Как найти угол в прямоугольном треугольнике если известны 3 стороны. Как найти стороны в прямоугольном треугольнике если известны углы


Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В8 (2014)

Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Противолежащий катет - это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  , 

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет - это тот катет, который является одной из  сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  , 

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Например, для  треугольника, который изображен на рисунке,  , 

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:

1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.

2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и  с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.

3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,

Рассмотрим примеры решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

1. Задание В7 (№ 27217)  В треугольнике   угол  равен , . Найдите

рис.1

Решим эту задачу двумя способами.

а. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

б. 

Введем единичный отрезок , тогда , 

По теореме Пифагора .

Тогда 

Ответ: 

2. Задание В7 (№27220)

В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите  

Смотрим на рис.1:

Значит, 

Ответ: 

3.  Задание В7 (№27221)

В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите  

Введем единичный отрезок , тогда , 

По теореме Пифагора 

Ответ: 

4. Задание В7 (№27221)

В треугольнике ABC угол C равен , ,  . Найдите AC.

Введем единичный отрезок , тогда , 

По теореме Пифагора 

Найдем :  - по условию.

Значит, . Отсюда 

Ответ: 

5. Задание В7 (№27259)

В треугольнике ABC угол C равен , ,  . Найдите AH.

Найдем  из треугольника  

- прилежвщий  к углу  катет, поэтому он связан с  через 

Найдем  с помощью основного тригонометрического тождества:

, отсюда 

Теперь рассмотрим треугольник , в котором  - гипотенуза, а  - катет, связанные между собой через :

, отсюда 

Ответ: AH=15.

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачатьFirefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В"

ege-ok.ru

Как найти сторону прямоугольного треугольника?

Геометрия - одна из самых сложных наук в школьной программе. Пожалуй, труднее всего приходится тем, кто ищет решение геометрических задач. В этом случае наиболее верный подход - чётко спланированный алгоритм действий. Ну и, соответственно, знание формул и теорем. При решении задач, связанных с поиском неизвестной стороны прямоугольного треугольника важно правильно использовать исходные условия и теорему Пифагора. Кроме того, важны знания о свойствах прямоугольного треугольника. Примеры самых распространённых условий задач из этой серии вы найдёте в данной статье.

Найдем сторону прямоугольного треугольника

Как известно, стороной прямоугольного треугольника может быть катет или гипотенуза. Зная определённые условия можно вычислить и катет, и гипотенузу, тем самым ответить на главный вопрос: как найти сторону прямоугольного треугольника. Рассмотрим эти условия и соответствующие им решения.

  1. Условие: известна длина обоих катетов. Вычислить гипотенузу можно, используя теорему Пифагора. Для тех кто забыл что это за теорема, напоминаем: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Учитывая те знания. которые были получены из теоремы, составляем уравнение: FB2=BK2+KF2, где FB - гипотенуза, а BK и KF - катеты. При поиске длины гипотенузы необходимо возвести в квадрат каждую из величин катетов поочерёдно. После этого складываем полученные цифры, а из результата вычисляем корень квадратный.
  2. Условие: известен катет и угол, который к нему прилежит. Угол этот образуется гипотенузой и катетом, к которому он прилежит. Известный угол мы обозначаем символом а. В соответствии со свойством прямоугольного треугольника мы записываем ответ таким образом: FB= BK*cos(а)
  3. Условие: Известен катет (KF) и тот же самый угол а, который на этот раз находится в положении противолежащего к катету. В поиске гипотенузы в этом случае нам поможет свойство прямоугольного треугольника, гласящее что, отношение длины катета к длине гипотенузы равно sin противолежащего катету угла. Прописываем это таким образом: FB=KF*sin(a).
  4. Условие: Известна гипотенуза. Возьмём прямоугольный треугольник ABC, где гипотенуза - AC. Нам нужно обозначить угол с с вершиной в точке А как La, а угол с вершиной в точке B мы обозначим как Lb. Далее нам нужно найти длину катетов AB и BС.
  5. Условие: известен катет прямоугольного треугольника. Можно предположить, что ВС катет равен b. В этом случае используем известную нам теорему Пифагора(a^2 + b^2 = c^2). Из уравнения получаем искомый катет |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

Зная теорему Пифагора, как вы можете убедиться, выполнить эти, на первый взгляд непростые задачи по Геометрии и самостоятельно разобраться в том, как

elhow.ru

Как найти угол в прямоугольном треугольнике если известны 3 стороны

Доказательство[править | править код]. Доказательство проводится для случая выпуклого n-угольника. В случае n=3 смотреть Теорема о сумме углов треугольника. Пусть A 1 A 2.. A n {\displaystyle A_{1}A_{2}. A_{n}} {\displaystyle A_{1}A_{2}. A_{ — данный выпуклый многоугольник и n > 3. Тогда проведем из.

Углы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90° , соответственно два других угла дают в сумме тоже 90° . Поэтому зная один из острых углов, можно определить и второй: α=90°-β

Используя отношения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно найти угол в прямоугольном треугольнике, зная любые две стороны:

Как найти угол в прямоугольном треугольнике если известны 3 стороны

Углы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90° , соответственно два других угла дают в сумме тоже 90° . Поэтому зная один из острых углов, можно определить и второй: α=90°-β

Используя отношения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно найти угол в прямоугольном треугольнике, зная любые две стороны:

Как найти угол в прямоугольном треугольнике если известны 3 стороны

Решение прямоугольного треугольника

Решение прямоугольного треугольника по двум сторонам

Если известны катет a и гипотенуза c

Второй катет B определится по теореме Пифагора:

Угол A определится по формуле синуса:

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 ° то второй острый угол определится так:

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника по двум сторонам (катет и гипотенуза)

Если известны катеты a и b

Гипотенуза С определится по теореме Пифагора:

Угол A определится по формуле тангенса:

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 ° то второй острый угол определится так:

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника по двум сторонам (катет и катет)

Решение прямоугольного треугольника по стороне и острому углу

Если дан острый угол A, то B найдется по формуле:

Стороны можно найти по следующим формулам:

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника если известны катет a и противолежащий угол A

Здесь все углы мы найдем по формуле (7). Гипотенузу по формуле (14) и второй катет по формуле (16).

poiskvstavropole.ru