Логарифм - свойства, формулы, график. Как вывести число из логарифма


Логарифм. Как вычислить логарифм?

Логарифмом положительного числа \(c\) по основанию \(a\) \((a>0, a\neq1)\) называется показатель степени \(b\), в которую надо возвести основание \(a\), чтобы получить число \(c\) \((c>0)\), т.е.

\(a^{b}=c\)       \(\Leftrightarrow\)       \(\log_{a}{c}=b\)

Объясним проще. Например, \(\log_{2}{8}\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_{2}{8}=3\).

Примеры:

                 

\(\log_{5}{25}=2\)

         

т.к. \(5^{2}=25\)

\(\log_{3}{81}=4\)

 

т.к. \(3^{4}=81\)

 

\(\log_{2}\)\(\frac{1}{32}\)\(=-5\)

 

т.к. \(2^{-5}=\)\(\frac{1}{32}\)

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание - подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например, вычислите логарифм:  а) \(\log_{4}{16}\)     б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)     в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\)     г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)      д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому: 

\(\log_{4}{16}=2\)

б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac{1}{3}\)? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=-1\)

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень \(\frac{1}{2}\).

\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)

Пример: Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)

Решение:

\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\)

                              

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: \(\log_{a}{c}=b\)       \(\Leftrightarrow\)       \(a^{b}=c\)

\((4\sqrt{2})^{x}=8\)

 

Что связывает \(4\sqrt{2}\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: \(4=2^{2}\)         \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\)         \(8=2^{3}\)

\({(2^{2}\cdot2^{\frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}\)

 

Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) и \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\)

\(2^{\frac{5}{2}x}=2^{3}\)

 

Основания равны, переходим к равенству показателей

\(\frac{5x}{2}\)\(=3\)

Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{5}\)

\(x=1,2\)

Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ: \(\log_{4\sqrt{2}}{8}=1,2\)

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^{x}=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).

А теперь решите уравнение: \(3^{x}=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_{3}{8}\).

Хочу подчеркнуть, что \(\log_{3}{8}\), как и любой логарифм - это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714.....\)

Пример: Решите уравнение \(4^{5x-4}=10\)

Решение:

\(4^{5x-4}=10\)

                              

\(4^{5x-4}\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма: \(a^{b}=c\)       \(\Leftrightarrow\)       \(\log_{a}{c}=b\)

\(\log_{4}{10}=5x-4\)

 

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

\(5x-4=\log_{4}{10}\)

 

Перед нами линейное уравнение. Перенесем \(4\) вправо.

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. 

\(5x=\log_{4}{10}+4\)

 

Поделим уравнение на 5

\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ: \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание - число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) - некоторое число.

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\).

То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) - некоторое число.

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

   \(a^{\log_{a}{c}}=c\)   

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

если     \(a^{b}=c\),    то   \(\log_{a}{c}=b\)

То есть, \(b\) – это тоже самое, что \(\log_{a}{c}\). Тогда мы можем в формуле \(a^{b}=c\) написать \(\log_{a}{c}\) вместо \(b\). Получилось \(a^{\log_{a}{c}}=c\) – основное логарифмическое тождество.

Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример: Найдите значение выражения \(36^{\log_{6}{5}}\)

Решение:

\(36^{\log_{6}{5}}=\)

                              

Сразу пользоваться свойством \(a^{\log_{a}{c}}=c\) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что \(36=6^{2}\)

\(=(6^{2})^{\log_{6}{5}}=\)

 

Зная формулу \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение

\(=6^{2\cdot\log_{6}{5}}=6^{log_{6}{5}\cdot2}=(6^{log_{6}{5}})^{2}=\)

 

Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.

\(=5^{2}=25\)

     

Ответ готов.

Ответ: \(25\)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\). 

Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\)  . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается  

\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}...\)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}...\)

И с четверкой:

\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}...\)

И с минус единицей:

\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\)\(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\)\(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\)\(...\)

И с одной третьей:

\(\frac{1}{3}\)\(=\log_{2}{\sqrt[3]{2}}=\log_{3}{\sqrt[3]{3}}=\log_{4}{\sqrt[3]{4}}=\log_{5}{\sqrt[3]{5}}=\log_{6}{\sqrt[3]{6}}=\log_{7}{\sqrt[3]{7}}...\)

И так далее.

Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\):       \(a=\log_{b}{b^{a}}\)

Пример: Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

Решение:

\(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)\(=\)

          

Превращаем единицу в логарифм с основанием \(2\): \(1=\log_{2}{2}\)

\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{2}+\log_{2}{7}}\)\(=\)

 

Теперь пользуемся свойством логарифмов: \(\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}\)

\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{(2\cdot7)}}\)\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{14}}\)\(=\)

 

В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить.

\(=1\)

 

Ответ готов.

Ответ: \(1\)

Смотрите также:Логарифмические уравненияЛогарифмические неравенства

cos-cos.ru

Натуральный логарифм, функция ln x

Определение

Натуральный логарифм – это функция   y = ln x, обратная к экспоненте, x = e y, и являющаяся логарифмом по основанию числа е:   ln x = loge x.

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/x.

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:е ≅ 2,718281828459045...;.

График натурального логарифма ln x

График функции y = ln x.

График натурального логарифма (функции y = ln x) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x.

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция xa с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

 
Область определения 0 < x + ∞
Область значений – ∞ < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает
Нули, y = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 нет
+ ∞
– ∞

Значения ln x

ln 1 = 0

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм".

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента.

Если    ,   то   

Если    ,   то    .

Производная ln x

Производная натурального логарифма:.Производная натурального логарифма от модуля x:.Производная n-го порядка:.Вывод формул > > >

Интеграл

Интеграл вычисляется интегрированием по частям: . Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z: . Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ: . Используя свойства логарифма, имеем: . Или. Аргумент φ определен не однозначно. Если положить, где n – целое,то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 05-04-2014   Изменено: 20-03-2017

1cov-edu.ru

Вычисление логарифма числа онлайн | umath.ru

Онлайн калькулятор логарифмов

Калькулятор вычисляет логарифм числа онлайн. Можно вводить как десятичные дроби (в качестве разделителя для десятичных дробей можно использовать как точку, так и запятую), так и обычные (например, если нужно вычислить логарифм то в поле «число» можете смело писать 1/9).

Помните, что операция взятия логарифма определена только для положительных чисел, а основание логарифма должно быть положительным и не должно равняться единице.

Что такое логарифм числа?

Примеры

Пример 2. Вычислить Решение. Воспользуемся следующим свойством логарифмов:

   

Получаем:

   

Так как то

Как видите, всё очень просто!

Логарифм числа по основанию 10 называют десятичным и обозначают , а логарифм числа по основанию называют натуральным и обозначают .

Про свойства логарифмов читайте здесь.

umath.ru

Логарифмирование | Логарифмы

Логарифмирование — действие, заключающееся в нахождении логарифма числа или выражения.

Логарифмирование является одним из двух действий, обратных возведению в степень. Если

   

то

   

   

Методом логарифмирования могут быть решены некоторые логарифмические уравнения.

Решение уравнения логарифмированием схематически можно описать приблизительно так.

   

ОДЗ:

   

Логарифмируем обе части уравнения по основанию a:

   

(просто приписываем к обеим частям уравнения логарифм по основанию a. a — основание логарифма, стоящего в показателе степени).

Показатель степени выносим за знак логарифма:

   

Примеры решения уравнений методом логарифмирования.

   

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

   

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части находим значение логарифма:

   

(Обратите внимание: показатель степени — разность. Сумму и разность при вынесении за знак логарифма обязательно нужно взять в скобки).

Полученное уравнение решаем с помощью замены переменной.

Пусть

   

тогда

   

   

   

Обратная замена:

   

Эти простейшие логарифмические уравнения решаем по определению логарифма:

   

   

Ответ: 1; 27.

   

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

   

(Обратите внимание: произведение в правой части уравнения записываем в скобках).

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части от логарифма произведения переходим к сумме логарифмов:

   

   

Пусть

   

тогда

   

   

Возвращаемся к исходной переменной:

   

   

   

Ответ: 1/4; 8.

   

ОДЗ:

   

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

   

В левой части показатель степени выносим за знак логарифма. Логарифм в правой части вычисляем:

   

Замена

   

   

   

   

   

   

Обратная замена

   

   

   

Ответ:

   

   

ОЗД: x>0.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

   

Показатель степени вынесем за знак логарифма

   

Здесь сначала удобно раскрыть скобки

   

Замена

   

   

   

   

   

   

Ответ: 10; 0,1; 100; 0,01.

В следующий раз рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений, сводящихся к таким уравнениям.

www.logarifmy.ru

Если перед логарифмом стоит число

Если перед логарифмом стоит число, как можно преобразовать это выражение?

Если перед логарифмом стоит число, это число можно записать в показатель степени выражения под знаком логарифма:

   

(x>0).

Например,

   

   

   

   

Вместе с суммой логарифмов и разностью логарифмов это свойство часто встречается при упрощении выражений с логарифмами, при решении логарифмических уравнений, неравенств и их систем.

А как умножить число на логарифм в квадрате? В кубе?

Если число стоит перед n-й степенью логарифма, то в показатель степени можно записать корень n-й степени из этого числа (при условии, что такой корень существует):

   

В частности,

   

   

Например,

   

www.logarifmy.ru

Логарифм - свойства, формулы, график

Определение логарифма

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: .

График логарифма

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. Слева изображены графики функции y(x) = loga x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

 
Область определения 0 < x < + ∞ 0 < x < + ∞
Область значений – ∞ < y < + ∞ – ∞ < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает монотонно убывает
Нули, y = 0 x = 1 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 нет нет
+ ∞ – ∞
– ∞ + ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так: Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию числа е:   .

Десятичный логарифм – это логарифм по основанию числа 10:   .

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания

Логарифмирование – это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.

Потенцирование – это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательства основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции: Сделаем подстановки : Логарифмируем: Или

Докажем формулу замены основания.Поскольку логарифм по основанию a является обратной функцией к показательной функции по основанию a, то.Прологарифмируем по основанию c..Отсюда получаем формулу замены основания:.Полагая c = b, имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a.

Если    ,   то   

Если    ,   то   

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x:.Производная n-го порядка:.Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.;.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: . Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z: . Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ: . Тогда, используя свойства логарифма, имеем: . Или Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить, где n - целое,то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 26-03-2014   Изменено: 20-03-2017

1cov-edu.ru

Решение логарифмов. Свойства логарифмов.

Решение логарифмов подразумевает не только вычисления, но и преобразования, причем согласно определенным свойствам логарифмов. Рассмотрение свойств и решения логарифмов подразумевает, что вы уже знакомы с общими понятиями. Если вы не уверены, что верно понимаете понятие логарифм, то предварительно прочитайте статью "Логарифмы. Натуральный логарифм, десятичный логарифм." и освежите это в памяти.

Для рассмотрения решения логарифмов, используем основное выражение:

logab = c

Согласно определения логарифма:

ac = b

Теперь подставим сюда выражение с через логарифм:

a = b

Вот мы и вывели первое свойство логарифмов.

Пойдем дальше, используя элементарную логику.

Возьмем loga1. Для того, чтобы получить 1, надо а возвести в нулевую степень, т.е.

loga1 = 0 – это еще одно свойство логарифмов.

Аналогично получим:

logaа = 1

Остальные свойства логарифмов не будем выводить, их просто надо запомнить, потому как они очень пригодятся в решении логарифмов.

Получилась вот такая сводная таблица свойств логарифмов:

Свойства логарифмов

где х>0, y>0.

Попробуем применить некоторые свойства логарифмов на практике.

Примеры решения логарифмов

Пример.

Необходимо вычислить log123 + log124

И первый, и второй логарифмы ровно не считаются, поэтому выбираем подходящее свойство, им оказывается , только наоборот:

log123 + log124 = log12 (3*4) = log1212 = 1

Как видно, неудобоваримое выражение превратилось в чудное число 1.

Возьмем пример посложнее:

(log37 +2) *log633

log633 = log33 / log363

log33 = 1

log363 = log3(7*9) = log37 + log39 = log37 + log232 = log37 + 2*log33 = log37 + 2

тогда

log633 = 1/(log37 + 2)

подставляем в исходное выражение:

(log37 +2)* 1/(log37 + 2) = 1

Тоже получилась красивая 1.

Далее в статье "Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения" мы рассмотрим новые примеры решения логарифмов. Если по текущей статье остались какие то вопросы, пишите их в комментариях.

Спасибо за внимание.

Заметка: Летний языковой лагерь замечательная возможность выучить английский язык на каникулах.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru