6.1.2. Задачи на пропорцию. Как решать пропорции с неизвестным множителем


Задачи и задания на пропорции: примеры и решение

Решение заданий на пропорции

Если один из членов пропорции неизвестен и надо его найти, то говорят, что надо решить пропорцию. Решение пропорций всегда выполняется с помощью свойства пропорции.

Задание 1. Найдите неизвестный член пропорции:

a)  x  =  3 ;     б)  1  =  5
21 3x

Решение: Так как неизвестны крайние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить средние члены и разделить полученный результат на известный крайний член:

a) x =  2 · 3,   x = 6.      б) x =  3 · 5,   x = 15.
1 1

Ответ: а) x = 6, б) x = 15.

Задание 2. Решите пропорции:

a)  30  =  5 ;     б)  7  =  x
x8 510

Решение: Так как неизвестны средние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить крайние члены и разделить полученный результат на известный средний член:

a) x =  30 · 8,   x = 48.      б) x =  7 · 10,   x = 14.
5 5

Ответ: а) x = 48, б) x = 14.

Задание 3. Известно, что 21x = 14y. Найдите отношение x к y.

Решение: сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7:

получим:

3x = 2y

Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части у x убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y:

После сокращения отношений у нас остаётся:

Ответ: 2 к 3.

Задачи на пропорции с решением

Задача 1. Из 300 читателей библиотеки 108 человек – студенты. Какой процент всех читателей составляют студенты?

Решение: Примем всех читателей библиотеки за 100% и запишем условие задачи кратко:

300 – 100% 108 – ?%

Составим пропорцию:

Найдём x:

x =  108 · 100  = 36
300

Ответ: 36% всех читателей составляют студенты.

Задача 2. При варке варенья используют ягоды и сахар в отношении 5:2. Сколько надо ягод, если взяли 450 грамм сахара?

Решение: составим пропорцию:

Найдём x:

x =  5 · 450  = 1125
2

Ответ: На 450 гр сахара надо взять 1125 гр ягод.

naobumium.info

Как решить пропорцию? - Полезная информация для всех

  • Как решать пропорции? Для начала неплохо было знать кое-что из теории:

    А теперь разберем какой-нибудь простенький пример, опираясь на первый пункт нашей подсказки:

    35/7 = 10/х;

    35х = 7*10;

    х = 70/35;

    х = 2.

    Таким образом, мы выяснили, что х равен двум.

  • Пропорция - это:

    На самом деле это понять довольно таки просто и вот это понимание позволит решить большинство задач, вычислять проценты и тд. Я не педагог и как объяснить не знаю, покажу на примере задачи и походу попытаюсь объяснить.

    Наипростейшая задача, где одно из чисел в пропорции неизвестно (это то нам и нужно):

    100 процентов - это 200 книг. Сколько будет книг в 50 процентах?

    И смотрите что делаем далее:

    чертим дробь и под процентами пишем проценты - 100/50, а под книгами книги 200/x. Получается своеобразное уравнение 100:50=200:x. Решаются пропорции крест накрест, т.е. 50*200:100 = 100 книг.

    Глупое объяснение, но своими словами.

  • Вот примеры решения пропорций: x/2=3, x=3*2=6; 110/x=11, x=110/11=10; x/7=490/10, x=490*7/10=343; 100/5=500/x, x=500*5/100=25. Если есть пропорция с неизвестным в числителе и число, то нужно числитель умножить на знаменатель. Если есть пропорция с неизвестным в знаменателе и число, то нужно числитель разделить на второе число. Если есть две дроби, и неизвестное в числителе одной из них, то нужно умножить числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, и вс это разделить на знаменатель первой дроби. Если есть две дроби, и неизвестное в знаменателе одной из них, то нужно умножить числитель второй дроби и знаменатель первой дроби, и вс это разделить на знаменатель первой дроби. Если есть две дроби, нужно умножить на два известных числа, расположенных по диагонали, и разделить это на оставшееся число.

  • Пропорции это можно сказать один из главных способов решения задач по химии. Именно там по условию составляют пропорции, в потом их решают. Честно говоря основательно освоение этого способа ко мне пришло после того, когда я реально понял за чем это надо. К сожалению все проблемы обучения в нашей стране связаны именно с тем, что нас часто учат не объясняя , а зачем это надо. Ну так уж было заведено еще в СССР. Ведь объяснить зачем нужна всем история партии или научный коммунизм было просто невозможно, вот и перешло это и ы другие науки. И так их и преподавали. Гу а теперь вернемся к пропорциям. Чтобы раз и навсегда запомнить как надо решать пропорции и не путаться нужно запомнить правило , которое химики называли правилом креста. Так члены пропорции перемножаются крест на крест. Вот пример.

    10/2 = 5/Х

    перемножаем по правилу креста и получаем.

    10Х=10 А отсюда и находим Х

    Х=1

  • info-4all.ru

    Нахождение неизвестного члена пропорции | umath.ru

    Пропорция — это равенство двух отношений.

    Например, отношения и равны друг другу. Если соединить эти отношения равенством, то мы получим пропорцию:

       

    Эту пропорцию также можно записать так:

       

    В пропорции выделяют крайние и средние члены. Например, в пропорции крайними членами являются числа и , а средними членами — числа и .

    Основное свойство пропорции

    Если пропорция составлена верно, то верно следующее утверждение:

    Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.

    То есть если пропорция

       

    верна, то

       

    Онлайн калькулятор пропорций

    Наш калькулятор вычисляет неизвестный член пропорции онлайн. Просто введите известные члены пропорции, а место для неизвестного оставьте пустым, и калькулятор выдаст ответ с подробным решением.

    umath.ru

    решение задач на пропорцию | математика-повторение

    Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

    Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

    3,3:300 или х:500.

    Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений):

    3,3:300=х:500. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов пропорции, деленному на известный средний член. (Подробно о пропорции и нахождению ее крайнего, среднего членов читайте в статье: «6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции.»)

    х=(3,3·500):300;

    х=5,5.  Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см.

    Это классическое рассуждение и оформление решения задачи.  Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

    или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

    Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.

    Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

    Решение.

    Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%.  Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

    5:100 или х:98. Получаем пропорцию:

    5:100 = х:98.

    х=(5·98):100;

    х=4,9  Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

    Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

    Решение.

    Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

    16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:

    16,8:21=х:35.

    Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7.

    Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10)  и на 3 (168 и 3).

    Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.

     Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

    Решение. 

    Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

    х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:

    х:100 = 9:18.

    Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.

    Ответ: площадь всего поля 50 га.

    www.mathematics-repetition.com

    Определение пропорции, задачи на пропорцию

    Пропо́рция – равенство двух отношений, т. е. равенство вида a : b = c : d, или, в других обозначениях, равенство  

    Если a : b = c : d,   то a и d называют крайними, а b и c — средними членами пропорции.

    От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться  с этим отношением  и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой.

    Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции:

    В пропорции

    произведение крайних членов равно произведению средних 

    Если какая-то величина  в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.

    Например,

    или

    То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины, в числителе – произведение оставшихся  членов пропорции (независимо от того, где эта неизвестная величина стоит). 

    Задача 1.

    Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

    Решение:

    Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью.

    Заполним таблицу: 

    Неизвестная величина – значение дроби , в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.

    Поэтому получаем, что из 7 кг семени  выйдет 1,7 кг масла.

    Ответ: 1,7

    Чтобы правильно заполнять таблицу, важно помнить правило:

    Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д

     

    Задача 2.

    Перевести в  радианы.

    Решение:

    Мы знаем, что . Заполним таблицу:

    Откуда

    Ответ:

    Задача 3.

    На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?

    Решение:

    Хорошо видно, что незаштрихованный сектор  соответствует углу в (например, потому, что стороны сектора образованы биссектрисами двух смежных прямых углов). А поскольку вся окружность составляет , то на закрашенный сектор приходится .

    Составим таблицу:

    Откуда площадь круга – есть .

    Ответ: 36

     

    Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

    Решение:

    Все поле составляет 100%, и поскольку вспахано 82%, то осталось вспахать 100%-82%=18% поля.

    Заполняем таблицу: 

    Откуда получаем, что  все поле составляет (га).

    Ответ: 50

     

    А следующая задача – с засадой.

    Задача 5.

    Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?

    Если вы будете решать эту задачу аналогично предыдущей, то получите следующее:

    время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти то же расстояние, что и пассажирским, есть часа. То есть, получается, что идя с меньшей скоростью, он преодолевает (за одно и тоже время) расстояние быстрее, нежели поезд  с большей скоростью.

    В чем ошибка рассуждений?

    До сих пор мы рассматривали задачи, где величины  были прямопропорциональны друг другу, то есть рост одной величины  во сколько-то раз, дает рост связанной с ней второй величины во столько же раз (аналогично с уменьшением, конечно). А здесь у нас другая ситуация: скорость пассажирского  поезда больше скорости товарного во сколько-то раз, а  вот время, требуемое на преодоление одного и того же расстояния, требуется пассажирскому поезду меньшее во столько же раз, нежели товарному поезду. То есть величины друг другу обратно пропорциональны.

    Схему, которой мы пользовались до сих пор, надо чуть изменить в данном случае.

    Решение:

    Рассуждаем так:

    Пассажирский поезд со скоростью 80 км/ч   ехал   3 ч,  следовательно, он проехал км. А значит товарный поезд это же расстояние преодолеет за ч.

    То есть, если бы мы составляли пропорцию, нам следовало бы поменять местами ячейки правой колонки предварительно. Получили бы: ч.

    Ответ: 4.

    Поэтому, пожалуйста, будьте внимательны при составлении пропорции. Разберитесь сначала, с какой зависимостью имеете дело – с прямой или обратной. 

    egemaximum.ru

    Задачи на пропорцию.

    Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

    Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

    3,3:300 или х:500.

    Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений):

    3,3:300=х:500. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов пропорции, деленному на известный средний член. (Подробно о пропорции и нахождению ее крайнего, среднего членов читайте в статье: «6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции.»)

    х=(3,3·500):300;

    х=5,5.  Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см.

    Это классическое рассуждение и оформление решения задачи.  Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

    или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

    Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.

    Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

    Решение.

    Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%.  Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

    5:100 или х:98. Получаем пропорцию:

    5:100 = х:98.

    х=(5·98):100;

    х=4,9  Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

    Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

    Решение.

    Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

    16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:

    16,8:21=х:35.

    Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7.

    Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10)  и на 3 (168 и 3).

    Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.

     Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

    Решение. 

    Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

    х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:

    х:100 = 9:18.

    Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.

    Ответ: площадь всего поля 50 га.

     

    www.mathematics-repetition.com