Решение задач на совместную работу. Как решаются задачи на совместную работу


Решение задач на совместную работу

Типичные задачи на совместную работу в 6 классе

1) Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 6 часов. Один из них, работая самостоятельно, может выполнить эту работу за 15 часов. За сколько часов может выполнить эту работу другой рабочий?

В отличие от всех других типов задач, задачи на совместную работу начинаются с того, что всю работу (все задание, весь бассейн, все поле — то, о чем идет речь в задаче) принимаем за единицу. То есть объем работы в этом случае равен единице. Чтобы найти объем работы, надо производительность труда умножить на время работы. Соответственно, чтобы найти производительность труда (часть работы, выполненную за определенную единицу времени), надо объем работы разделить на время работы: Решение задач на совместную работу упрощается, если условие  оформить в виде таблицы.

Перейдем с решению нашей задачи.

Решение.

Примем всю работу за 1.

Чтобы найти производительность труда второго рабочего, из производительности труда совместной работы вычтем производительность труда первого рабочего:

   

Такую часть работы в 1 час выполняет второй рабочий.

Зная производительность труда второго рабочего и объем работы, можем найти время, за которое он может выполнить работу самостоятельно. Чтобы найти время работы, надо объем работы разделить на производительность труда:

   

Значит, второй рабочий, работая отдельно, может выполнить работу за 10 часов.

Ответ: за 10 часов.

2) Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

Решение.

Примем весь бассейн за 1.

Сначала найдем производительность труда совместной работы обеих труб за один час. Поскольку одна труба бассейн наполняет, а другая — опустошает, производительность совместной работы равна разности производительности первой и второй труб:

   

Теперь найдем время, за которое бассейн будет наполнен при открытии обеих труб одновременно. Чтобы найти время работы, надо объем работы разделить на производительность труда:

   

Таким образом, за 56 часов совместной работы обеих труб бассейн будет наполнен.

Ответ: за 56 часов.

www.for6cl.uznateshe.ru

Задачи на совместную работу: примеры и решение

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о совместном выполнении некоторой работы. При этом всё равно, какую работу выполняют и чем эту работу измеряют – числом деталей, количеством вспаханных гектаров и т. п. Если, например, некоторая работа выполняется за 10 часов, то за 1 ч, очевидно, выполняется всей работы, а вся работа составляет десять таких частей . Поэтому обычно в таких задачах всю работу принято считать равной единице, объём выполненной работы выражают как часть этой единицы.

Задача 1. Первая бригада может выполнить задание за 36 ч, а вторая бригада может выполнить то же задание за 18 ч. За сколько часов это задание выполнят две бригады при совместной работе?

Решение: примем всю работу за единицу, тогда за 1 ч первая бригада выполняет , а вторая всей работы. При совместной работе за 1 ч две бригады выполняют всей работы, поэтому всю работу они выполнят за

Ответ: при совместной работе бригады выполнят задание за 12 часов.

Под совместной работой можно понимать и одновременную работу двух труб при наполнении бассейна, и прохождение некоторого пути при движении навстречу друг другу и т. п. Метод решения остаётся тем же.

Задача 2. Расстояние между двумя сёлами пешеход проходит за 60 мин, а велосипедист проезжает за 20 мин. Через сколько минут они встретятся, если отправятся одновременно навстречу друг другу из этих сёл?

Решение: примем расстояние между сёлами за единицу.

– проходит пешеход за 1 мин.

– проезжает велосипедист за 1 мин.

– такую часть расстояния они проходят за 1 мин при движении навстречу друг другу

– время движения до встречи

Ответ: они встретятся через 15 минут.

Задача 3. Два печника сложили печь за 16 ч. Известно, что первый из них, работая один, сложил бы печь за 24 ч. За сколько часов второй печник, работая один, сложил бы ту же печь?

Решение: примем объём всей работы за 1.

– выполняют два печника за 1 час, работая вместе

– выполняет первый печник за 1 час, работая один

– выполняет второй печник за 1 час, работая один

– за столько времени сложил бы печь второй печник

Ответ: второй печник, работая один, сложил бы печь за 48 часов.

Задача 4. Из пунктов A и B одновременно вышли два пешехода. Они встретились через 40 минут после своего выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в B. Через сколько минут после своего выхода из B второй пришёл в A?

Решение: примем расстояние между пунктами A и B за единицу.

– такую часть расстояния проходят два пешехода за 1 мин при движении навстречу друг другу

2) 40 + 32 = 72 (мин) – время первого пешехода за весь путь

– проходит первый пешеход за 1 мин

– проходит второй пешеход за 1 мин

– время второго пешехода за весь путь

Ответ: через 90 минут после своего выхода из B второй пешеход пришёл в A.

naobumium.info

Решение задач на совместную работу. Задание В13

Решение задач на совместную работу. Задание 11

Задачи на работу делятся на два типа:

  • задачи, в которых  выполняется раздельная работа - эти задачи решаются аналогично задачам на движение.
  • задачи на совместную работу.

Если в задаче встречаются слова "выполнили работу вместе" или слова "совместная работа", значит это задача на совместную работу.

В этой статье я подробно остановлюсь на алгоритме решения задач на совместную работу.

1. В задачах на совместную работу мы имеем дело с теми же тремя параметрами, что и в задачах на раздельную работу:

  • объем работы,
  • время,
  • производительность,

которые связаны между собой формулой:

объем работы=производительность время.

2. Объем работы, если он не указан отдельно, принимаем равным 1.

3. Вводим два неизвестных:

х - время выполнения всей работы кем-то (или  чем-то) первым

y - время выполнения всей работы кем-то (или  чем-то) вторым.

(В некоторых задачах "выгоднее" принять за неизвестные производительность)

Тогда

- производительность кого-то (или чего-то) первого

- производительность кого-то (или чего-то) первого

И в этом месте появляется параметр, которого не было в задачах на раздельную работу, а именно - совместная производительность

совместная производительность равна

Рассмотрим примеры решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

1. Задание 11 (№ 99617)

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Про Машу нам все известно: время её работы равно 20, следовательно, её производительность равна .

Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда её производительность равна .

Тогда совместная производительность равна 

Объем работы примем равным 1.

Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:

Решим его:

Ответ: 30

2. Классическая задача на совместную работу:

Задание 11 (№ 99619)

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

1. Введем неизвестные:

Пусть

х - время заполнения резервуара первой трубой

y - время заполнения резервуара второй трубой

- производительность первой трубы

- производительность второй трубы

- совместная производительность

2. Примем объем резервуара равным 1.

3. У нас 2 неизвестных, поэтому будем составлять систему из двух уравнений.

По условию задачи, первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, следовательно время работы первой трубы на 6 минут больше, чем второй:

Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты, следовательно, время совместной работы равно 4 минуты. Получаем второе уравнение системы:

Получили систему уравнений:

,  - не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 6

3. Предлагаю вам посмотреть  ВИДЕОУРОК, в котором я показываю решение такой задачи:

Задание 11 (№ 99616)

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

4. И, наконец, видеорешение такой задачи:Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй 16, а третий 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий - 11?

 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

ege-ok.ru

Задачи на совместную работу

Рассмотрим типичные задачи на совместную работу из курса алгебры 8-9 классов. Решение таких задач начинается с того, что принимаем всю работу за единицу.

Большинство задач на совместную работу можно решить с помощью дробного рационального уравнения.  Для решения более сложных задач составляют систему уравнений.

Как и другие задачи на работу, задачи на совместную работу связывают время работы, производительность труда и время работы соотношением:

Чаще всего за x принимают время работы, а производительность труда выражают через x.

1) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 20 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый из них, работая самостоятельно, если одному из них для этого надо на 9 дней больше, чем другому?

Решение:

Примем все задание за единицу. Пусть II рабочий, работая самостоятельно, может выполнить все задание за x дней, тогда I — за x+9 дней.

Время

работы

Производительность

труда

Объем

работы

I рабочий

x+9

1

II рабочий

x

   

1

 

Вместе за 1 день рабочие выполняют

   

задания. За 20 дней вместе они выполнят все задание. Составим уравнение:

   

   

   

   

   

   

   

   

Второй корень не подходит по смыслу задачи (так как время не может быть отрицательным числом). Значит, II рабочий, работая самостоятельно, может выполнить всю работу за 36 дней, а I — за 36+9=45 дней.

Ответ: за 45 дней и 36 дней.

И еще одна задача на совместную работу.

2) Один насос может наполнить бассейн на 24 часа быстрее, чем другой. Через 8 часов после того, как был включен второй насос, включили первый, и через 20 часов совместной работы оказалось, что заполнено 2/3 бассейна. За сколько часов может наполнить бассейн каждый насос, работая самостоятельно?

Решение:

Примем весь бассейн за 1. Пусть I насос, работая самостоятельно, может наполнить весь бассейн за x часов, тогда II — за x+24 часа.

Время

работы

Производительность

труда

Объем

работы

I насос

x

1

II насос

x+24

   

1

Известно, что II насос был включен 8+20=28 часов, а I — 20 часов, и за это время они наполнили 2/3 бассейна. Составим и решим уравнение:

   

Обе части уравнения делим почленно на 2 и переносим все слагаемые в левую часть:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Второй корень — посторонний. Значит, I насос может наполнить бассейн самостоятельно за 60 часов, а II — за 60+24=84 часа.

Ответ: за 60 часов и 84 часа.

 

www.uznateshe.ru

Задачи на совместную работу

Разделы: Математика

Научить решать опорные задачи, которые помогут “открыть” решение составных задач на совместную работу. Расширить представления учащихся о практике решения задач различными способами Дети учатся находить сначала указанную часть величины, а потом, увеличивая или уменьшая эту величину на найденную часть, построение схематического рисунка к условию задачи его использование при решении задачи, устанавливается соответствие между задачами на работу и аналогичными задачами на движение. Особенно сложен переход от дроби к числу, которое указывает на число часов работы, нахождения в пути и т. д. Необходимо больше уделять внимания опорным задачам, выстроить определенную цепочку рассуждений, научить связывать порознь усвоенные приемы решения, комбинировать их при поиске решений новых задач.

Цели урока:

  • Воспитательные:
    • вырабатывать умение преодолевать трудности,
    • стимулировать мотивацию и интерес к изучению математики,
    • приучать к эстетическому оформлению записи в тетради,
    • формировать умение выслушивать других.
  • Развивающие:
    • развивать логическое мышление сообразительность, познавательный интерес;
    • развивать умение контролировать свои действия;
    • обучение действию по аналогии;
    • развивать культуру математической речи;
    • вырабатывать умение общения.
  • Образовательные:
    • проверить, с помощью самостоятельной работы, навыки сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями;
    • познакомить с методом решения задач на совместную работу;
    • расширять кругозор учащихся;
    • научить использовать арифметический способ для решения задач на «совместную работу»;
    • стимулировать учащихся к овладению этим методом для решения других текстовых задач.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Постановка целей и задач урока

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения текстовых задач арифметическим способом; решение исторических задач и старинных способов их решения расширит представление о практике решения задач в старые времена.

3. Устная работа

1. Бассейн наполняется за 3 ч. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч?

Решение:

1: 3 = 1/3 часть бассейна наполнится за 1 час.

Ответ: 1/3

2. Работу выполнили за 5 часов. Какую часть работы выполняли в каждый час?

Решение:

1 : 5 = 1/5 часть работы выполняли каждый час.

Ответ: 1/5

3. В каждый час труба наполняет 1/12часть бассейна. За сколько часов она наполнит бассейн?

Решение:

1: 1/12 = 12 часов – время для наполнения бассейна.

Ответ: 12 часов.

4. Путник проходит в час 1/6 часть пути. За сколько часов он пройдет весь путь?

Решение:

1 : 1/6 = 6 часов затратит путник на весь путь.

Ответ: 6 ч.

5. В каждый час первая труба наполняет 1/4 бассейна, а вторая – 1/3 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 час совместной работы.

Решение:

1/4 + 1/3 = (3 + 4)/12 = 7/12 (часть бассейна) – наполняют обе трубы за 1 час

Ответ: 7/12

6. Два путника одновременно вышли навстречу друг другу и встретились через 3 часа. На какую часть первоначального расстояния они сближались в каждый час?

Решение:

1 : 3 = 1/3 часть расстояния соответствует сближению путников за час.

Ответ: 1/3.

4. Проверка домашнего задания

Учащиеся должны были придумать сами или подобрать из различных источников опорные задачи на совместную работу

5. «Открытие» детьми нового знания. Способы действия в новой ситуации

Учитель: Хорошо. Все успешно справились с предложенным заданием, а теперь прошу все внимание на доску. Мы начинаем изучать новую тему, которая называется «Задачи на совместную работу». Сегодня на уроке мы научимся решать новые задачи на совместную работу, опираясь на усвоенные методы решения опорных задач Хочу напомнить, что всю работу принято считать равной единице и при этом всё равно, какую работу выполняют и в чём её измеряют.

Решение старинной задачи всем классом. На экране вы видите текст одной из задач «Арифметики Магницкого», попробуйте ее решить. Какие будут варианты? (Дети высказывают свои варианты решения).

Лошадь съедает воз сена за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Решение:

1) Известно, что лошадь съедает воз сена за месяц. 2) 1 : 2 = 1/2 (воза) съедает за месяц коза. 3) 1 : 3 = 1/3 (воза) съедает за месяц овца. 4) 1 + 1/2 + 1/3 = (6 + 3 + 2)/6 = 11/6 (воза) съедает за месяц лошадь, коза и овца. 5) 1 : 11/6 = 1 · 6/11 = 6/11 (месяца) съедят воз сена лошадь, коза и овца.

Ответ: 6/11 (месяца).

А теперь посмотрите, как решалась эта задача в 17 веке.

Пусть лошадь, коза и овца едят сено 6 месяцев. Тогда лошадь съедает 6 возов, коза – 3, а овца – 2. Всего 11 возов, значит, в месяц они съедают 11/6 воза, а один воз съедят за 1 : 11/6 = 6/11 (месяца)

Приведенный способ решения задачи указывает на то, что авторы решения применяли такое рассуждение, видимо, потому, что не умели действовать с дробями.

Учитель: Продолжим изучение методов решения задач на совместную работу.

Задача 1.

В городе есть искусственный водоем. Одна из труб может заполнить его за 4 часа, вторая – за 8часов, а третья – за 24 часа. За сколько времени наполнится водоем, если открыть сразу три трубы?

Решение:

  1. 1 : 4 = 1/4 (водоема) – наполнится через первую трубу за час.
  2. 1 : 8 = 1/8 (водоема) – наполнится через вторую трубу за час.
  3. 1 : 24 = 1/24 (водоема) – наполнится через третью трубу за час.
  4. 1/4 + 1/8 + 1/24 = (6 + 3 + 1)/24 = 10/24 (водоема) – наполнится через три трубы за час.
  5. 1: 10/24 = 1· 24/10 = 12/5 = 2(ч)

Ответ: через три трубы, работающие одновременно, водоем наполнится за 2ч. Таким образом, при решении задач на совместную работу складывается не время работы, а часть работы, которую делают ее участники.

Итак, алгоритм. При решении задач на совместную работу вся выполненная работа принимается за единицу. а) Находим часть работы выполненной одним объектом за единицу времени (производительность Р1). (Р = 1/Т) б) Находим часть работы выполненной другим объектом за единицу времени (производительность Р2). в) Находим часть работы выполненной двумя и более объектами за единицу времени (производительность Р = Р1 + Р2). г) Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми участвующими объектами (Т = 1 : Р).

6. Первичное закрепление изученного материала

Устная работа

Задача. Маша принесла своим друзьям медведям торт. Известно, что старший медведь может съесть торт за два дня, средний медведь за три дня, а младший за шесть дней. За сколько дней три медведя вместе съедят торт?

Решение:

1 : 2 = 1/2 (часть торта) – съест старший медведь за 1 день 1 : 3 = 1/3 (часть торта) – съест средний медведь за 1 день 1 : 6 = 1/6 (часть торта) – съест младший медведь за 1 день 1/2 + 1/3 + 1/6 = (3 + 2 + 1)/6 = 1 (то есть один торт) – вместе три медведя съедят торт за 1 день

Ответ: за 1 день.

Кто быстрее всех решит верно, следующую задачу:

За пять недель пират Ерёма способен выпить бочку рома. А у пирата у Емели ушло б на это две недели. За сколько дней прикончат ром пираты, действуя вдвоём?

Учитель: Давайте теперь решим задачу следующего содержания

Задача 2.

Два пешехода вышли одновременно из двух поселков навстречу друг другу. Один пешеход может пройти весь путь за три часа, а другой – за 4ч. Через сколько времени они встретятся? Решение: Это тоже задача на «совместную работу», хотя, строго говоря, никто не работает. Но можно считать, что «работа» пешеходов – это прохождение пути. Поэтому весь путь принимаем за «единицу» и вычисляем часть пути, пройденную каждым пешеходом.

  1. 1:3 = 1/3 (расстояния) – проходит первый пешеход за один час.
  2. 1 :  4 = 1 : = 1 · = (расстояния) – проходит второй пешеход за один час.
  3. + = = (расстояния) – сближаются оба пешехода за час.
  4. 1 :  = 1 · = = 1(ч).

Ответ: пешеходы встретятся через 1ч.

5. Самостоятельное решение подобных задач по рядам с самопроверкой

Задача 3. Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе?

Решение:

Примем всю работу за единицу. 1 : 20 = 1/20 (часть всей работы) – выполнит первый ученик за 1 мин 1 : 30 = 1/30 ( часть всей работы) – выполнит второй ученик за 1 мин; 1/20 + 1/30 = 5/60 = 1/12 (часть всей работы) – выполнят при совместной работе два ученика за 1 мин 1 : 1/12 = 12 (мин) – выполнят всю работу два ученика

Ответ: 12 мин

Задача 4. Через первую трубу водоем можно наполнить за 5ч, а через вторую – за 6 ч. За сколько часов наполнится водоем при совместной работе этих труб?

Задача 5. Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 3 ч, а легковая – за 2 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

6. Работа с учебником по дифференцированным заданиям

№ 612, №613(1) для сильных учащихся № 614(1) и № 615(2).

7. Рефлексия деятельности

С помощью беседы обсудить с учащимися вопросы:

– Задачи, какого типа научились решать? – Что нового на уроке узнали? – Что научились делать? – Что находим первоначально при решении задач на совместную работу? – Где испытывали затруднения?

8. Домашнее задание.

№ 613(2),611Выучить алгоритм решения задач на совместную работу, повторить правила сложения и вычитания обыкновенных дробей Учащиеся должны придумать сами или подобрать из различных источников задачи на нахождение времени при совместной работе. Сообщить, что на следующем уроке будем решать задачи с более сложной формулировкой. Назвать оценки, которые получили учащиеся

Используемая литература

  1. Учебник Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон и др. «Математика 5».
  2. Методические рекомендации к учебнику «Математика5» Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон и др

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Решение задач на совместную работу.

Решение задач на совместную работу.

Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р – производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением

.

Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа.

Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,

у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.

Тогда  – производительность труда первого рабочего,

 – производительность труда второго рабочего.

 – совместная производительность труда.

 – время, за которое они выполнят задание, работая вместе.

Задача 1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 минут совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое время мог бы выполнить работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 час больше, чем первому.

Решение:

Пусть х – время работы первого по выполнению всей работы.

у – время работы второго рабочего.

По условию х=у–1, и первое уравнение составлено.

Пусть объем всей работы равен 1.

Тогда  – производительность труда первого рабочего,

 – производительность труда второго рабочего.

Так как они работали 45 мин.=3/4 часа совместно, то

 – объем работы, выполненной рабочими за 45 минут.

Так как второй рабочий работал один 2 часа 15 минут=2¼=9/4 часа, то

 – объем работы, выполненной вторым рабочим за 2 часа 15 минут.

По условию .

Таким образом, мы получили систему двух уравнений

Решим ее, для этого выражение для х из первого уравнения подставим во второе

    4у2–19у+12=0

 ч. и у2=4 ч.

Из двух значений для у выберем то, которое подходит по смыслу задачи у1=45 мин., но 45 мин. рабочие работали вместе, а потом второй рабочий работал еще отдельно, поэтому  не подходит по смыслу задачи. Для полученного у2=4 ч. найдем из первого уравнения первоначальной системы значение х

х=4–1=3 х=3 ч.

Ответ: первый рабочий выполнит работу за 3 часа, второй – за 4 часа.

Замечание: эту задачу можно было решить, не вводя вторую переменную у, а выразить время работы второго рабочего через х, тогда нужно было составить одно уравнение и решить его.

multiurok.ru

Как решать задачи на совместную работу

При таком подходе к решению задач на совместную работу у учеников начинаются сложности, связанные с непониманием смысла обозначения всей работы единицей, так как в реальной жизненной ситуации любая работа имеет некоторый объем, выраженный конкретным числом, обычно отличным от единицы. Условное принятие всей работы за 1 не способствует глубокому пониманию практического смысла задачи. Сомнение у детей вызывает и тот факт, что при этом производительность труда оказывается в их представлении дробным числом, меньшим единицы, потому что, как правило, время больше 1.

Чтобы избежать таких проблем при решении задач такого рода, можно предложить обозначить всю работу какой-либо постоянной А, отличной от 1. Тогда производительность будет равна А/t. Этот путь немного длиннее, но ребятам он более понятен, потому что выражает реальный смысл задачи. А в конце задачи введенная вспомогательная величина для работы уничтожится.

Покажем это на примере одной задачи, приведенной в книге В.С.Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа".

Задача 1. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая, производительность которой более высокая, чем у первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

Решение. 1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй - за y дней.2. Принимая работу за 1, ученики столкнутся со смысловой некорректностью, которая заключается в следующем: производительность труда первой бригады будет равна 1/х, а второй - 1/y. Возникает вопрос: в каких единицах измерить производительность? В дорогах на день? Очевидно нарушение физического смысла задачи. 3. Поэтому целесообразно обозначить всю работу (длину участка дороги) некоторой величиной А, измеряемой в километрах. Тогда производительность труда первой бригады равна А/х км/день, второй бригады - A/y км/день.4. Составляем уравнение А/х. 18 + А/y. 18 = А. В дальнейшем введенная величина А, как видно, сокращается, но она несет при решении задачи важную смысловую нагрузку.Окончательное решение задачи достаточно несложное, и приводить его нет необходимости.

Иногда такой же подход, то есть принятие чего-либо за единицу, используется для обозначения производительности труда.

Рассмотрим более подробно решение задачи, предложенной в учебном пособии для 10-го класса И.Ф.Шарыгина "Факультативный курс по математике: Решение задач".

Задача 2. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.

В указанном пособии предложено следующее решение задачи: неизвестные: х - количество землекопов первой бригады, y - второй бригады, t - время работы первой бригады. В этой задаче за 1 принимается производительность труда каждого землекопа.

Из условия задачи следует:xt = y(t + 1/2),xt = (x + 5)(t - 2).

Выражая t через x и y из одного уравнения и подставляя в другое, получим после упрощений:4x2 - 4xy + 20x - 25y = 0.

При этом x и y - натуральные числа. Выразим y через x:y = 4x2 + 20x/4x + 25 = x - 5/4 + 125/4(4x+25).

Умножив последнее равенство на 4, получим: 4y = 4x - 5+ 125/(4x+25).

Из того, что x и y - натуральные числа, следует, что 4x + 25 является делителем 125. Значит, 4x+25=125. Отсюда следует, что x=25, y=24.

Нужно заметить, что данная задача является нестандартной, и поэтому предложенный способ решения достаточно сложный для понимания всех школьников. Составленные уравнения, в которых количество землекопов умножается с временем, вызывают некоторое недоумение у детей, и учителю необходимо приложить большое усилие, чтобы объяснить им целесообразность таких действий.

Предложим другой способ решения этой задачи.1. Пусть объем всей работы (объем котлована) равен А куб.м.2. Количество землекопов в первой бригаде - x человек, во второй бригаде - y человек.3. Производительность труда одного землекопа равна B.4. Первая бригада за час выполнит Bx часть всей работы, а вторая бригада - By.5. Первая бригада потратит на всю работу A/Bx часов, вторая бригада - A/By часов.По условию A/By - A/Bx = 1/2. (1)6. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она на всю работу потратила бы A/B(x+5) часов. Получаем еще одно уравнение A/Bx - A/B(x+5) = 2. (2) Умножив обе части уравнения (1) на 4, приравняем левые части уравнений (1) и (2). Получим равенство 4A/By - 4A/Bx = A/Bx - A/B(x+5). Вспомогательные переменные A и B в этом уравнении сокращаются, и получим уравнение 4/y = 5/x - 1/x + 5, которое решим способом выделения целой части дроби и учитывая, что x и y натуральные числа.4/y = 5x + 25 - x/x(x + 5), 4/y = 4x + 25/x2 + 5x, y/4=x2 + 5x/4x + 25, y = 4(x2 + 5x)/4x + 25, y=4x2 + 25x-5x/4x + 25, y=x - 5x/4x + 25. Отсюда следует, что x=25, y=24.

При таком способе решения ученикам легко следить за ходом рассуждений, за составлением уравнений. Понятен им и физический смысл задачи, а это является важным моментом обучения детей решению задач, потому что если учащийся не поймет реальный смысл задачи, связь ее с практикой, то ему будет трудно понять и решение.

Кадыр Хабибуллин, кандидат педагогических наук, учитель математики и директор школы №12, Салават, Республика Башкортостан

www.ug.ru