иметь такую формулу для расчета: С = √(A²+B²-A*B*√(1-(2*S/(A*B))²)).

completerepair.ru