Как решать С3. Урок 1. ЕГЭ по математике 2014. Метод интервалов. Как решаются дробные неравенства


Как решать неравенства? Как решать дробные и квадратные неравенства?

Понятие математического неравенства возникло в глубокой древности. Это произошло тогда, когда у первобытного человека появилась потребность при счёте и действиях с различными предметами сравнивать их количество и величину. Начиная с античных времён неравенствами пользовались в своих рассуждениях Архимед, Евклид и другие прославленные деятели науки: математики, астрономы, конструкторы и философы.

Но они, как правило, применяли в своих работах словесную терминологию. Впервые современные знаки для обозначения понятий «больше» и «меньше» в том виде, каком их сегодня знает каждый школьник, придумали и применили на практике в Англии. Оказал такую услугу потомкам математик Томас Гарриот. А случилось это около четырёх столетий назад.

Известно множество видов неравенств. Среди них простые, содержащие одну, две и больше переменных, квадратные, дробные, сложные соотношения и даже представленные системой выражений. А понять, как решать неравенства, лучше всего на различных примерах.

Не опоздать на поезд

Для начала представим себе, что житель сельской местности спешит на железнодорожную станцию, которая находится на расстоянии 20 км от его деревни. Чтобы не опоздать на поезд, отходящий в 11 часов, он должен вовремя выйти из дома. В котором часу это необходимо сделать, если скорость его движения составляет 5 км/ч? Решение этой практической задачи сводится к выполнению условий выражения: 5 (11 – Х) ≥ 20, где Х – время отправления.

Это понятно, ведь расстояние, которое необходимо преодолеть селянину до станции равно скорости движения, умноженной на количество часов в пути. Прийти раньше человек может, но вот опоздать ему никак нельзя. Зная, как решать неравенства, и применив свои умения на практике, в итоге получим Х ≤ 7, что и является ответом. Это значит, что селянину следует отправиться на железнодорожную станцию в семь утра или несколько ранее.

Числовые промежутки на координатной прямой

Теперь выясним, как отобразить описываемые соотношения на координатной прямой. Полученное выше неравенство не является строгим. Оно означает, что переменная может принимать значения меньше 7, а может быть равным этому числу. Приведём другие примеры. Для этого внимательно рассмотрим четыре рисунка, представленных ниже.

На первом из них можно увидеть графическое изображение промежутка [-7; 7]. Он состоит из множества чисел, размещённых на координатной прямой и находящихся между -7 и 7, включая границы. При этом точки на графике изображаются в виде закрашенных кругов, а запись промежутка производится с использованием квадратных скобок.

Второй рисунок является графическим представлением строгого неравенства. В данной случае пограничные числа -7 и 7, показанные выколотыми (не закрашенными) точками, не включаются в указанное множество. А запись самого промежутка производится в круглых скобках следующим образом: (-7; 7).

То есть, выяснив, как решать неравенства такого типа, и получив подобный ответ, можно заключить, что он состоит из чисел, находящихся между рассматриваемыми границами, кроме -7 и 7. Следующие два случая необходимо оценивать аналогичным образом. На третьем рисунке даются изображения промежутков (-∞; -7] U [7; +∞), а на четвёртом - (-∞; -7) U (7; +∞).

Два выражения в одном

Часто можно встретить следующую запись: 7 < 2Х – 3 < 12. Как решать двойные неравенства? Это значит, что на выражение налагаются сразу два условия. И каждое из них следует учитывать, чтобы получить правильный ответ для переменной Х. Приняв во внимание такое положение дел, получаем из соотношений 2Х – 3 > 7 и 2Х – 3 < 11 следующее:

5 < Х < 7. Окончательный ответ записывается таким образом: (5; 7). Это значит, что переменная принимает множество значений, заключённых в промежутке между числами 5 и 7, исключая границы.

Сходные свойства с уравнением

Уравнение представляет собой выражение, объединяемое знаком = , который означает, что обе части его (левая и правая) тождественны по величине. Поэтому часто подобные соотношения связывают с образом старинных весов, имеющих чаши, установленные и скрепляемые посредством рычага. Данное устройство всегда находится в равновесии, если оба конца наделены одинаковым весом. При этом положение не меняется, если левая и правая части дополняются или теряют грузы одинаковой массы.

В математическом уравнении к обеим частям равенства, чтобы оно не нарушилось, тоже можно прибавлять одно и то же число. При этом оно может быть положительным или отрицательным. Как решать неравенства в данном случае, и можно ли сделать с ними то же самое? Предыдущие примеры показали, что да.

Отличие от уравнения

Обе части выражения, соединённые знаками < или >, можно умножать и делить на любое положительное число. При этом истинность соотношения не нарушается. Но как решить неравенство с дробями отрицательными и целыми множителями, перед которыми стоит знак минус? Здесь дело обстоит совершенно иначе.

Разберём это на примере: -3Х < 12. Чтобы выделить переменную в левой части, приходится делить каждую из них на -3. При этом знак неравенства меняется на обратный. Получаем: Х > -4, что и является ответом поставленной задачи.

Метод интервалов

Неравенство называется квадратным в случае, если содержит переменную, возведённую во вторую степень. Примером подобного соотношения может служить следующее выражение: Х2 – 2Х + 3 > 0. Как решать квадратные неравенства? Самым удобным способом является метод интервалов. Для осуществления задуманного, следует разложить на множители левую часть соотношения. Получается: (Х – 3)(Х + 1). Потом рекомендуется найти нули функции и расположить полученные точки в правильном порядке на координатной прямой.

Далее нужно распределить знаки получившихся интервалов, подставив в выражение любое из чисел, принадлежащих данному промежутку. При этом в простых случаях обычно достаточно разобраться хотя бы с одним из них, а остальные - расставить по правилу чередования. В заключении остаётся только отобрать подходящие интервалы, чтобы получить окончательное решение.

Квадратные неравенства здесь подчиняются закону соответствия отрицательных областей минусам, а положительных - плюсам. То есть, если выражение больше нуля, то следует брать числовые промежутки, помеченные знаком + . А в обратном случае решением будут участки, отмеченные знаком - . Таким образом, решение нашего неравенства запишется так: (-∞; -1) U (3; +∞).

Другие примеры применения метода интервалов

Описанный способ даёт ответ и на другой немаловажный вопрос: как решать дробные неравенства, если в данном случае вполне применим тот же метод интервалов? Рассмотрим подробнее, как это можно сделать, на примере соотношения, представленного ниже.

Здесь нулями функции являются точки -9 и 4. Для нахождения решения следует нанести их на координатную прямую и определить знаки промежутков, отобрав те из них, которые окажутся помеченными знаком плюс. При этом следует обратить внимание, что закрашенной будет только цифра 4.

Другая точка буде выколотой, так как -9 не входит в область значений, которые допустимы. Ведь при этом в знаменателе получается ноль, что в математике невозможно. Как решать дробные неравенства? В данном случае окончательным ответом станет объединение промежутков: (-∞; -9) U [4; +∞).

Параболы на графике

Выяснить всё о неравенствах часто помогают не только рисунки на координатной прямой, но и изображения в декартовой плоскости. Графиком квадратичной зависимости, как известно, является парабола. Даже схематичный рисунок такого типа способен практически полностью дать ответы на поставленные вопросы. Рассмотрим некоторые из типов парабол, дающих представления о решении квадратных неравенств.

Здесь прежде всего уясним для себя некоторые истины. Любое выражение такого типа приводится к виду: ах2 + вх + с = 0. При этом, если коэффициент а оказывается положительным, то параболу следует рисовать ветвями верх, в противоположно случае – вниз. А корни уравнения являются точками, где происходит пересечение графика функции с осью ОХ.

Толкования

Знать указанные выше утверждения очень важны для понимания квадратных неравенств и ответов на вопросы, связанные с ними. Начертив схему параболы на декартовой плоскости, для решения необходимо выяснить, в какой момент функция (то есть значения координат точек по оси ОУ) принимает показатели + и -. При этом, если в неравенстве стоит знак >, то решением его будет множество значений, принимаемых переменной Х при положительном У.

В случае знака < в ответе указываются показатели для Х при отрицательном У. Бывает так, что парабола и вовсе не пересекается с осью ОХ. Это происходит в случаях, когда Д < 0. Тогда, если график расположен в верхней полуплоскости, ответом для квадратного неравенства со знаком > окажется промежуток (-∞; +∞). А для < решением будет пустое множество. С нижней полуплоскостью дело обстоит с точностью да наоборот.

О пользе графических изображений

Изображения на декартовой плоскости существенно облегчают задачу для систем уравнений. Рисунки наглядно показывают решения, которые являются точками пересечения нанесённых линий. Остаётся только вычислить их координаты и записать ответ.

То же касается и неравенств. К примеру, решением соотношения у ≤ 6 – х (как понятно по рисунку) является сама прямая у = 6 - х, а также полуплоскость, размещённая ниже данной границы. Для точного ответа можно взять любую точку на графике (например (1; 3) и подставить её координаты в неравенство. Получаем: 3 ≤ 6 - 1, то есть верное соотношение. Значит, приведённые рассуждения были истинными.

Неравенство у ≥ х2 описывается областью на декартовой плоскости, расположенной в чаше параболы, включая границы её самой. А на пересечении указанных секторов можно найти решение соотношения, записанного в виде: х2 ≤ у ≤ 6 – х. Оно будет ограничиваться снизу линией параболы и отсекаться сверху прямой. Для уверенности снова сделаем проверку, подставив значения координат любой точки, пренадлежащей к этой области.

Возьмём (1; 4). Получаем: 1 ≤ 4 ≤ 6 - 1, то есть снова верное соотношение. Здесь опять есть смысл заметить, что неравенства обладают многими сходными чертами с уравнениями, хотя и наделены существенными отличиями.

fb.ru

Решение линейных неравенств | Алгебра

Рассмотрим решение линейных неравенств на конкретных примерах.

   

Как и в случае линейных уравнений, решение линейных неравенств с дробями  удобно начинать с приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель здесь равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби. После умножения обеих частей неравенства на наименьший общий знаменатель знаменатели сокращаются и остается целое выражение

   

Как показывает практика, лучше не торопиться и записать произведение дополнительных множителей и числителей с помощью скобок:

   

только после этого раскрывать скобки

   

и приводить подобные слагаемые

   

Неизвестные — в левую часть, известные — в правую с противоположными знаками:

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку — 5 — отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный:

   

   

   

Неравенство нестрогое, поэтому на числовой прямой 4,2 отмечаем закрашенной точкой. Штриховка от 4,2 идёт вправо, на плюс бесконечность: 

Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, 4,2 записываем в ответ с квадратной скобкой:

Ответ:

   

   

Умножаем обе части на наименьший общий знаменатель 20. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.

   

Раскрываем скобки

   

Приводим подобные слагаемые

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 31 — положительное число, знак неравенства не изменяется.

   

   

Поскольку неравенство строгое, 1 на числовой прямой отмечаем выколотой точкой. Штриховка от 1 уходит вправо, на плюс бесконечность.

Так как неравенство строгое и точка выколотая, в ответ 1 записываем с круглой скобкой.

Ответ:

   

   

Умножаем обе части неравенства на наименьший общий знаменатель 18. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.

   

Раскрываем скобки

   

Приводим подобные слагаемые

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

   

   

Обратите внимание: хотя разность в левой части неравенства равна нулю, пишем 6x-6x=0x.

Получили частный случай линейного неравенства. Какое бы число мы не подставили вместо x, левая часть неравенства равна нулю. Неверно, что нуль меньше отрицательного числа -23. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: x ∈ Ø.  (решений нет).

   

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 8.

   

Раскрываем скобки

   

Приводим подобные слагаемые

   

Неизвестные переносим в одну сторону неравенства, известные — в другую с противоположным знаком

   

   

Получили частный случай линейного неравенства. Неравенство верно при любом значении x.

Ответ:

   

(или: x — любое число).

www.algebraclass.ru

Решение неравенств, все формулы и примеры

Определение и формулы неравенств

Знаки > называются знаками строгого неравенства, а знаки — знаками нестрогого неравенства.

Если в неравенство входят только числовые величины, то такое неравенство называется числовым неравенством.

Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Основные правила, применяемые при решении неравенств

  1. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
  2. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
  3. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

В зависимости от того, какие функции входят в неравенство, различают линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические, показательные неравенства, неравенства с параметром.

Если требуется все общие решения двух или нескольких неравенств, то решают систему неравенств. Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств.

Одним из основных методов решения неравенств является метод интервалов.

Примеры решения неравенств

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как решать неравенства?

Не все знают, как решать неравенства, которые по своей структуре имеют сходные и отличительные черты с уравнениями. Уравнение – упражнение, состоящее их двух частей, между которыми стоит знак равенства, а между частями неравенства может стоять знак «больше» или «меньше». Таким образом, прежде чем найти решение конкретного неравенства, мы должны понимать, что стоит учитывать знак числа (положительное или отрицательное), если возникает необходимость умножения обеих частей на какое-либо выражение. Этот же факт следует учитывать, если требуется для решения неравенства возводить в квадрат, поскольку возведение в квадрат проводится путем умножения.

Как решать систему неравенств

Намного сложнее решать системы неравенств, чем обычные неравенства. Как решать неравенства 9 класс, рассмотрим на конкретных примерах. Следует понимать, что перед тем, как решать квадратные неравенства (системы) или любые иные системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, после чего сопоставить их. Решением системы неравенства будет либо положительный, либо отрицательный ответ (имеет система решение или не имеет решения).

Задача - решить совокупность неравенств: 

Решим каждое неравенство по отдельности

Строим числовую прямую, на которой изображаем множество решений

Ответ:

Так как совокупность - это объединение множеств решений, то это множество на числовой прямой должно быть подчеркнуто минимум одной линией.

Решение неравенств с модулем

Данный пример покажет, как решать неравенства с модулем. Итак, у нас имеется определение:

Нам необходимо решить неравенство:

|x|>2

Прежде чем решить такое неравенство, необходимо избавиться от модуля (знака)

Запишем, основываясь данными определения:

или

Теперь следует решать каждую из систем по отдельности.

Построим одну числовую прямую, на которой изобразим множества решений.

В результате у нас получилась совокупность, объединяющая множество решений.

Ответ:

Решение квадратичных неравенств

Используя числовую прямую рассмотрим на примере решение к

elhow.ru

Решение неравенств методом интервалов

Разделы: Математика, Внеклассная работа

Цели:

  1. Обобщить использование метода интервалов для решения неравенств,
  2. Показать широкие возможности этого метода для решения неравенств, содержащих переменные под знаком log, , и тригонометрические функции.

Мы будем рассматривать неравенства, правая часть которых равна нулю, а левая часть представлена в виде произведения или частного функций.

Идея метода: Знак произведения или частного определяется знаком сомножителей.

Рис.1

Линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом меняет знак при переходе через нуль функции, причём справа от нуля знак функции совпадает со знаком углового коэффициента.

Рис.2

Квадратный трёхчлен с D>0 при переходе через каждый нуль функции меняет свой знак, причём правее большего корня знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком его старшего коэффициента. [1]

Эти соображения приводят к следующей схеме решения неравенства:

Пример 1:[1]

  1. Найдём нули числителя: , , .
  2. Найдём нули знаменателя: .
  3. Наносим найденные нули на числовую ось. Т.к. неравенство строгое, то все нули изображаем выколотыми точками, которые разбивают числовую ось на интервалы:

Рис. 3

На самом правом из них знак каждого сомножителя совпадает со знаком его старшего коэффициента:

Следовательно, дробь на этом промежутке тоже отрицательна.

  1. При переходе через каждый из отмеченных нулей, один и только один из сомножителей меняет знак, и поэтому каждый раз меняется знак дроби. Учитывая это, расставляем в интервалах знаки (как показано на Рис.3).
  2. Выбираем интервалы, на которых дробь отрицательна.
  3. Записываем ответ: .

В рассмотренном примере 1, знаки в промежутках знакопостоянства функции чередуются. Однако делать обобщение, что так будет происходить всегда, разумеется, не следует.

Пример 2:

  1. нули числителя:

    -2 – нуль второй кратности

  2. нули знаменателя:
  3. наносим найденные нули на числовую ось, т.к. неравенство не строгое, то нули числителя изображаем заштрихованными точками, а нуль знаменателя мы выкалываем, т.к. это число не входит в область определения неравенства:

Рис.4

Обозначим нуль второй кратности галочкой, чтобы не забыть. Т.к. числитель всегда принимает положительные значения, то на правом крайнем промежутке знак будет зависеть от знака старшего коэффициента знаменателя, т.е. «+». Левее «1» знаменатель будет отрицательным, а числитель положительным, поэтому при переходе через число -2 знак не меняется:

Рис.5

Это поможет понять следующая геометрическая картинка (Рис.6):

Рис.6

  1. Для записи ответа выбираем промежуток, где стоит знак «+» и заштрихованную точку , при которой дробь обращается в нуль. Ответ:

Вывод: при переходе через нуль чётной кратности, знак не меняется.

Решить по вариантам, с последующим обсуждением у доски.

I вариант

Пример 3:

  1. нули числителя:;
  1. нули знаменателя:; - нуль второй кратности

Рис.7

Ответ:

II вариант

Пример 4:

  1. нули числителя:- нуль второй кратности
  2. нули знаменателя:; - нуль третьей кратности

Рис.8

Ответ:

Применение метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств.

Универсальность метода основана на достаточно наглядном свойстве непрерывных функций: «Если на интервале (a;b) функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет знак».

Пример 5: [1] ,

Будем решать это неравенство по той же схеме, но не на всей оси, а на области определения логарифмической функции, т.е. на промежутке (*):

  1. нули числителя:; - не входит в (*)
  2. нули знаменателя:;

Рис. 9

  1. на самом правом промежутке, ,

Следовательно на этом промежутке левая часть неравенства отрицательна

  1. при переходе через каждый корень меняет знак один и только один из сомножителей. Учитывая это, расставляем знаки на остальных промежутках.

Ответ: .

Пример 6:

  1. нули числителя: корней нет
  2. нули знаменателя:
  3. решение изображаем на рис. 10:

Рис.10

Квадратный трёхчлен в числителе не имеет корней и не меняет свой знак. Его знак совпадает со знаком старшего коэффициента, т.е. «+».

Ответ:.

Пример 7: ОДЗ:

Приведём неравенство к такому виду, чтобы в правой части был «0»:

  1. нули числителя:

;;;

  1. нули знаменателя:
  2. решение изображаем на рис. 11:

Рис.11

Ответ:.

Пример 8:

ОДЗ:

Рис.12

  1. нули числителя:
  2. нули знаменателя:

, но ОДЗ удовлетворяет только

  1. решение изображаем на рис. 13:

Рис.13

Ответ:.

Задание на дом: (Решение предоставлено в Приложении1)

  1. Ответ:.
  2. Ответ:.
  3. Ответ:.
  4. Ответ: .
  5. Ответ:.

Задания для факультативный занятий предоставлены в Приложении2.

Вывод: Как известно, линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции, а так же их композиции и функции, получаемые из них с помощью арифметических действий, непрерывны в своей области определения. Поэтому метод интервалов можно применять при решении практически всех неравенств школьного курса. Метод интервалов позволяет представить множество решений неравенства в виде объединения промежутков, границы которых либо корни соответствующего уравнения, либо граничные точки области определения.

Список литературы:

[1] "Метод интервалов" //Журнал "Квант" No12, 1985 г.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Как решать С3. Урок 1. ЕГЭ по математике 2014. Метод интервалов - решения.егэцентр.рф

Здравствуйте!

Задание С3 представляет собой систему неравенств (наверняка, вы об этом уже знаете). Но основа основ, с чего начинаются все неравенства, — метод интервалов. Без него ни одно задание решить будет практически невозможно. Поэтому, если решение неравенств этим методом вызывает у вас хоть малейшие затруднения, уделите ему особое внимание.

Методу интервалов будут посвящены два видеоурока с детальным пояснением.

Итак, приступим.

Предположим, надо решить неравенство

$$x^2 +3x +2 >0.$$

Напомню, в 8 классе все начиналось с того, что вы, скорее всего, строили график функции `f(x) = x^2+3x+2` и смотрели, где этот график находится выше оси абсцисс. График — парабола, которая пересекает ось `x` в точках `x_1 = -2` и `x_2 = -1`, ветви направлены вверх.

 

Получили решение: `(-∞, -2) \cup (-1, ∞)`. (Точки `-2` и `-1` не пошли в ответ, потому что в них функция равна нулю. Нам же нужны значения строго больше нуля.)

Однако этот способ решения подходит не для всех уравнений — далеко не все графики функций мы можем построить.

Чтобы понять более универсальный метод интервалов, давайте внимательнее взглянем на нашу параболу и проследим, как меняются ее значения, когда она переходит через точки `x_1` и `x_2`. Слева направо: до того, как парабола прошла точку `x_1`, она была положительной, после нее стала отрицательной вплоть до точки `x_2`. Пройдя через `x_2`, она стала опять положительной.

Получается, что на каждом интервале `(-\infty, x_1),  (x_1, x_2),  (x_2, \infty)` функция имеет один и тот же знак.

Точки `x_1` и `x_2` — это нули функции то есть значения `x`, при которых функция равна нулю. Между ними она всегда имеет один и тот же знак (то есть положительна или отрицательн) и менять знак она может только проходя через ноль функции.

Сразу оговоримся: функция может менять знак, а может и не менять, и нам придется постоянно это проверять. Но самое главное, что кроме как в нулях функции, она знак сменить не может.

Это утверждение будет верно для любой непрерывной функции (то есть, грубо говоря, функции, график которой можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги).

Значит, нам достаточно понять, будет `f(x)` положительна или отрицательна в какой-нибудь конкретной точке внутри интервала, и мы сразу узнаем, какой она будет на всем интервале.

Например: чтобы узнать, какой будет знак функции на промежутке `(-\infty, x_1)`, мы можем подставить `x=-3` в `f(x)`. Получим:

$$(-3)^2 +3\cdot (-3)+2 = 9 - 9+2 =2 >0.$$

Значит, на интервале `(-\infty, x_1)` функция положительна.

Аналогично получим знак на интервале `(-2, -1)`, если подставим `x=-1{,}5`:

$$f(-1{,}5) = (-1.5)^2 + 3\cdot (-1.5) +2 = 2.25 - 4.5 +2 = -0.25 < 0.$$

На интервале `(-1, \infty)` возьмем `x=0`:

$$f(0) = (0)^2 + 3\cdot (0) +2 =2 > 0.$$

Итак, мы убедились, что способ работает. Но пока что он не выглядит легким — приходится подставлять неудобные числа, и проводить сложные вычисления.

У меня хорошая новость: от них можно избавиться :) Сделать это можно, если мы разложим многочлен на множители. В общем виде это тема отдельного урока. Для квадратных уравнений справедлива формула:

$$ax^2+ bx+ c = a (x-x_1) (x-x_2).$$

Советую ее выучить, она понадобится нам в дальнейшем.

Как ею пользоваться в методе интервалов?

Наше уравнение разложится таким образом: `x^2  +3x +2 = (x+2)(x+1)`. Теперь мы можем подставлять точки не в исходное уравнение, а в скобки. Причем даже не обязательно вычислять точное значение, достаточно понимать, какой знак примет каждая скобка. Теперь понятно, что например, в точки `x=-1.5` первая скобка будет положительна, а вторая — отрицательна, их произведение — отрицательно.

Примеры использования метода интервалов для решения рациональных неравенств

Решим неравенство посложнее

$$(2x+4) (x^2 -x -6) \geq 0.$$

Разложим вторую скобку на множители (можно делать это через дискриминант, можно через теорему Виета):

$$(2x+4) (x-3)(x+2)\geq 0.$$

Еще раз о том, как находить нули функции. Если при каком-то `x`, занулится хотя бы одна скобка, то при нем занулится и все выражение. Получим `x_1 = -2,  x_2 = 3,  x_3 = -2`. (Для внимательных: обратите внимание, как равенство `x_1` и `x_3` повлияет на знаки функции.)

Отметим эти точки на оси `x`.

Теперь выясним знаки скобок на каждом интервале. Я это оформлю в виде таблицы:

ИнтервалТочка`2x+4``x-3``x+2``f(x)`
`(-∞,-2)` `x=-100000`
`(-2,3)` `x=0` + ­– + ­–
`(3,∞)` `x=100000` ­+ ­+ + ­+

Колонка `f(x)` — это наша функция, знак которой получается как произведение знаков скобок. В качестве первой точки я взял заведомо большое число (чтобы наверняка увидеть знак каждой скобки), аналогично взята третья точка. Вторая точка взята из расчета, что она принадлежит интервалу `(-2, 3)`.

Расставим знаки на оси:

Вернемся к заданию. Нам нужно выяснить, где функция неотрицательна. Из рисунка видно, что на промежутке `x> 3` она положительна. Точки `x=-2` и `x= 3` тоже пойдут в ответ, поскольку в них функция принимает нулевое значение.

Ответ: `\{2\} \cup [3,\infty)`.

Метод интервалов для неравенств с дробями

Пусть нам нужно решить неравенство `\frac{a}{b} > 0`.

Давайте подумаем, в каких случаях дробь `\frac{a}{b}` положительна? Она положительна, если `a` и `b` одновременно отрицательны или положительны. Но ведь неравенство с произведением `a·b>0` ведет себя точно так же: для его решения нам так же нужно, чтобы `a` и `b` были одного знака. Значит, при решении подобного неравенства с дробью, мы можем заменить его на неравенство `a · b > 0`.

Если знак неравенства `<`, то замена производится аналогично.

Более интересны случаи с неравенствами `\frac{a}{b}\geq 0` (или `\leq`). Равенство дроби нулю достигается только если числитель равен нулю. Произведение же равно нулю, если `a` или `b` равно нулю. В этом случае нам нужно учесть ОДЗ: знаменатель `b ≠ 0`.

Подведем итог:

$$\frac{a}{b} > 0 \Leftrightarrow a·b >0,$$

$$\frac{a}{b} \geq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a·b \geq 0, \\ b ≠ 0.\end{array} \right.$$

Теперь давайте потренируемся решать задачи.

Пример неравенства с дробью

Решение следующего неравенства проведем по алгоритму решения методом интервалов, без дополнительных пояснений.

$$\frac{2x-3}{3x-5}  \geq 0.$$

$$\left\{\begin{array}{l}(2x-3)(3x-5)  \geq 0, \\ 3x - 5 ≠ 0.\end{array} \right.$$

Решим первое неравенство системы. Нули функции: `x= \frac{3}{2},  x= \frac{5}{3}`.

Расставим знаки, взяв некоторые значения `x` на каждом интервале, и подставив их в функцию.

Из второго неравенства, получим `x≠ \frac{5}{3}`. Отметим это на рисунке.

Таким образом, ответ `(-∞, \frac{3}{2}] \cup (\frac{5}{3}, ∞)`.

 

Задания для тренировки

Решите неравенства

  • `(x-5)(3-x) < 0`,
  • `x^2 +7x +10 <0`,
  • `(x+2)(x^2 -5x +4) <0`,
  • `(x-5)(x^2 -8x +15) \leq 0`,
  • `\dfrac{2x^2-32}{x^2 +6x +8} \leq 0`.

Основа хорошей подготовки к ЕГЭ — это решение как можно большего количества задач. Решайте понемногу каждый день и тогда экзамен покажется вам смешным :)

 

На этом все. Первый урок будем считать законченным. В нем было много сказано о методе интервалов. Понимаю, за один раз понять такую тему сложно. Поэтому, если у вас остались вопросы, оставляйте их в комментариях.

Если вопросов не осталось — ставьте лайки :)

Во втором уроке вы сможете познакомиться с некоторыми неравенствами из тренировочных и диагностических ЕГЭ, которые решаются с помощью метода интервалов.

PS: На самом деле есть еще более удобный способ расставлять знаки на интервалах. О нем я немного упомянул в приложенном видео.

 

xn--e1aajtm3cwc.xn--c1adb6aplz9c.xn--p1ai

Решение неравенств

 

Любая школьная программа по математике включает в себя материал о неравенствах. Они окружают школьника повсюду: в формулах, алгебраических аксиомах и задачах. Что же такое неравенства и как выглядит решение неравенств?

Неравенство предполагает в своем условии различие между двумя частями выражения. Всего их два типа: строгие и нестрогие. Нестрогие неравенства допускают вариант, в котором их части равны (в данном случае используются знаки «больше или равно» и «меньше или равно»). Строгие неравенства не позволяют использовать ответы, при которых их части становятся равны. В этом случае решение неравенств включает в себя знаки «больше», «меньше» и «не равно».

Чаще всего неравенства имеют в ответе целый диапазон значений, включая как целые числа, так и множество дробных. Чтобы дать полный и единственно верный ответ, записывают не точные значения, а их интервалы. Решение неравенств происходит чаще всего методом промежутков, где проверяется, в какой части отрезка координат выполняются все условия, позволяющие составить правильное неравенство. Ответ записывается в форме «неизвестное принадлежит отрезку координат с данными границами». Пример записи ответа – х Є (7; 10], где круглая скобка обозначает строгое неравенство, а квадратная – нестрогое (то есть 10 является одним из возможных вариантов ответа, а 7 – нет). Если интервал возможных решений неравенства уходит в бесконечность, то знак бесконечности в ответе всегда выделяется круглой скобкой.

Неравенств бывает множество видов, однако самые сложные вопросы возникают в двух случаях: это решение иррациональных и дробных неравенств.

Что такое иррациональное неравенство? Это неравенство, одна из частей которого является корнем функции. Выглядит такое неравенство достаточно сложно как для неопытного школьника, так и для многих студентов математических кафедр. Однако решение иррациональных неравенств достаточно простое: необходимо просто возвести все неравенство в степень, в корне которой находится одна из его частей. Стоит соблюдать лишь одно правило: если одна из функций является отрицательной, возведение в четную степень исказит неравенство и сделает его отличным от оригинала по самой его сути. Поэтому решение иррациональных неравенств является одним из тех моментов, на которых ошибается львиная доля экзаменуемых школьников и студентов.

Решение дробных неравенств тоже достаточно простое. Дробное неравенство – это такое, в котором одна из частей является дробью. Что же сделать, чтобы составить верное решение дробных неравенств? Попросту умножить обе части неравенства на величину знаменателя одной из функций. Это приведет функцию в более простой вид, что позволит быстро и без особых усилий рассчитать верный диапазон решений неравенства.

Существует огромное количество видов неравенств, и решения многих из них разнятся между собой. Необходимо знать и представлять правильный метод решения каждого из них, чтобы грамотно уметь составить условие, записать ответ и получить высокие баллы за работу. Чем похожи решение иррациональных и дробных неравенств? В первую очередь тем, что для их решения применяется упрощение путем уничтожения неудобного фактора (в одном случае – корня, во втором – знаменателя функции). Поэтому каждый школьник и студент обязан помнить: едва заметив в неравенстве корень либо знаменатель, он должен среагировать и либо возвести обе части неравенства в нужную степень, либо умножить обе части неравенства на знаменатель. Данный метод решения работает в большинстве случаев, кроме задач исключительной сложности (которые, между прочим, встречаются крайне редко). Поэтому можно с уверенностью сказать, что решение неравенств, предложенное выше, будет верным практически в ста процентах случаев. Успехов в учебе!

fb.ru