Производная и первообразная как взаимно-обратные операции. Определение первообразной. Как найти первообразную


Три правила нахождения первообразных: алгоритм нахождения и примеры

 

Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь: 

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k – некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.

Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).

Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:

Пример 1. Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:

F(x) = x^4/4 – 1/x +C.

Пример 2. Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4. Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5

Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим:

F(x) = 1/(12*(7-3*x)^4).

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Основное свойство первообразной: теорема и наглядные примеры Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspФормула Ньютона - Лейбница: примеры вычисления интегралов

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Таблица первообразных и правила их нахождения

2 августа 2015

На этой странице вы найдёте:

1. Собственно, таблицу первообразных — её можно скачать в формате PDF и распечатать;

2. Видео, посвящённое тому, как этой таблицей пользоваться;

3. Кучу примеров вычисления первообразной из различных учебников и контрольных работ.

В самом видео мы разберём множество задач, где требуется посчитать первообразные функций, зачастую довольно сложных, но главное — не являющихся степенными. Все функции, сведённые в таблицу, предложенную выше, необходимо знать наизусть, подобно производным. Без них невозможно дальнейшее изучение интегралов и их применение для решения практических задач.

Сегодня мы продолжаем заниматься первообразными и переходим у чуть более сложной теме. Если в прошлый раз мы рассматривали первообразные только от степенных функций и чуть более сложных конструкций, то сегодня мы разберем тригонометрию и многое другое.

Как я говорил на прошлом занятии, первообразные в отличие от производных, никогда не решаются «напролом» с помощью каких-либо стандартных правил. Более того, плохая новость состоит в том, что в отличие от производной, первообразная вообще может не считаться. Если мы напишем совершенно случайную функцию и попытаемся найти ее производную, то это с очень большой вероятностью у нас получится, а вот первообразная практически никогда в этом случае не посчитается. Но есть и хорошая новость: существует довольно обширный класс функций, называемых элементарными, первообразные от которых очень легко считаются. А все прочие более сложные конструкции, которые дают на всевозможных контрольных, самостоятельных и экзаменах, на самом деле, составляются из этих элементарных функций путем сложения, вычитания и других несложных действий. Первообразные таких функций давно посчитаны и сведены в специальные таблицы. Именно с такими функциями и таблицами мы будем сегодня работать.

Но начнем мы, как всегда, с повторения: вспомним, что такое первообразная, почему их бесконечно много и как определить их общий вид. Для этого я подобрал две простенькие задачки.

Решение легких примеров

Пример № 1

\[f\left( x \right)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\]

\[M=\left( \sqrt{3};\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6} \right)\]

Сразу заметим, что $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$ и вообще наличие $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$ сразу намекает нам, что искомая первообразная функции связана с тригонометрией. И, действительно, если мы посмотрим в таблицу, то обнаружим, что $\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ — не что иное как $\text{arctg}x$. Так и запишем:

\[F\left( x \right)=\text{arctg}x+C\]

Для того чтобы найти, необходимо записать следующее:

\[\frac{\pi }{6}=\text{arctg}\sqrt{3}+C\]

\[\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+C\]

\[C=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}\]

Теперь мы окончательно можем посчитать именно ту первообразную, которая нас и интересует:

\[F\left( x \right)=\text{arctg}x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}\]

Пример № 2

\[f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\]

\[M=\left( \frac{1}{2};\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)\]

Здесь также речь идет о тригонометрических функциях. Если мы посмотрим в таблицу, то, действительно, так и получится:

\[F\left( x \right)=\arcsin x+C\]

Нам нужно среди всего множества первообразных найти ту, которая проходит через указанную точку:

\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=\arcsin \frac{1}{2}+C\]

\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+C\]

\[C=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{6\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}\]

Давайте окончательно запишем:

\[F\left( x \right)=\arcsin x+\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}\]

Вот так все просто. Единственная проблема состоит в том, для того чтобы считать первообразные простых функций, нужно выучить таблицу первообразных. Однако после изучения таблицы производных для вас, я думаю, это не будет проблемой.

Поэтому идем далее и переходим к более сложным конструкциям — первообразным показательных функций.

Решение задач, содержащих показательную функцию

Для начала запишем такие формулы:

\[{{e}^{x}}\to {{e}^{x}}\]

\[{{a}^{x}}\to \frac{{{a}^{x}}}{\ln a}\]

Давайте посмотрим, как это все работает на практике.

Пример № 1

\[f\left( x \right)={{\left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right)}^{2}}\]

Если мы посмотрим на содержимое скобок, то заметим, что в таблице первообразных нет такого выражения, чтобы ${{e}^{x}}$ стояло в квадрате, поэтому этот квадрат необходимо раскрыть. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения:

\[f\left( x \right)={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}+2\cdot {{e}^{x}}\cdot {{e}^{-x}}+{{\left( {{e}^{-x}} \right)}^{2}}\]

\[f\left( x \right)={{e}^{2x}}+2+{{e}^{-2x}}\]

Давайте найдем первообразную для каждого из слагаемых:

\[{{e}^{2x}}={{\left( {{e}^{2}} \right)}^{x}}\to \frac{{{\left( {{e}^{2}} \right)}^{x}}}{\ln {{e}^{2}}}=\frac{{{e}^{2x}}}{2}\]

\[2\to 2x\]

\[{{e}^{-2x}}={{\left( {{e}^{-2}} \right)}^{x}}\to \frac{{{\left( {{e}^{-2}} \right)}^{x}}}{\ln {{e}^{-2}}}=\frac{1}{-2{{e}^{2x}}}\]

А теперь соберем все слагаемые в единое выражение и получим общую первообразную:

\[F\left( x \right)=\frac{{{e}^{2x}}}{2}+2x-\frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C\]

Пример № 2

\[f\left( x \right)={{\left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right)}^{3}}\]

На этот раз степень уже побольше, поэтому формула сокращенного умножения будет довольно сложной. Итак раскроем скобки:

\[f\left( x \right)={{\left( {{2}^{x}} \right)}^{3}}-3\cdot {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}\cdot {{2}^{-x}}+3\cdot {{2}^{x}}\cdot {{\left( {{2}^{-x}} \right)}^{2}}-{{\left( {{2}^{-x}} \right)}^{3}}\]

\[f\left( x \right)={{2}^{3x}}-3\cdot {{2}^{x}}+3\cdot {{2}^{-x}}-{{2}^{-3x}}\]

\[f\left( x \right)={{8}^{x}}-3\cdot {{2}^{x}}+3\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}-{{\left( \frac{1}{8} \right)}^{x}}\]

Теперь от этой конструкции попробуем взять первообразную от нашей формулы:

\[F\left( x \right)=\frac{{{8}^{x}}}{\ln 8}-3\cdot \frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+3\cdot \frac{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}}{\ln \frac{1}{2}}-\frac{{{\left( \frac{1}{8} \right)}^{x}}}{\ln \frac{1}{8}}+C\] 

\[F\left( x \right)=\frac{{{8}^{x}}}{\ln 8}-\frac{3\cdot {{2}^{x}}}{\ln 2}-\frac{3\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}}{2}+\frac{{{\left( \frac{1}{8} \right)}^{x}}}{3\ln 2}+C\]

Как видите, в первообразных показательной функции нет ничего сложного и сверхъестественного. Все один считаются через таблицы, однако внимательные ученики наверняка заметят, что первообразная ${{e}^{2x}}$ намного ближе просто к ${{e}^{x}}$ нежели к ${{a}^{x}}$. Так, может быть, существует какой-то более специальное правило, позволяющее, зная первообразную ${{e}^{x}}$, найти ${{e}^{2x}}$? Да, такое правило существует. И, более того, оно является неотъемлемой частью работы с таблицей первообразных. Его мы сейчас разберем на примере тех же самых выражений, с которыми мы только что работали.

Правила работы с таблицей первообразных

Еще раз выпишем нашу функцию:

\[f\left( x \right)={{\left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right)}^{2}}={{e}^{2x}}+2+{{e}^{-2x}}\]

В предыдущем случае мы использовали для решения следующую формулу:

\[{{a}^{x}}\to \frac{{{a}^{x}}}{\operatorname{lna}}\]

Но сейчас поступим несколько иначе: вспомним, на каком сновании ${{e}^{x}}\to {{e}^{x}}$. Как уже и говорил, потому что производная ${{e}^{x}}$ — это не что иное как ${{e}^{x}}$, поэтому ее первообразная будет равна тому же самому ${{e}^{x}}$. Но проблема в том, что у нас ${{e}^{2x}}$ и ${{e}^{-2x}}$. Сейчас попытаемся найти производную ${{e}^{2x}}$:

\[{{\left( {{e}^{2x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{2x}}\cdot {{\left( 2x \right)}^{\prime }}=2\cdot {{e}^{2x}}\]

Давайте еще раз перепишем нашу конструкцию:

\[{{\left( {{e}^{2x}} \right)}^{\prime }}=2\cdot {{e}^{2x}}\]

\[{{e}^{2x}}={{\left( \frac{{{e}^{2x}}}{2} \right)}^{\prime }}\]

А это значит, что при нахождении первообразной ${{e}^{2x}}$ мы получим следующее:

\[{{e}^{2x}}\to \frac{{{e}^{2x}}}{2}\]

Как видите, мы получили тот же результат, что и ранее, однако не воспользовались формулой для нахождения ${{a}^{x}}$. Сейчас это может показаться глупостью: зачем усложнять вычисления, когда есть стандартная формула? Однако в чуть более сложных выражениях вы убедитесь, что этот прием очень эффективен, т.е. использование производных для нахождения первообразных.

Давайте в качестве разминки аналогичным способом найдем первообразную от ${{e}^{2x}}$:

\[{{\left( {{e}^{-2x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{-2x}}\cdot \left( -2 \right)\]

\[{{e}^{-2x}}={{\left( \frac{{{e}^{-2x}}}{-2} \right)}^{\prime }}\]

При вычислении наша конструкция запишется следующим образом:

\[{{e}^{-2x}}\to -\frac{{{e}^{-2x}}}{2}\]

\[{{e}^{-2x}}\to -\frac{1}{2\cdot {{e}^{2x}}}\]

Мы получили точно тот же результат, но пошли при этом по другому пути. Именно этот путь, который сейчас кажется нам чуть более сложным, в дальнейшем окажется более эффективным для вычисления более сложных первообразных и использование таблиц.

Обратите внимание! Это очень важный момент: первообразные как и производные можно посчитать множеством различных способов. Однако если все вычисления и выкладки будут равны, то ответ получится одним и тем же. Мы убедились в этом только что на примере ${{e}^{-2x}}$ — с одной стороны мы посчитали эту первообразную «напролом», воспользовавшись определением и посчитав ее с помощью преобразований, с другой стороны, мы вспомнили, что ${{e}^{-2x}}$ может быть представлено как ${{\left( {{e}^{-2}} \right)}^{x}}$ и уже потом воспользовались первообразной для функции ${{a}^{x}}$. Тем не менее, после всех преобразований результат получился одним и тем же, как и предполагалось.

А теперь, когда мы все это поняли, пора перейти к чему-то более существенному. Сейчас мы разберем две простенькие конструкций, однако прием, который будет заложен при их решении, является более мощным и полезным инструментом, нежели простое «беганье» между соседними первообразными из таблицы.

Решение задач: находим первообразную функции

Пример № 1

\[f\left( x \right)=\frac{1=x+{{x}^{2}}}{x\sqrt{x}}\]

Давайте сумму, которая стоит в числители, разложи на три отдельных дроби:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{x\sqrt{x}}+\frac{x}{x\sqrt{x}}+\frac{{{x}^{2}}}{x\sqrt{x}}\]

Это довольно естественный и понятный переход — у большинства учеников проблем с ним не возникает. Перепишем наше выражение следующим образом:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{1}}\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}}+\frac{1}{{{x}^{\frac{1}{2}}}}+{{x}^{\frac{1}{2}}}\]

\[f\left( x \right)={{x}^{-\frac{3}{2}}}+{{x}^{-\frac{1}{2}}}+{{x}^{\frac{1}{2}}}\]

А теперь вспомним такую формулу:

\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]

В нашем случае мы получим следующее:

\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{-\frac{3}{2}+1}}}{-\frac{3}{2}+1}+\frac{{{x}^{-\frac{1}{2}+1}}}{-\frac{1}{2}+1}+\frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}+C\]

\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{-\frac{1}{2}}}}{-\frac{1}{2}}+\frac{{{x}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}}+\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C\]

Чтобы избавиться от всех этих трехэтажных дробей, предлагаю поступить следующим образом:

\[F\left( x \right)=\frac{-2}{{{x}^{\frac{1}{2}}}}+2\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}+\frac{2{{x}^{\frac{3}{2}}}}{3}+C\]

\[F\left( x \right)=-\frac{2}{\sqrt{x}}+2\cdot \sqrt{x}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C\]

Пример № 2

\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}\]

В отличие от предыдущей дроби в знаменателе стоит не произведение, а сумма. В этом случае мы уже не можем разделить нашу дробь на сумму нескольких простых дробей, а нужно каким-то образом постараться сделать так, чтобы в числителе стояло примерно такое же выражение как в знаменателе. В данном случае сделать это довольно просто:

\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1-1}{{{x}^{2}}+1}\]

Такая запись, которая на языке математики называется «добавление нуля», позволит нам вновь разделить дробь на два кусочка:

\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+1}-\frac{1}{{{x}^{2}}+1}\]

Теперь найдем то, что искали:

\[F\left( x \right)=x-\text{arctg}x+C\]

Вот и все вычисления. Несмотря на кажущуюся большую сложность, чем в предыдущей задаче, объем вычислений получился даже меньшим.

Нюансы решения

И вот в этом кроется основная сложность работы с табличными первообразными, особенно это заметно на второй задаче. Дело в том, что для того чтобы выделить какие-то элементы, которые легко считаются через таблицу, нам нужно знать, что конкретно мы ищем, и именно в поиске этих элементов и состоит все вычисление первообразных.

Другими словами, недостаточно просто зазубрить таблицу первообразных — нужно уметь видеть что-то, чего пока еще нет, но что подразумевал автор и составитель этой задачи. Именно поэтому многие математики, учителя и профессора постоянно спорят: «А что такое взятие первообразных или интегрирование — это просто инструмент либо это настоящее искусство?» На самом деле, лично на мой взгляд, интегрирование — это никакое не искусство — в нем нет ничего возвышенного, это просто практика и еще раз практика. И чтобы попрактиковаться, давайте решим еще три более серьезных примера.

Тренируемся в интегрировании на практике 

Задача № 1

\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}+1}\]

Запишем такие формулы:

\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]

\[\frac{1}{x}\to \ln x\]

\[\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\to \text{arctg}x\]

Давайте запишем следующее:

\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}-\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}\]

\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}-\frac{{{x}^{2}}+1-1}{{{x}^{2}}+1}\]

\[f\left( x \right)={{x}^{2}}-1+\frac{1}{{{x}^{2}}+1}\]

\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-x+3+\text{arctg}x+C\]

Задача № 2

\[f\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}-3}{{{x}^{2}}+1}\]

Перепишем следующим образом:

\[f\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}+2-2-3}{{{x}^{2}}+1}\]

\[f\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}+1}-\frac{5}{{{x}^{2}}+1}\]

\[f\left( x \right)=\frac{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}-\frac{5}{{{x}^{2}}+1}\]

Итого первообразная будет равна:

\[F\left( x \right)=2x-5\text{arctg}x+C\]

Задача № 3

\[f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}\left( 1+{{x}^{2}} \right)}\]

Сложность этой задачи состоит в том, что в отличие от предыдущих функций сверху вообще отсутствует какая-либо переменная $x$, т.е. нам непонятно, что добавлять, вычитать, чтобы получить хоть что-то похожее на то, что стоит снизу. Однако, на самом деле, это выражение считается даже проще, чем любое выражение из предыдущих конструкций, потому что данную функцию можно переписать следующим образом:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{2}}+1}\]

Возможно, вы сейчас спросите: а почему эти функции равны? Давайте проверим:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{2}}+1}=\frac{{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\frac{1}{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}\]

Еще перепишем:

\[f\left( x \right)={{x}^{-2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}+1}\]

Найдем:

\[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{-1}}}{-1}-\text{arctg}x+C\]

Немного преобразуем наше выражение:

\[F\left( x \right)=-\frac{1}{x}-\text{arctg}x+C\]

И когда я все это объясняю своим ученикам, практически всегда возникает одна и та же проблема: с первой функцией все более-менее понятно, со второй тоже при везении или практике можно разобраться, но каким альтернативным сознанием нужно обладать, чтобы решить третий пример? На самом деле, не пугайтесь. Тот прием, который мы использовали при вычислении последней первообразной, называется «разложение функции на простейшие», и это очень серьезный прием, и ему будет посвящен отдельный видеоурок.

А пока предлагаю вернуться к тому, что мы только что изучили, а именно, к показательным функциям и несколько усложнить задачи с их содержанием.

Более сложные задачи на решение первообразных показательных функций

Задача № 1

\[f\left( x \right)={{2}^{x}}\cdot {{5}^{x}}\]

Заметим следующее:

\[{{2}^{x}}\cdot {{5}^{x}}={{\left( 2\cdot 5 \right)}^{x}}={{10}^{x}}\]

\[f\left( x \right)={{10}^{x}}\]

Чтобы найти первообразной этого выражения, достаточно просто воспользоваться стандартной формулой — ${{a}^{x}}\to \frac{{{a}^{x}}}{\ln a}$.

В нашем случае первообразная будет такая:

\[F\left( x \right)=\frac{{{10}^{x}}}{\ln 10}+C\]

Разумеется, на фоне той конструкции, которую мы решали только что, эта выглядит более простой.

Задача № 2

\[f\left( x \right)=\frac{{{8}^{x}}-{{9}^{x}}}{{{6}^{x}}}\]

Опять же, несложно заметить, что эту функцию несложно разделить на два отдельных слагаемых — две отдельных дроби. Перепишем:

\[f\left( x \right)=\frac{{{8}^{x}}}{{{6}^{x}}}-\frac{{{9}^{x}}}{{{6}^{x}}}={{\left( \frac{8}{6} \right)}^{x}}-{{\left( \frac{9}{6} \right)}^{x}}={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{x}}-{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\]

Осталось найти первообразную от каждого от этих слагаемых по вышеописанной формуле:

\[F\left( x \right)\frac{{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{x}}}{\ln \frac{4}{3}}-\frac{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}}{\ln \frac{3}{2}}+C\]

Несмотря на кажущуюся большую сложность показательных функций по сравнению со степенными, общий объем вычислений и выкладок получился гораздо проще.

Конечно, для знающих учеников то, что мы только что разобрали (особенно на фоне того, что мы разобрали до этого), может показаться элементарными выражениями. Однако выбирая именно две эти задачи для сегодняшнего видеоурока, я не ставил себе цель рассказать вам еще один сложный и навороченный прием — все, что я хотел вам показать, так это то, что не стоит бояться использовать стандартные приемы алгебры для преобразования исходных функций.

Использование «секретного» приема 

В заключение хотелось бы разобрать еще один интересный прием, который, с одной стороны выходит за рамки того, что мы сегодня в основном разбирали, но, с другой стороны, он, во-первых, отнюдь не сложный, т.е. его могут освоить даже начинающие ученики, а, во-вторых, он довольно часто встречается на всевозможных контрольных и самостоятельных работах, т.е. знание его будет очень полезно в дополнение к знанию таблицы первообразных.

Задача № 1

\[f\left( x \right)={{\left( x-5 \right)}^{4}}\]

Очевидно, что перед нами что-то очень похожее на степенную функцию. Как нам поступить в этом случае? Давайте задумаемся: $x-5$ отличается от $x$ не так уж и сильно — просто добавили $-5$. Запишем так:

\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]

\[{{\left( \frac{{{x}^{5}}}{5} \right)}^{\prime }}=\frac{5\cdot {{x}^{4}}}{5}={{x}^{4}}\]

Давайте попробуем найти производную от ${{\left( x-5 \right)}^{5}}$:

\[{{\left( {{\left( x-5 \right)}^{5}} \right)}^{\prime }}=5\cdot {{\left( x-5 \right)}^{4}}\cdot {{\left( x-5 \right)}^{\prime }}=5\cdot {{\left( x-5 \right)}^{4}}\]

Отсюда следует:

\[{{\left( x-5 \right)}^{4}}={{\left( \frac{{{\left( x-5 \right)}^{5}}}{5} \right)}^{\prime }}\]

В таблице нет такого значения, поэтому мы сейчас сами вывели эту формулу, используя стандартную формулу первообразной для степенной функции. Давайте так и запишем ответ:

\[F\left( x \right)=\frac{{{\left( x-5 \right)}^{5}}}{5}+C\]

Задача № 2

\[f\left( x \right)={{\left( 4-3x \right)}^{9}}\]

Многим ученикам, которые посмотрят на первое решение, может показаться, что все очень просто: достаточно заменить в степенной функции $x$ на линейное выражение, и все станет на свои места. К сожалению, все не так просто, и сейчас мы в этом убедимся.

По аналогии с первым выражением запишем следующее:

\[{{x}^{9}}\to \frac{{{x}^{10}}}{10}\]

\[{{\left( {{\left( 4-3x \right)}^{10}} \right)}^{\prime }}=10\cdot {{\left( 4-3x \right)}^{9}}\cdot {{\left( 4-3x \right)}^{\prime }}=\]

\[=10\cdot {{\left( 4-3x \right)}^{9}}\cdot \left( -3 \right)=-30\cdot {{\left( 4-3x \right)}^{9}}\]

Возвращаясь к нашей производной, мы можем записать:

\[{{\left( {{\left( 4-3x \right)}^{10}} \right)}^{\prime }}=-30\cdot {{\left( 4-3x \right)}^{9}}\]

\[{{\left( 4-3x \right)}^{9}}={{\left( \frac{{{\left( 4-3x \right)}^{10}}}{-30} \right)}^{\prime }}\]

Отсюда сразу следует:

\[F\left( x \right)=\frac{{{\left( 4-3x \right)}^{10}}}{-30}+C\]

Нюансы решения

Обратите внимание: если в прошлый раз по сути ничего не поменялось, то во втором случае вместо $-10$ появилось $-30$. На что отличается $-10$ и $-30$? Очевидно, что на множитель $-3$. Вопрос: откуда он взялся? Присмотревшись можно увидеть, что она взялась в результате вычислений производной сложной функции — тот коэффициент, который стоял при $x$, появляется в первообразной внизу. Это очень важное правило, которое я изначально вообще не планировал разбирать в сегодняшнем видеоуроке, но без него изложение табличных первообразных было бы неполным.

Итак, давайте еще раз. Пусть есть наша основная степенная функция:

\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]

А теперь вместо $x$ давайте подставим выражение $kx+b$. Что тогда произойдет? Нам нужно найти следующее:

\[{{\left( kx+b \right)}^{n}}\to \frac{{{\left( kx+b \right)}^{n+1}}}{\left( n+1 \right)\cdot k}\]

На каком основании мы это утверждаем? Очень просто. Давайте найдем производную написанной выше конструкции:

\[{{\left( \frac{{{\left( kx+b \right)}^{n+1}}}{\left( n+1 \right)\cdot k} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\left( n+1 \right)\cdot k}\cdot \left( n+1 \right)\cdot {{\left( kx+b \right)}^{n}}\cdot k={{\left( kx+b \right)}^{n}}\]

Это то самое выражение, которое изначально и было. Таким образом, эта формула тоже верна, и ею можно дополнить таблицу первообразных, а лучше просто запомнить всю таблицу.

Выводы из «секретного: приема:

  • Обе функции, которые мы только что рассмотрели, на самом деле, могут быть сведены к первообразным, указанным в таблице, путем раскрытия степеней, но если с четвертой степенью мы еще более-менее как-то справимся, то вот девятую степень я бы вообще не рискнул раскрывать.
  • Если бы мы раскрыли степени, то мы бы получили такой объем вычислений, что простая задача заняла бы у нас неадекватно большое количество времени.
  • Именно поэтому такие задачи, внутри которых стоят линейные выражения, не нужно решать «напролом». Как только вы встречаете первообразную, которая отличается от той, что в таблице, лишь наличием выражения $kx+b$ внутри, сразу вспоминайте написанную выше формулу, подставляйте ее в вашу табличную первообразную, и все у вас получится намного быстрее и проще.

Естественно, в силу сложности и серьезности этого приема мы еще неоднократно вернемся к его рассмотрению в будущих видеоуроках, но на сегодня у меня все. Надеюсь, этот урок действительно поможет тем ученикам, которые хотят разобраться в первообразных и в интегрировании. 

До новых встреч!

Смотрите также:

  1. Первый урок по интегралам: что такое первообразная функции и как её считать?
  2. Интегрирование по частям
  3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 2 (без логарифмов)
  4. Что такое ЕГЭ по математике 2011 и как его сдавать
  5. Как решать задачи B15 без производных
  6. Упрощаем решение задач с помощью замены переменной

www.berdov.com

Производная и первообразная как взаимно-обратные операции. Определение первообразной. |

Производная и первообразная как взаимно-обратные операции. Определение первообразной.

В математике известно ряд взаимно-обратных операций (арифметических действий).

Например, сложение – вычитание, умножение – деление, возведение числа в квадрат – извлечение квадратного корня из числа и др.

Над функциями также можно производить операции: находить ее производную, а также находить первообразную .

Рассмотрим  производную и первообразную как взаимно-обратные операции. И введем определение первообразной.

Пример 1.

Пусть дана функция y = x2 + 3x.

Найдем ее производную: y/ = 2x + 3.

Пример 2.

Теперь ответим на такой вопрос: какую функцию надо было бы продифференцировать, чтобы в результате получить ответ y= 2x + 3. Ясно, что этой функцией может быть y = x2 + 3x.

Вывод:

В примере 1 для  y = x2 + 3x мы нашли производную и тем самым выполнили ПРЯМУЮ операцию.

В примере 2 по известному результату (y= 2x + 3) мы нашли исходную функцию (первоначальную, первичную, первичный  образ) , производная которой равна y= 2x + 3. Тем самым выполнили ОБРАТНУЮ операцию.

Нахождение производной

Прямая операция

 

Нахождение функции по известной производной

Обратная операция

Функция  y = x2 + 3x называется ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции y= 2x + 3, так как ее производная равна y/ = (x2 + 3x)/ = 2x + 3.

Определение.

Первообразной для  функции f(x) на заданном промежутке называется функция F(x), если для всех х их этого промежутка выполняется равенство:   F(x)/ = f(x).

Операция нахождения первообразной функции называется ИНТЕГРИРОВАНИЕМ.

Базовым заданием в формировании понимания производной и первообразной как двух взаимно-обратных операций является задание со следующей формулировкой.

Доказать, что F(x) является первообразной для f(x) на заданном промежутке.

Для этого достаточно найти производную функции F(x) и убедиться, что она равна функции f(x).

Примеры.

1)    f(x) = sinx ,  F(x) = -cosx

F(x)/ = (-cosx )/ = -(- sinx) = sinx = f(x), x ϵ R.

2)    f(x) = x2 ,  F(x) = x3/3

F(x)/ = (x3/3 )/ = 1/3 * 3x2 = x2 = f(x), x ϵ R.

 

На данных примерах мы рассмотрели вопрос : “Производная и первообразная как взаимно-обратные операции” и сформулировали определение первообразной.

В следующей статье будут рассмотрены такие вопросы:

  • общий вид первообразной и ее основное свойство;
  • таблица первообразных;
  • примеры нахождения первообразных.

 

repetitor-problem.net

Как найти первообразную функции

Главная » Новости

Опубликовано: 23.08.2018

как найти первообразную функцииПоследнее в образовательном как найти первообразную функции Как научить ребенка читать? С кем летал Леонов в космос?

как найти первообразную функцииКто первым вышел в открытый космос. Кто первым полетел в космос как найти книгу если не помнишь название и автора самом деле! Интегралы и их решение многих пугает.

как найти первообразную функцииДавайте избавимся от страхов и как найти площадь ромба если известны диагонали , что это такое и как решать интегралы! Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.

как найти первообразную функцииЧтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Так вот площадь закрашенной области, есть как найти площадь ромба если известны диагонали от функции в пределах от a до b.

как найти первообразную функцииПлощадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Как видите ответ получился тот же. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы как найти книгу если не помнишь название и автора быть определенными и неопределенными. Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах.

В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя. Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных. Математический анализ — статья из Математической энциклопедии. Ниже мы рассмотрим основные примеры решения интегралов. Но dx нужно тоже заменить на t. Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

Как найти первообразную функции

Определенный интеграл входной функции и выходных значений есть число, которое равно площади поверхности, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и двумя отрезками прямых линий от графика функции до оси абсцисс в точках выходных значений. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Получается, что решение интегралов это совмещение несовместимого и деление того, что в принципе сложно было бы сделать, но именно при помощи интергальной системы и становится все вполне реально найти ответы. Возьмем ту же задачу с площадью. Хотелось бы увидеть ту задачу, которую проще было бы решить при помощи интеграла, чем обычными простыми способами. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео.

Значит, данную математическую модель надо специально изучить. Например, оно может использоваться совместно с линейной алгеброй, чтобы найти наилучшую линейную аппроксимацию для множества точек в области определения. Понять то я вроде бы и понял, но хотелось бы как можно больше примеров рассмотреть, основные свойства интегралов я конечно вызубрил, но не могу сказать что правильно смогу все свои знания применить. Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Заметили, как постоянно повторяется цифра 4 в этой задаче? Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Давайте избавимся от страхов и узнаем, что это такое и как решать интегралы!

Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной. Дифференцируя первообразую, мы получим исходное подинтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференциируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением. Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученных их класса — показательные и тригонометрические. Компактный курс математического анализа, 2003: Часть 1. Изложение анализа открывает двухтомное Введение, где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. У тебя проблема с домашними заданиями?

Интересно знать! Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов.

Подробнее Как найти первообразную функции

Ниже мы рассмотрим основные примеры решения интегралов. Приемы будет даны для как найти книгу если не помнишь название и автора ознакомления без примеров решения, чтобы не перегружать статью. Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных. Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению. С базовыми приемами на этой всё. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения.

Формула Ньютона — Лейбница Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной? Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что бесконечно малое количество есть точно нуль, более всего не устроившее современников Эйлера. Предложенное Лейбницем обозначение dx предназначено для разделения площади под кривой на бесконечное число прямоугольников, таких, что их ширина Δx является бесконечно малой величиной dx. 1976 — небольшая книга, написана очень чётко и сжато. Интегральное исчисление — это изучение определения, свойств и применения двух взаимосвязанных понятий: неопределённого интеграла и определённого интеграла. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik Leipzig: B. Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первобразной. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.

Найдите четырехзначное число, которое в 4 раза меньше четвертой степени некоторого натурального числа. Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять как найти человека по фамилии и имени в соц сетях . Кто первым вышел в открытый космос. В курсе математического анализа доказана следующая теорема. Очерки по истории теории аналитических функций.

Как сдать 10 класс переводной ? За сколько минутэти три насоса заполнят бассейн работая вместе? Порывшись в своих школьных тетрадях понимаю,что тогда тоже был завал,потому ничерта понять не могу — голова пухнет от этого «дурдома»,а зачёт сдать надо. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. Проведённые расчёты показывают что производная квадратичной функции есть функция удвоения. Сеге, Задачи и теоремы из анализа.

Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Ну вроде понятно Завтра экзамен Вот примеров бы побольше не помешало точно. Спасибо за статью, в учебниках такая дребедень написана! Наиболее распространенным символом для обозначения производной является апострофо-подобный знак, называемый штрихом. Теорема Ньютона — Лейбница, которую также называют основной теоремой анализа утверждает, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями.

Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя.

Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Диференциальные уравнения в примерах и задачах. Курс высшей математики, в 5 томах. Решите, пожалуйста, только четны задания в номерах 2-4.

Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференциируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом. Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов. Но dx нужно тоже заменить на t. Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. В результате мы привели интеграл к табличному виду.

Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео. В нем мы на примере физики показываем практическое применение интегрирования, а также решаем еще несколько задач. Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.

ВАЖНО!!! Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию. Спасибо за статью, в учебниках такая дребедень написана!

Немного о Как найти первообразную функции

Нам в институте не хрена их необьяснили скоро экзамен я в этом нуб он трындит на меня что делать ? Учебники не воспринемаю а тут всё ясно написано доступным языком. Глаголы «сводиться» и «становиться» пишутся БЕЗ «Ь». Господи, половина инета пишет с этой ошибкой. Это конечно всё здорово, но я ничего не понял как решать интеграл Что и куда подставлять Как решать их.

Хоть бы кто добавил подробный описанный и илюстрированный пример. Завтра контрольная, и в голове пусто. Как решать интегралы, и что они в принципе обозначают — объясненно доходчиво. Непонятно другое: нафига так усложнять решения, если прекрасно все решается и без интегралов. Возьмем ту же задачу с площадью.

И оно решается, записывается и воспринимается намного проще чем через интеграл. И совершенно не обязательно даже строить график функции. То есть в случае с интегралом мы производим массу никому не нужных записей и просто усложняем себе жизнь.

Это конечно всё здорово, но я ничего не понял как решать интеграл Что и куда подставлять Как решать их. Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Найти перемещение точки за промежуток времени . Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать безразлично одну вместо другой. Последнее в образовательном блоге Как научить ребенка читать? Глаголы «сводиться» и «становиться» пишутся БЕЗ «Ь». Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Напрашивается вывод — интегралы нахрен никому не нужны. Хотелось бы увидеть ту задачу, точка минимума функции как найти проще было бы решить при помощи интеграла, чем обычными простыми способами. Задача с прямоугольником дана для пояснения сути интеграла.

В самом начале статьи показан график криволинейной трапеции. Так вот, можно отсечь от него прямоугольник и легко найти его площадь. А как быть с той волнистой частью? Точка минимума функции как найти раз для таких неудобных случаев и применяют интеграл.

Ага, а ты возьми какую-нибудь невъебическую функцию построй ее график и посчитай площадь фигуры без интеграла, а я посмеюсь! Все точка минимума функции как найти , на пальцах даже написано, можно сказать. Ну вроде понятно Завтра экзамен Вот примеров бы побольше не помешало точно.

В школе не задумывалась над тем нафиг это нужно,решала и всё. Сейчас снова столкнулась спустя почти 30 лет и обалдеваю от этих заворотов. Порывшись в своих школьных тетрадях понимаю,что тогда тоже был завал,потому ничерта понять не могу — голова пухнет от этого «дурдома»,а зачёт сдать надо. Для меня не полностью все же решился вопрос по решению интегралов. Было бы интереснее послушать еще и каким образом уравнение формируется и в каких случаях.

Получается, что решение интегралов это совмещение несовместимого и деление того, что в принципе сложно было бы сделать, но именно при помощи интергальной системы и становится все вполне реально найти ответы. Решение интегралов может объяснено и доходчиво, только сами интегралы для меня какие то не доходчивые.

Сколько над ними не бьюсь, ничего не получается. Большая просьба к автору статьи как можно больше примеров привести с решениями, которые используются на зачетах и экзаменах.

Понять то я вроде бы и понял, но хотелось бы как можно больше примеров рассмотреть, основные свойства интегралов я конечно вызубрил, но не могу сказать что правильно смогу все свои знания применить. А я вот ничего совершенно не понял. Вроде бы простейший пример с прямоугольником, а все равно не понятно.

Это выражение даёт точное значение угла наклона прямой линии. Введения в анализ ростки новой трактовки понятия функции, но в тексте говорится лишь о том, что кривые, а вовсе не функции, могут не быть представимы в виде единого выражения для счёта, то есть одной функции. Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий. Точнее, это касается значения первообразных для определённых интегралов. Ага, а ты возьми какую-нибудь невъебическую функцию построй ее график и посчитай площадь фигуры без интеграла, а я посмеюсь!

Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. 3 числа из 4 еще и кончаются на 4! Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях. Интегралы могут быть определенными и неопределенными.

Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первобразной. Задача с прямоугольником дана для пояснения сути интеграла. Через несколько секунд решение появится ниже. Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис.

Как найти первообразную функции

Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов. Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Автобусы и в город, и в посёлок ходит круглосуточно. В этом случае отключите его и обновите страницу. Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что известна природа кривой.

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Как решать интегралы, и что они в принципе обозначают — объясненно доходчиво. В ядерной медицине исчисление используется для разработки моделей переноса излучения в целевой терапии опухолей. Завтра контрольная, и в голове пусто. Геометрически производная равна углу наклона касательной к графику функции f в точке a. Дифференциальное исчисление изучает определение, свойства и применение производных функций.

Наверное необходимо более ранние азы математики наверстывать, чтобы потом и этот материал быстро усвоился. Доступно о том, как решать неравенства. В этом случае отключите его и обновите страницу. Через несколько секунд решение появится ниже. Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила.

Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. Приемы будет даны для общего ознакомления без примеров решения, чтобы не перегружать статью. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов. То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями. Функция переменного как найти человека по фамилии и имени в соц сетях есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных. Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных. Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Обратите внимание, что вертикальный и горизонтальный масштаб в этом изображении разные. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В этом случае отключите его и обновите страницу.

Видео Как найти первообразную функции

Где купить автомобильный держатель iphone 4

К сожалению, в свое время я не получил никакого образования - закончил 9 классов и все. Поэтому мне не оставалось ничего, как найти работу без образования, и устроился таксистом. Сразу же мне понадобился

Тур по Украине

В последнее время, люди выезжая отдыхать в отпусках, стараются не просто полежать в комфортной гостинице, или на теплом песке, а как можно сильнее слиться с природой, ощутить ее дух и набраться ее

Где купить бленду для фотоаппарата

Я себе заказывал здесь бленду вот для фотоаппарата, заказывал бленду EW-60C для Canon EF-S 18-55mm f/3. 5-5. 6, материал у нее пластик,

Хс В мире компьютерных игр существует множество разнообразных увлекательных тем. Но некоторые игры пользуются особенной популярностью у геймеров, да прочим, и вообще у подавляющего большинства представителейКурсы android алматы Сегодня все больше будущих мам, и даже пап, интересуются тем, как правильно вести себя во время вынашивания ребенка и как действовать, когда наступят роды. Именно поэтому многим женщинам-бизнесменамФлажки на палочке Человек, получивший такой рекламный, информационный или агитационный флажок на палочке с вероятностью в 70% оставит его себе на память, что превращает обычный флажок с логотипом в эффективный рекламныйПромо жилет Промо накидки – это наиболее оптимальное решение для фирм и компаний, которые нуждаются в недорогой рекламной форме. Накидки могут применяться промоутерами и на рекламных выставках компании, и при рекламныхФлаги Что такое флаг, людям было известно достаточно давно. Императоры, военачальники, торговые объединения так или иначе использовали такую форму для собственной идентификации. Так что, говоря о том, что такоеСтол из искусственного камня Высококачественная, надежная, оригинальная и красивая мебель в наше время предлагается во многих вариантах и из различных материалов. Понятно, что каждому хочется иметь удобную и эстетичную мебель, котораяКурсы web программирования Курс Web Developer организован как форма активного обучения, целью которого является освоение и применение на практике ( в рабочем проекте ) всех инструментов и технологий, необходимых веб-разработчику.

milogy.net

Внеклассный урок - Первообразная. Интегрирование

Первообразная. Интегрирование.

 

Первообразная.

Первообразную легко понять на примере.

Возьмем функцию у = х3. Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х3 является 3х2:

(х3)' = 3х2.

Следовательно, из функции у = х3 мы получаем новую функцию: у = 3х2.Образно говоря, функция у = х3 произвела функцию у = 3х2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.

То есть: функция у = х3 является первообразной для функции у = 3х2.

Определение первообразной:

Если F'(x) = f(x), то функцию у = F(x) называют первообразной для функции у =  f(x).

В нашем примере (х3)' = 3х2, следовательно у = х3 – первообразная для у = 3х2.

 

Интегрирование.

Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.

Интегрирование – это процесс нахождения функции по заданной производной.

 Приведенный выше пример как раз является примером интегрирования: по производной (х3)' мы вычислили функцию у = 3х2.

 

Правила и формулы для первообразной.

(1)

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции у = 3х2 + sin x.

Решение:

Мы знаем, что первообразной для 3х2 является х3.

Первообразной для sin x является –cos x.

Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:

у = х3 + (–cos x),

у = х3 – cos x.

Ответ: для функции у = 3х2 + sin x первообразной является функция у = х3 – cos x.

 

(2)

kF(x) является первообразной для kf(x), если F(x) является первообразной для f(x).

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции у = 2 sin x.

Решение:

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.

Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x.Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.

 

(3)

Если  у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то для функции y = f(kx + m) первообразной является функция:

                                                                             1                                                                      y = — F (kx + m)                                                                             k

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции y = sin 2x.

Решение:

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.

Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x:

       1y = — · (–cos 2x),       2

            cos 2xy = – ————               2

                                                                                                                       cos 2xОтвет: для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – ————                                                                                                                           2

(4)

Если у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то функция y = f(x) имеет бесконечное множество первообразных, имеющих вид:

y = F(x) + C

 

Пример-пояснение.

Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x.

Для этой функции все первообразные имеют вид:

            cos 2xy = – ———— + C.               2

 

Пояснение.

Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x) равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1' = 0.

В таком же порядке читаются и остальные строчки.

Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:

(-cos x)' = sin x

Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.

Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x.

Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x.

 

raal100.narod.ru

1. Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любогох из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называютподынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

Геометрический смысл неопределенного интеграла. График первообразной Д(х) называют интегральной кривой. В системе координат х0у графики всех первообразных от данной функции представляют семейство кривых, зависящих от величины постоянной С и получаемых одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси 0у. Для примера, рассмотренного выше, имеем:

J 2 х^х = х2 + C.

Семейство первообразных (х + С) геометрически интерпретируется совокупностью парабол.

Если из семейства первообразных нужно найти одну, то задают дополнительные условия, позволяющие определить постоянную С. Обычно с этой целью задают начальные условия: при значении аргумента х = х0 функция имеет значение Д(х0) = у0.

Пример. Требуется найти ту из первообразных функции у = 2 х, которая принимает значение 3 при х0 = 1.

Искомая первообразная: Д(х) = х2 + 2.

Решение. ^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; С = 2.

2. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме самой этой функции и произвольной постоянной:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, причем 

5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:

6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:

, причем 

7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:

Если , то

8. Свойство:

Если , то

Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной, который более подробно рассмотрен в следующем разделе.

Рассмотрим пример:

3. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):

Вообще, f’(u)du = d(f(u)). эта (формула очень часто используется при вычислении интегралов.

Пример:

 Найти интеграл 

Решение. Воспользуемся свойствами интегралаи приведем данный интеграл к нескольким табличным.

4. Интегрирование методом подстановки.

Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.

Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Введем новую переменную . Выразимх через z:

Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:

Из таблицы первообразных имеем .

Осталось вернуться к исходной переменной х:

Ответ:

5. Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям основано на представлении подынтегрального выражения в виде произведения и последующем применении формулы. Этот метод является очень мощным инструментом интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции, метод интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата. Для примера найдем множество первообразных функции арктангенс.

Пример.

Вычислить неопределенный интеграл .

Решение.

Пусть , тогда

Следует отметить, что при нахождении функции v(x) не прибавляют произвольную постоянную С.

Теперь применяем формулу интегрирования по частям: 

Последний интеграл вычислим по методу подведения под знак дифференциала.

Так как , то. Поэтому

Следовательно, где.

Ответ:

.

studfiles.net

Лекция "Первообразная. Понятие первообразной. Основное свойство первообразной функции" (11-й класс)

Разделы: Математика

Цель:

  • Формирование понятия первообразной.
  • Подготовка к восприятию интеграла.
  • Формирование вычислительных навыков.
  • Воспитание чувства прекрасного (умение видеть красоту в необычном).

Математический анализ — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений.

Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа, называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении функции в “малом”.

Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1.

Пусть (х)`=3х2. Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х3, ибо (х3)`=3х2Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять f(х)= х3+1 f(х)= х3+2 f(х)= х3-3 и др.

Т.к.производная каждой из них равно 3х2. (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х3+С, где С - любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х2

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х3 первообразная для f(х)=3х2 на (- ∞ ; ∞ ).  Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х3)`=3х2

Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных (смотри пример № 1).

Пример № 2. Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на промежутке ( 0; + ), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство. F`(х)= (х 1/2)`=1/2х-1/2=1/2х

Пример № 3. Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на промежутке (-п/2; п/2), т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos23х

Пример № 4.Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х2 на промежутке (0;∞) т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х2

Лекция 2.

Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции.

При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.

Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.

Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х0. Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.

Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке.

Действительно, для произвольного х1 и х2 из промежутка J по теореме о среднем значении функции можно записать: f(х2)- f(х1)=f`(с) (х2- х1), т.к. f`(с)=0, то f(х2)= f(х1)

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J. Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х), тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J. Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J. Следовательно, Φ(х)- F(х) = С. Откуда Φ(х)= F(х)+С. Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число. Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.

Решение: Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных.

F1 (х) = Sin х-1 F2 (х) = Sin х F3 (х) = Sin х+1

Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).

Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)

Решение: F(х)=х2+С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи. Следовательно, 4 = 12+С С = 3F(х) = х2+3

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai