1.4. Интервалы монотонности и точки экстремума функции. Как найти промежутки монотонности функции


Интервалы монотонности функции. Критические точки

Исследование функций должно начинаться с установления области определения и интервалов монотонности. Для этого студент должен обладать хорошими знаниями поведения элементарных функций и последующим теоретическим материалом.

Функция называется возрастающей на интервале если для любых двух точек и с этого промежутка и таких, что выполняется неравенство

.

Для того чтобы функция была убывающей на интервале необходимо, чтобы для любых и , принадлежащих к этому интервалу и удовлетворяющих условию исполнялось неравенство .

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а интервалы в которых

функция возрастает или убывает – интервалами монотонности.

Область возрастания и убывания функции характеризуется знаком ее производной: если в

некотором интервале производная больше нуля , то функция возрастает в этом интервале;

если же наоборот – то функция убывает в этом интервале.

Интервалы монотонности могут прилегать друг к другу или точками, где производная равна нулю

или точками, где производная не существует. Эти точки называются критическими точками.

Для того, чтобы найти интервалы монотонности функции нужно:

1) найти область определения функции ;

2) вычислить производную данной функции;

3) найти критические точки из условия равенства нулю производной или при условии, что производная не существует;

4) разделить критическими точками область определения на интервалы, в каждом из которых определить знак производной.

На интервалах где производная положительная функция возрастает, а где отрицательная - убывает.

-----------------------------------

Примеры.

Рассмотрим задачу из сборника В.Ю. Клепко, В.Л. Голец "Высшая математика в примерах и задачах" на нахождение интервалов монотонности функции.

1. (3.36.10)

Функция существует во всех точках где определен логарифм и он не обращается в нуль, а также где функция под корнем принимает неотрицательные значения. На основе этого находим

Итак, областью определения будут два интервала

2. (3.36.11)

С подкоренной функцией ведем себя как и в предыдущем примере, а функция определена на промежутке . Находим область определения

Единственным промежутком, который удовлетворяет эти условия являются следующий

.

3. (3.36.13)

Область определения функции находим из двух условий

Первое условие дает две точки

в которых функция не существует.

С второго условия получим

Исследуем поведение функции в интервалах монотонности на которые разбивают заданные точки. Для этого

выбираем произвольные точки из интервалов и проверяем знак

Функция принимает положительные значения в интервалах

Вместе с первым условием получим следующую область определения

------------------------------

Рассмотрим примеры исследования монотонности функции из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. "Высшая математика" .

І. (5.705) Показать, что функция возрастает на интервале и убывает в интервале .

1) Областью определения функции будет множество значений для которых подкоренная функция принимает неотрицательные значения.

Решим квадратное уравнение

Определим знак функции на всем интервале

Таким образом получим следующую область определения

2) Найдем производную

.

3) Приравняем ее к нулю и найдем критические точки:

Не стоит забывать и о точках, в которых производная не существует. Это корни уравнения в знаменателе. Итак производная существует на интервале в точке меняет знак.

4) Знаки производной: подставляем в производную

Так что на интервале функция возрастает, а на - убывает.

ІІ. (5.715) Найти интервалы монотонности функции

1. Областью определения будет множество точек для которых существует логарифм функция. На

основе этого получим

Итак

2) Найдем производную функции

3) Находим критические точки

Другая точка, где производная не существует это , не принадлежит области определения функции.

Таким образом получили два интервала монотонности и .

4) Выясним где функция возрастает, а где убывает. Подставим точки и в выражение для

производной

Исследуемая функция на интервале убывает и на растет.

При исследовании функций на монотонность определите все критические точки в которых производная равна нулю или не существует. Также не забывайте при этом учитывать область определения функции. Остальное зависит от Ваших знаний свойств элементарных функции, поскольку именно на их основе построены все задачи, которые Вам задают преподаватели.

----------------------------------------------

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Интервалы монотонности функции — МегаЛекции

Интервалом (промежутком) возрастанияфункции называется промежуток из области определения функции, на котором функция возрастает.

Интервалом (промежутком) убыванияфункции называется промежуток из области определения функции, на котором функция убывает.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами(промежутками) монотонности функции.

Интервалы монотонности функции можно определить с помощью первой производной.

Правило нахождения интервалов (промежутков) монотонности функции:

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции, а затем определить точки , в которых производная равна или (критические точки), т.е. решить уравнения и .

3. Область определения функции разбить критическими точками на числовые промежутки и определить знак в каждом из полученных числовых промежутков.

4. В тех промежутках, где функция возрастает, в тех промежутках, где функция убывает.

 

Пример 1. Найти интервалы монотонности функции .

Решение. Т.к. функция является многочленом, то областью её определения является вся числовая ось. Найдём первую производную функции:

.

Найдём критические точки функции, для чего решим уравнение

.

.

Разобьём область определения функции критическими точками на числовые промежутки и определим знак первой производной в каждом из полученных промежутков, результаты удобнее заносить в таблицу:

 

 

Пример 2. Найти промежутки монотонности функции .

Решение. Областью определения функции является вся числовая ось. Найдём первую производную функции, для удобства, представив второе слагаемое в виде степени:

, тогда

Найдём критические точки функции, для этого решим уравнения

 

и .

 

.

Получили 3 критические точки, которые разбивают область определения на 4 числовых промежутка, определим знаки первой производной в каждом из этих промежутков:

 

Упражнения.

 

Найти промежутки монотонности следующих функций:

 

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

 

 

Экстремумы функции

Точка из области определения функции называется точкой максимума, если в некоторой окрестности этой точки выполняется условие

.

 

 

Точка из области определения функции называется точкой минимума, если в некоторой окрестности этой точки выполняется условие

.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

В точках экстремума промежуток возрастания сменяется на промежуток убывания (точка максимума), промежуток убывания сменяется на промежуток возрастания (точка минимума)

Значения функции в точках максимума и точках минимума называются максимумом и минимумом функции соответственно.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной:

1. Найти область определения функции.

2. Найти критические точки функции , т.е. те точки из

области определения функции, в которых или

.

3. Найденными точками разбить область определения функции на

числовые промежутки.

4. Определить знак в каждом из полученных числовых

промежутков.

5. Если при переходе через критическую точку производная функции

меняет свой знак, то точка является точкой экстремума

функции; если знак не меняется, то точка точкой экстремума

не является. При этом если при переходе через рассматриваемую точку

слева направо знак меняется с минуса на плюс, то -

точка минимума, если с плюса на минус, то - точка максимума.

6. Для нахождения экстремумов функции вычислить значения функции

в точках экстремума.

Пример 1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции .

Решение. Область определения функции . Найдём производную функции

.

Производная обращается в ноль при Эти точки разбивают область определения функции на 4 числовых промежутка, в каждом из которых сохраняет определённый знак. Найдём знаки производной в каждом из полученных промежутков:

 

Найдём значения функции в точках экстремума (экстремумы функции):

.

Таким образом, максимумов функция достигает в точках и , минимума в точке .

 

Пример 2. Найти точки экстремума и промежутки монотонности функции .

Решение. Область определения данной функции .

Найдём первую производную функции, воспользовавшись правилом дифференцирования производная произведения:

=

.

 

Найдём критические точки функции, приравняв первую производную к нулю и к бесконечности:

;

.

 

Результаты исследования занесём в таблицу:

 

 

Упражнения

№1. Найти экстремумы заданных функций с помощью первой производной:

 

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

№2. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:

 

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

 

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

1.4. Интервалы монотонности и точки экстремума функции

Функция называетсявозрастающей (убывающей) в некотором интервале, если большому значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при выполняется неравенство

возрастает убывает

Признаки возрастания и убывания функции.

  1. Если дифференцируемая функция на отрезкевозрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна (неположительная) т.е..

  2. Если непрерывна на и дифференцируется внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то она на этом отрезке возрастает (убывает).

Теорема 1.(необходимый признак локального экстремума).

Если функция имеет в точкеэкстремум, то либолибоне существует.

Точки, в которых производная обращается в нуль либо не существует, называются критическими точками. В них может быть экстремум, а может и не быть.

Теорема 2. ( первый достаточный признак локального экстремума).

Если при положительна, а приотрицательна то прифункцияимеет максимум. Если жепри отрицательна а приположительна, то прифункция имеет минимум.

Другими словами, если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то это точка экстремума.

Пример. Исследовать на экстремумы функцию .

Решение. Данная функция определена и непрерывна, для всех . Находим её производную

.

Находим критические точки из условия и:

при т.е.,

при .

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы , в каждом из которых производная функции сохраняет знак.

Достаточно определить знак производной в произвольной точке интервала. Имеем:

Значит точкаявляется точкой максимума и; точкаявляется точкой минимума и

Теорема 3. (второй достаточный признак локального экстремума).

Пусть функция дважды дифференцируема и. Тогда в точкеона имеет локальный минимум еслии локальный максимум если.

В случае, когда точкаможет и не быть экстремумом.

Пример. С помощь второй производной исследовать на экстремум функцию .

Решение. Находим и

Находим критические точки из условия или

.

Вычислим значение второй производной в этих точках

точка минимума,

точка максимума,

.

Задание 7.

Исследовать на экстремум функции

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

Нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

На отрезке функцияможет достигать наименьшего() или наибольшего () значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале (a;b), либо на концах отрезка .

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Решение. Производная этой функции

.

Найдем критические точки

Обе эти точки принадлежат интервалу . Вычисляем значение функции в критических точках и на концах отрезка:

Сравнивая полученные числа, заключаем что

а .

Задание 8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

studfiles.net

Геометрический смысл условий монотонности.

Известно: – геометрический смысл производной ( угол между касательной и осью ).

           
   
     
 

y y

               
 
   
     
 
     
 

 

O x0 x O x0 x

Практическое правило для нахождения промежутков монотонности функции. Для нахождения промежутков монотонности функции достаточно

1) разбить область существования функции на интервалы точками, в которых ее первая производная равна нулю или не существует,

2) определить ее знак в каждом из этих интервалов. Для чего достаточно вычислить значение производной в какой-либо одной точке каждого интервала, ибо внутри каждого интервала производная сохраняет постоянный знак (или решить неравенства ).

Пример 1. Определить промежутки монотонности функции .

▲ Функция определена на всей числовой оси

Найдем ее первую производную: . Она определена на всей числовой оси и равна нулю в точках (решается уравнение ).

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы .

Определим знак производной в каждом из интервалов, для чего достаточно вычислить знак в какой-либо одной точке каждого интервала. Для первого интервала удобно взять , следовательно, в интервале функция возрастает. Для второго интервала удобно взять , , следовательно, в интервале функция убывает. Для третьего интервала , , следовательно, в интервале функция возрастает.

Результаты исследования приведены в таблице.

Замечание. Условимся в дальнейшем возрастание, убывание функции на интервале обозначать так: .

Пример 2. Определить промежутки монотонности функции .

▲ Функция определена на всей числовой оси

Найдем ее первую производную: . Производная не существует и равна нулю .

Этими точками разобьем область существования функции на интервалы , .

Для определения знака производной в каждом интервале удобно взять точки и . Тогда , следовательно, на интервале функция возрастает; , значит, на интервале функция убывает; , значит, на интервале функция возрастает.

Пример 3. Определить промежутки монотонности функции .

▲ Функция не определена , т. е. область определения функции .

Найдем ее первую производную: . Производная не существует и равна нулю .

Этими точками разобьем область существования функции на интервалы , .

Для определения знака производной в каждом интервале удобно взять точки , . Тогда , следовательно, на интервалах и функция возрастает; , следовательно, на интервалах и функция убывает.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки , включая и саму точку .

Определение 3. Точка называется точкой локального максимума, а значение функции в ней – локальным максимумом функции , если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство .

Определение 4. Точка называется точкой локального минимума, а значение функции в ней – локальным минимумом функции , если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство .

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения в них – локальными экстремумами функции.

Необходимое условие существования точек экстремума функции.

Теорема 2.1. Для того чтобы точка была точкой экстремума функции , определенной в окрестности этой точки, необходимо выполнение одного из двух условий: либо ; либо производная не существует в точке (в частности, где – бесконечно большая функция).

Такие точки называются критическими, и они являются точками, подозрительными на экстремум.

Достаточные условия экстремума.

I. Теорема 2.2. Пусть функция , определенная в окрестности точки , непрерывная в самой этой точке и дифференцируемая в некоторой – окрестности точки . Тогда справедливы следующие заключения:

1) если (т. е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус), то – точка локального максимума функции ;

2) если (т. е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс), то – точка локального минимума функции ;

3) если во всей – окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке экстремума функции .

II. Теорема 2.3. Пусть функция , определенная в окрестности точки , имеет производные до 2-го порядка включительно. Если , то функция имеет в точке экстремум, а именно:

1) минимум, если ,

2) максимум, если .

Геометрический смысл необходимых и достаточных условий экстремумов

           
   
   
 

y y

       
   
 

 

 

O x O x

 

Проследите за изменением производной в зоне :



infopedia.su

Исследование функции. Экстремумы и интервалы монотонности функции.

Функция называетсявозрастающей на интервале , если для любых точекиз этого интервала при выполнении условиявыполняется неравенство(большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

Аналогично, функция называетсяубывающей на интервале , если для любых точекиз этого интервала при выполнении условиявыполняется неравенство(большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Возрастающие на интервале и убывающие на интервалефункции называютсямонотонными на интервале .

Знание производной дифференцируемой функции позволяет находить интервалы ее монотонности.

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой на интервале функцииположительна на интервале, то функциямонотонно возрастает на этом интервале.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой на интервале функцииотрицательна на интервале, то функциямонотонно убывает на этом интервале.

Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что на интервалах убывания функции касательные к графику функции образуют с осью тупые углы, а на интервалах возрастания – острые (см.рис. 1).

Рис. 1.

Теорема (необходимое условие монотонности функции). Если функция дифференцируема и() на интервале, то она не убывает (не возрастает) на этом интервале.

Алгоритм нахождения интервалов монотонности функции :

  1. Найти .

  2. Найти нули производной.

  3. На числовой оси отметить область определения , нули производной и те точки, где производная не существует.

  4. На каждом из полученных интервалов определить знак производной .

  5. Сделать вывод о возрастании или убывании функции на каждом интервале.

Пример. Найти интервалы монотонности функции .

Точка называетсяточкой максимума функции , если существует некоторое числотакое, что для всех, удовлетворяющих условию, выполнено неравенство.

Максимум функции – это значение функции в точке максимума.

На рис 2 показан пример графика функции, имеющей максимумы в точках .

Рис. 2.

Точка называетсяточкой минимума функции , если существует некоторое числотакое, что для всех, удовлетворяющих условию, выполнено неравенство. Нарис. 2 функция имеет минимум в точке .

Для максимумов и минимумов есть общее название – экстремумы. Соответственно точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

Функция, определенная на отрезке, может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

В точках экстремума у производной есть особые свойства.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть в точке функцияимеет экстремум. Тогда либоне существует, либо.

Те точки из области определения функции, в которых не существует или в которых, называютсякритическими точками функции.

Таким образом, точки экстремума лежат среди критических точек. В общем случае критическая точка не обязана быть точкой экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пример. Рассмотрим . Имеем, но точкане является точкой экстремума (см.рис 3).

Рис. 3.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть в точке функциянепрерывна, а производнаяпри переходе через точкуменяет знак. Тогда– точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «–», и минимума, если с «–» на «+».

Если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точкеэкстремума нет.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке производная дважды дифференцируемой функцииравна нулю (), а ее вторая производная в этой точке отлична от нуля () и непрерывна в некоторой окрестности точки. Тогда– точка экстремума; приэто точка минимума, а приэто точка максимума.

Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума:

  1. Найти производную.

  2. Найти критические точки функции.

  3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.

  4. Найти экстремальные значения функции.

Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью второго достаточного условия экстремума:

    1. Найти производную .

    2. Найти вторую производную .

    3. Найти те точки, в которых .

    4. В этих точках определить знак .

    5. Сделать вывод о существовании и характере экстремумов.

    6. Найти экстремальные значения функции.

Пример. Найти экстремумы функции .

studfiles.net

6.Монотонность функции. Экстремумы функции.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пусть дана функция  Тогда

.

.

.

.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Определение экстремума

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f '(x) > 0

(f ' (x) < 0).

Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную  f ' (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f ' (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

7.Интервалы выпуклости, вогнутости функции.Точки перегиба.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

Примеры.

  1. Полуокружность  выпукла на [–1; 1].

  2. Парабола y = x2 вогнута на интервале (-∞; +∞).

  3. График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π; 2π).

Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0  (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении xордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Точка перегиба функции

У этого термина существуют и другие значения, см. Точка перегиба.

Точка перегиба функции внутренняя точкаобласти определения , такая чтонепрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, иявляется одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.

Неофициальное

В этом случае точка являетсяточкой перегиба графика функции, то есть график функции в точке«перегибается» черезкасательную к нему в этой точке: при касательная лежит под графиком, а при— над графиком(или наоборот)

Условия существования

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки , имеет вточку перегиба, то.

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция в некоторой окрестности точкираз непрерывно дифференцируема, причемнечётно и, ипри, а, то функцияимеет вточку перегиба.

studfiles.net

Как найти интервалы монотонности функции f(x) в Wolfram|Alpha

Здравствуйте, дорогой читатель!

Продолжаем изучение возможностей Wolfram|Alpha относительно реализации общей схемы исследования функции одной переменной f(x) на примере функции

После того, как нами найдены критические точки первого рода функции f(x), возникает следующий вопрос: Как найти интервалы монотонности функции f(x) в Wolfram|Alpha?

В предыдущих статьях был подробно рассмотрен первый этап общей схемы исследования функции, который включает в себя 7 основных заданий, с которыми можно ознакомится здесь. Как отмечалось, на первом этапе производная не применяется.

Решение заданий второго этапа уже требует применения производной, поскольку цель второго этапа - найти критические точки первого рода, интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремальные значения функции, угловые точки графика функции.

Первое задание второго этапа (но же восьмое по счету в общей схеме исследования функции) нами уже решено в предыдущей статье. Это задание: найти критические точки первого рода функции f(x).

Рассмотрим теперь второе задание второго этапа общей схемы исследования функции - оно же 9-е по счету в общей схеме исследования функции. Нам нужно найти интервалы монотонности функции f(x).

Вот, как это задание решается с помощью Wolfram|Alpha.

Сначала следует найти производную данной функции. Для данной функции производная найдена в предыдущей статье с помощью такого запроса:

d/dx (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))

Затем ищем непосредственно интервалы знакопостоянства производной f`(x), которые и являются интервалами монотонности данной функции, для этого используются запросы на решение неравенств: solve f`(x)>0 (интервалы возрастания) и solve f`(x)<0 (интервалы убывания).

Для данной функции интервалы возрастания:

solve (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)>0

Аналогично, интервалы убывания функции:

solve (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)<0

Чтобы окончательно сформулировать решение поставленного задания - найти интервалы монотонности функции f(x) - внимательно изучите результаты, которые выводит Wolfram|Alpha в ответ на эти запросы. На рисунках видны начало и конец каждого интервала: они подчеркнуты мною, чтобы вам было удобнее их видеть.

www.wolframalpha-ru.com