Сопряжение дуг окружностей дугой окружности. Нахождение центра окружности дуги


Определение центра окружности и центра дуги окружности

Взаимное пересечение перпендикуляров, восставленных в середине каждой хорды, определяет центр окружности (точку О). На фиг. 9,6 показано нахождение центра дуги окружности (построение аналогично предыдущему).

Выпрямление дуги окружности

Определение длины 1 дуги АВ окружности (приближенный способ, фиг. 10).

Через хорду АВ проводят перпендикуляр (фиг. 10,а), пересекающий дугу в точке К. Из точек С и D, как из центров, радиусами г, равными d— диаметру окружности, проводят две дуги до взаимного их  пересечения в точке 01.

Расстояние между точками пересечения лучей 01А и O1B с касательной, проведенной к окружности в точке К, определяет приближенное значение спрямленной дуги (отрезок А1В1).

Расстояние между точками С1 и D1 определяет приближенную длину полуокружности. При отсутствии центра окружности

длина дуги АВ (фиг. 10,6) может быть определена следующим путем: хорду А В делят на четыре равные части; одну четвертую часть откладывают от точки В на дуге АВ; полученную точку С соединяют с точкой деления 1. Отрезок 1—С равен половине длины дуги АВ; CD — приближенное значение длины всей дуги АВ.

Определение  длины  окружности. Длину окружности определяют по формуле l=П*D, где l — длина окружности, П = 3,14159, a D—диаметр окружности. На фиг. 11,а показана длина l окружности диаметра D.

Графически длина окружности приближенно может быть определена путем суммирования длины двух сторон аз равностороннего треугольника и двух сторон а\ квадрата, вписанных в окружность, как это показано на фиг. 11,6 (2аз + 2а4). Точность определения — 0,01. На фиг. 11,в длина окружности определена следующим способом: из центра О под углом 30° проводят прямую до пересечения ее в точке А с касательной к окружности; от точки А откладывают отрезок АВ, равный трем радиусам R; из точки В, как из центра, радиусом ВМ проводят дугу окружности до пересечения с касательной прямой в точках С и D. Отрезок CD будет равен длине окружности. Точность определения — 0,0001.

Определение приближенной длины очерка эллипса (фиг.  12). Для определения длины очерка эллипса ACBD соединяют точки А  и С и из центра О радиусом, равным АС, засекают на осях эллипса точки М и N. Измерив длину отрезка MN, умножают ее на 3,14 и получают приближенную длину  очерка  эллипса   (l = 3,14*MN).

www.cad-project.ru

Деление окружности. Построение правильных многоугольников. Нахождение центра дуги окружности: Агентство веб дизайна

Деление окружности. Построение правильных многоугольников. Нахождение центра дуги окружности. Окружность можно построить как по заданному радиусу и центру, так и по трем точкам, принадлежащим окружности. На рис. 22 показано, как найти центр окружности, проведенной через точки А, В и С.

Центр окружности — точка О—будет в пересечении перпендикуляров к хордам АВ и ВС, проведенных через середины этих хорд.

Деление окружности на три и шесть равных частей и построение вписанных в окружность правильных треугольника и шестиугольника показано на рис. 23, а. На шесть равных частей делит окружность радиус данной окружности. Если 1/6 часть дуги окружности разделить пополам, получим 1/12 дуги окружности и можно построить правильный двенадцатиугольник, см. деление дуги 4 — 5 на рис. 23, а. На 12 равных частей окружность можно разделить также путем деления на три равные части каждого прямого угла в окружности так, как это показано на рис. 19,6.

На четыре равные части окружность делят два взаимно перпендикулярных диаметра. Приемом деления прямого угла пополам можно разделить окружность на восемь равных частей.

Деление окружности на пять равных частей, и построение правильного вписанного пятиугольника показано на рис. 23,6. Для этого через центр окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Из середины отрезка ОВ точки Е проводят дугу радиусом ЕС до пересечения в точке N с диаметром АВ. Полученный отрезок CN равен стороне вписанного в окружность правильного пятиугольника. Отрезок CN разделит окружность на пять равных частей.

Делением каждой пятой части окружности пополам можно разделить окружность на десять равных частей и построить вписанный десятиугольник (рис. 23,6).

С помощью таблицы хорд (табл. 5) можно разделить окружность на любое число равных частей.

Таблица 5
Таблица хорд
Число делений окружности 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Коэффициент 0,866 0,707 0,587 0,500 0,434 0,383 0,342 0,309 0,282
Число делений окружности 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Коэффициент 0,259 0,239 0,223 0,208 0,195 0,184 0,174 0,165 0,156

Длину хорды, делящей окружность на заданное число частей, определяют путем умножения диаметра окружности на коэффициент, соответствующий заданному числу делений.

Например, чтобы разделить на 16 частей окружность диаметром 30 мм, находят по табл. 5 коэффициент 0,195, соответствующий числу делений окружности 16. Длина хорды (стороны шестнадцати угольника, вписанного в окружность) будет равна 30 х 0,195 = 5,85 мм.

parasolya.com

Окружность. Длина окружности. Касательная, дуга

Общие определения

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Для любой точки L, лежащей на окружности, действует равенство OL=R. (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D). Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга: S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD. Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

  1. Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
  2. Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N, то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N, равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ}.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left ( \cup DmC + \cup AlB \right )

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left ( \cup DmC - \cup AlB \right )

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr,

где:

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p},

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ}.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

где:

a, b, c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

academyege.ru

Нахождение - центр - окружность

Нахождение - центр - окружность

Cтраница 1

Нахождение центров окружностей производится при помощи центро-искателей или же путем геометрических построений - засечками от окружности в трех или четырех точках с дальнейшим уточнением центровой точки на глаз.  [1]

При нахождении центра окружности, проходящей через три заданные точки, соединяют эти точки ломаной прямой ABC ( черт. Через середины прямых АВ и ВС проводят перпендикуляры.  [3]

При нахождении центра окружности, касающейся заданной прямой в точке С, проводят через эту точку перпендикуляр к прямой и откладывают на нем величину радиуса заданной окружности.  [4]

При нахождении центра окружности, проходящей через три заданные точки, соединяют эти точки ломаной прямой ABC ( черт. Через середины прямых АВ и ВС проводят перпендикуляры.  [5]

При нахождении центра окружности, касающейся заданной прямой в точке С, проводят через эту точку перпендикуляр к прямой и откладывают на нем величину радиуса заданной окружности.  [6]

При нахождении центра окружности заданной дуги на дуге выбираются три произвольные точки и дальнейшее построение выполняется аналогично.  [7]

Задача сводится к нахождению центра окружности, проходящей через три заданные точки.  [9]

При разметке крупных деталей для нахождения центра окружности применяют штангенциркули соответствующих размеров, которыми пользуются так же, как и циркулем-центроискателем.  [11]

Более просто и точнее работа по нахождению центра окружности производится при применении несложных специальных инструментов, называемых центр () искателям и. В зависимости от назначения центроискатели разделяются на две группы: 1) для нахождения центра на торце вала и 2) для нахождения центра обработанного отверстия.  [12]

Проведение окружности или дуги через три заданные точки, связанное с нахождением центра окружности, может быть произведено указанным способом при помощи построений, приведенных на фиг. Три заданные точки А, В и С накернивают и проводят прямые АВ и ВС.  [13]

Из изложенного следует, что если заданы хорда и вписанный угол i, то для нахождения центра окружности необходимо: 1) восставить перпендикуляр к середине хорды; 2) под углом ф к продолжению хорды провести прямую, которая будет являться касательной к окружности; 3) восставить перпендикуляр к касательной; пересечение перпендикуляра к хорде и перпендикуляра к касательной даст центр окружности.  [14]

Из изложенного следует, что если заданы хорда и вписанный угол тр, то для нахождения центра окружности необходимо: 1) восставить перпендикуляр к середине хорды; 2) под углом тр к продолжению хорды провести прямую, которая будет являться касательной, к окружности; 3) восставить перпендикуляр к касательной; пересечение перпендикуляра к хорде и перпендикуляра к касательной даст центр окружности.  [15]

Страницы:      1    2

www.ngpedia.ru

Нахождение дуги окружности — «Шпаргалка ЕГЭ»

Угол ACO равен , где О — центр окружности. Его сторона CA —  касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. 

Решение задачи

Данный урок показывает решение типовой геометрической задачи В8, которым целесообразно воспользоваться учащимися при подготовке к ЕГЭ по математике.

В ходе решения задачи рассматриваются такие понятия как касательная, дуга, центральный угол и радиус окружности, а также их свойства. Угол является центральным, так как это угол, вершина которого находится в центре окружности. Данный центральный угол опирается на искомую дугу . Таким образом, решение сводится к нахождению величины угла . Согласно определению, радиус окружности соединяет ее центр с любой точкой, лежащей на окружности. Следовательно, — радиус. Далее рассматривается касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Согласно свойству касательной она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, треугольник — прямоугольный. Учитывая, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , вычисляется величина угла , что и приводит к окончательному ответу.

shpargalkaege.ru

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности | Начертательная геометрия

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности могут быть выполнены: - когда расстояние между центрами O и O1 сопрягаемых дуг больше суммы их радиусов R и R1, т. е. A>R+R1; - когда расстояние между центрами O и O1 сопрягаемых дуг меньше суммы их радиусов R и R1, т. е. R+R1>A. Во всех случаях решение задачи сводится к нахождению центра сопряжения O2 и точек сопряжения C и B.

Построим сопряжение дуг окружностей дугой окружности когда A>R+R1

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности

Заданы дуги окружностей радиусов R и R1 и расстояние между их центрами OO1 = A и радиус сопряжения R2. Находим центр сопряжения O2: - из центра O проводим дугу радиуса R+R2; - из центра O1 проводим дугу радиуса R1+R2. Пересечение этих дуг определит центр сопряжения O2.

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности

Находим точки сопряжения C и B: - из точки O2 проводим прямые в центр O и O1; - находим на пересечении этих прямых с соответствующими дугами точки сопряжения C и B;

точки сопряжения C и B соединяем дугой радиуса R2.

Для случая когда R+R1>A

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности

построение выполняется аналогично

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности

Построим сопряжение дуг окружностей дугой окружности когда A>R+R1

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности

Заданы дуги окружностей радиусов R и R1 и расстояние между их центрами OO1 = A и радиус сопряжения R2. Находим центр сопряжения O2: - из центра O проводим дугу радиуса R2-R; - из центра O1 проводим дугу радиуса R2-R1. Пересечение этих дуг определит центр сопряжения O2.

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности

Находим точки сопряжения C и B: - из точки O2 проводим прямые в центр O и O1; - находим на пересечении этих прямых с соответствующими дугами точки сопряжения C и B;

точки сопряжения C и B соединяем дугой радиуса R2.

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности когда R+R1>A Заданы дуги окружностей радиусов R и R1 и расстояние между их центрами OO1 = A и радиус сопряжения R2

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности

Находим центр сопряжения O2: - из центра O проводим дугу радиуса R-R2; - из центра O1 проводим дугу радиуса R1-R2. Пересечение этих дуг определит центр сопряжения O2.

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности

Находим точки сопряжения C и B: - из точки O2 проводим прямые в центр O и O1; - находим на пересечении этих прямых с соответствующими дугами точки сопряжения C и B;

точки сопряжения C и B соединяем дугой радиуса R2

Применение приведенных выше примеров для построения сопряжений элементов рычага,

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности

для построения сопряжений окружностей диаметров 20 и 30 мм дугами AB и EC радиусов R60 и R35 соответственно.

Применение приведенных выше примеров для построения сопряжений элементов однорогого крюка,

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности

Заданы: фa40; b=24; h=36; d=25; d1=20; d2=16,4; d0=M20; l=60; l1=20; l2=30; R=6; R1=20; R2=20; R3=20; R4=15; R5=40; R6=45; R7=6,5; R8=2; c=2; f=4,5

Сопряжения крюка - это наиболее сложный пример на построение сопряжений. Вычерчивание крюка выполняем в следующем порядке: - проводим оси и вычерчиваем шейку крюка; - проводим из центра O1 пересечения осей основную окружность внутреннего очертания крюка. Радиус этой окружности равен a/2.; - находим центр O2 и проводим из него радиусом R3 основную дугу окружности внешнего очертания крюка. Для построения центра O2 проводим из центра O1 прямую n под углом 45 к осям и засекаем ее из точки N дугой окружности радиуса R3. Точка N удалена от центра O1 на расстояние h+a/2; - строим сопряжение внешней окружности правым прямолинейным контуром верхней части крюка. Сопрягаемая дуга имеет радиус R4. Центр сопряжения O3 и точки сопряжения K и M находим по общему правилу сопряжения дуги с прямой; - строим сопряжение внутренней окружности диаметра a с левым прямолинейным контуром верхней части крюка. Радиус сопряжения R4. Центр сопряжения O4 и точки сопряжения A и B определяются аналогично точкам O3, K и M; - строим очертания носка крюка. Пользуемся построениями приведенными на рисунках ... и ... . Находим центры O5, O6 и O7. Носок крюка должен касаться прямой e, проведенной на расстоянии m от горизонтальой оси крюка. Кроме того, зев крюка должен быть равен размеру O. Расстояние O измеряется по линии центров дуг O4O5, ограничивающих контур зева. Определяем центр O5 дуги радиуса R6. Для этого делаем две засечки: первую из центра O4 радиусом R5+R6+O; вторую - из центра O1 радиусом a/2+R6. Точка сопряжения E лежит на линии центров O1 - O5. Из центра O5 проводим дугу радиуса R6, начиная от точки E. Находим центр O7 дуги радиуса R7. Засекаем дугой радиуса R6-R7 из центра O5 и засекаем дугой радиуса R6-R7 из центра O6. Точка сопряжения C лежит на линии центров O5 - O7. Проводим из центра O7 дугу радиуса R7. Определяем центр O6 дуги радиса R6, сопрягающей носок крюка с внешним контуром крюка. Для этого делаем засечку из центра O2 радиусом R3+R6. Точки сопряжений T и P лежат на линии центров O6 - O7 и O6 - O2. Из центра O4 проводим дугу, соединяющую точки T и P.

+

ngeo.fxyz.ru