Радиус окружности, описанной около правильного треугольника. Нахождение радиуса окружности описанной около треугольника


Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

Формула I (следствие из теоремы синусов)

   

 

То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

В общем виде эту формулу записывают так:

   

 

Формула II.

   

в общем виде —

   

То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

Если площадь треугольника находить по формуле Герона

   

где p — полупериметр,

   

то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

   

Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

 

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Формула:

   

То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

   

 

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Формула:

   

Если без иррациональности в знаменателе, то

   

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

   

www.treugolniki.ru

Радиус описанной окружности | Треугольники

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Радиус описанной окружности для произвольного треугольника

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

   

   

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

Центр описанной окружности лежит:

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

   

 

 

Окружность, описанная около многоугольника

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности  находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

 

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

   

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

   

Если без иррациональности в знаменателе —

   

У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

   

 

Радиус описанной окружности квадрата

Формула радиуса описанной окружности для квадрата

   

Если без иррациональности в знаменателе —

   

 

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

   

www.treugolniki.ru

Все формулы для радиуса описанной окружности

 

 ,  ,     -  стороны треугольника

  - полупериметр

  - центр окружности

 

Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R  ) :

 

 

 

- сторона треугольника

- высота

- радиус описанной окружности

 

 

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

 

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

 

 

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

 

a, b - стороны треугольника

 

 

 

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

 

 

 

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

 

a, b - катеты прямоугольного треугольника

c - гипотенуза

 

 

 

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

 

 

 

 

a - боковые стороны трапеции

c - нижнее основание

b - верхнее основание

d - диагональ

p - полупериметр треугольника DBC

p = (a+d+c)/2

 

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

 

 

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

 

 

a - сторона квадрата

d - диагональ

 

 

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

 

 

 

 

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

 

 

a, b - стороны прямоугольника

d - диагональ

 

 

 

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

 

 

 

 

 

a - сторона многоугольника

N - количество сторон многоугольника

 

 

 

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

 

 

 

 

 

 

a - сторона шестиугольника

d - диагональ шестиугольника

 

 

 

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

 

Радиус описанной окружности

Наверх

© 2011-2018   Все права защищены.

При использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник.

www-formula.ru

Радиус вписанной и описанной окружности: полезные формулы. Задание С4

В этой статье я хочу привести несколько полезных формул, которые помогают легко найти радиус вписанной и описанной окружности, и показать решение задачи из задания С4 с использованием этих формул.

1. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

 . где , r - радиус вписанной окружности.

Отсюда: 

То есть радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.

Для прямоугольного треугольника , , тогда

где и - катеты треугольника, а - гипотенуза.

2. Площадь треугольника равна отношению произведения его сторон к учетверенному радиусу описанной окружности:

Отсюда:

Радиус  окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон треугольника к его учетверенной площади.

3. По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности:

Отсюда:

Радиус  окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла.

Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОРЕШЕНИЕ задачи:

Угол при основании равнобедренного треугольника  равен . Найдите отношение радиуса вписанной в этот треугольник окружности к радиусу описанной окружности:

 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Определение и формулы окружности, описанной около правильного треугольника

Радиус описанной окружности для любого треугольника вычисляется по формуле

   

где – стороны треугольника, а – его площадь.

Рассмотрим правильный треугольник, у которого все стороны равны между собой. Тогда радиус окружности, описанной около этого треугольника, будет равен

   

или

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Свойства окружности описанной около треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью.

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Свойства окружности, описанной около треугольника

  1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
  2. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
  3. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон треугольника к его учетверенной площади:

       

  4. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла

       

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как найти радиус окружности описанной около треугольника

Для вычисления длины радиуса окружности, которая описана вокруг некоторого произвольного треугольника, существует две формулы, которые мы рассмотрим.Если Вам попался случай прямоугольного или правильного треугольника, то существует еще несколько формул.

  1. Окружность описана вокруг произвольного треугольника.

Первый вариант:Данная формула является следствием из теоремы синусов:

   

В таком случае радиус равен длине стороны треугольника поделенной на два синуса угла, который противолежит данной стороне.

Второй вариант:Радиус равен произведению всех сторон треугольника поделенному на четыре площади этого треугольника:

   

Можно получить расширенную формулу, если площадь треугольника будет вычисляться по формуле Герона:

   

Здесь — полупериметр данного треугольника.Таким образом, получилась формула радиуса через три стороны треугольника.

  1. Окружность описана вокруг прямоугольного треугольника

Радиус равен половине гипотенузы:

   

  1. Окружность описана вокруг правильного (равностороннего) треугольника

Радиус равен стороне, разделенной на корень из числа 3:

   

ru.solverbook.com