Функция: область определения и область значений функций. Как найти область определения линейной функции


Как найти область определения функции

На уроке о понятии функции мы узнали, что существует X - множество, на котором формула, которой задана функция, имеет смысл. В математическом анализе это множество часто обозначают как D (область определения функции). В свою очередь множество Y обозначают как E (область значений функции) и при этом D и E называют подмножествами R (множества действительных чисел).

Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью её определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл, то есть наибольшее множество значений аргумента, которое приводит к действительным значениям функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором "функция работает".

Для общего понимания пример пока без формулы. Функция задана в виде пар отношений:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)}.

Найти область определения это функции.

Ответ. Первый элемент пар - это переменная x. Так как в задании функции даны и вторые элементы пар - значения переменной y, то функции имеет смысл только для тех значений икса, которым соответствует определённое значения игрека. То есть берём все иксы данных пар в порядке возрастания и получаем из них область определения функции:

{2, 4, 5, 6, 7}.

Та же логика работает, если функция задана формулой. Только вторые элементы в парах (то есть значения игрека) получаем, подставляя в формулу те или иные значения икса. Однако, чтобы найти область определения функции, нам не нужно перебирать все пары иксов и игреков. Например, как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ()? Нужно всего лишь решить неравенство

x - 5 ≥ 0,

так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции - все значения икса больше пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти до плюс бесконечности).

Если вы пользуетесь компьютерными программами, которые на основании введённых данных выдают какой-то ответ, то можете заметить, что при некоторых значениях введённых данных программа выдаёт сообщение об ошибке, то есть о том, что при таких данных ответ не может быть вычислен. Такое сообщение предусмотрено авторами программы, если выражение для вычисления ответа достаточно сложно или касается какой-то узкой предметной области, или же предусмотрено авторами языка программирования, если дело касается общепринятых норм, например, что нельзя делить на нуль.

Но и в том и в другом случае ответ (значение некоторого выражения) не может быть вычислен по той причине, что выражение при некоторых значениях данных не имеет смысла.

Пример (пока не совсем математический): если программа выдаёт название месяца по номеру месяца в году, то, введя "15", вы получите сообщение об ошибке.

Чаще всего вычисляемое выражение как раз и представляет собой функцию. Поэтому такие недопустимые значения данных не входят в область определения функции. И в вычислениях от руки так же важно представлять область определения функции. Например, вы вычисляете некоторый параметр некоторого изделия по формуле, представляющей собой функцию. При некоторых значениях аргумента на входе вы на выходе не получите ничего.

Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.

Пример 1. Найти область определения функции y = 2.

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

В случае, когда функция задана формулой и n - натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если - 1 ≤ x ≤ 1. Следовательно, область определения данной функции - [- 1; 1].

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a - положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[;

если a - отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[.

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы - так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции - вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если - положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[;

если - отрицательное, то областью определения функции является множество ]0; + ∞[.

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции - степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции - множество [0; + ∞[.

Пример 5. Найти область определения функции .

Решение. Дробный показатель степени данной степенной функции - отрицательный. Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля::

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях "икса" не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции - вся числовая ось, или, что то же самое - множество R действительных чисел, или, что то же самое - ]- ∞; + ∞[.

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Область определения функции y = cos(x) - так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) - множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x) - множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция - десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь - синус "икса". Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при "иксе" равным нулю, "пи", два, умноженном на "пи" и вообще равным произведению числа "пи" и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k - целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) - множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) - так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) - множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) - так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок [- 4; 4].

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок [0; 1].

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции - множество ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 13. Найти область определения функции .

Решение. Область определения первого слагаемого - данной функции - множество R действительных чисел, второго слагаемого - все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции - все x, кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции - вся числовая прямая или, что то же самое - множество R действительных чисел или, что то же самое - ]- ∞; + ∞[.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо "икса", знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 16. Найти область определения функции .

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2].

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Если функция задана формулой вида y = kx + b, то область определения функции - множество R действительных чисел.

Весь раздел "Исследование функций"

function-x.ru

Область определения функции, теория и примеры

1) Функцию можно представить в виде разности двух функций

   

Функция является многочленом и её областью определения есть множество всех действительных чисел .

Функция является дробно-рациональной. Найдем значения , которые обнуляют знаменатель

   

Таким образом, область определения функции находится из системы

   

2) Для нахождения области определения решим неравенство

   

Разложим на множители левую часть этого неравенства. Для этого решим уравнение . По теореме Виета: , отсюда . Таким образом, неравенство примет вид

   

Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак неравенства на полученных интервалах.

Таким образом, .

3) Функция представляет собой дробно-рациональную функцию, в числителе которой многочлен. Область определения многочлена есть множество действительных чисел . В знаменателе корень, область его определения находим из системы

   

Таким образом, .

ru.solverbook.com

Как найти область определения функции?

Как найти область определения функции? Ученикам средних классов приходится часто сталкиваться с данной задачей.

Родителям следует помочь своим детям разобраться в данном вопросе.

Математические понятия

Задание функции.

Напомним основополагающие термины алгебры. Функцией в математике называют зависимость одной переменной от другой. Можно сказать, что это строгий математический закон, который связывает два числа определенным образом.

В математике при анализе формул числовые переменные подменяют буквенными символами. Наиболее часто используют икс («х») и игрек («у»). Переменную х называют аргументом, а переменную у — зависимой переменной или функцией от х.

Существуют различные способы задания зависимостей переменных.

Перечислим их:

  1. Аналитический тип.
  2. Табличный вид.
  3. Графическое отображение.

Аналитический способ представляют формулой. Рассмотрим примеры: у=2х+3, у=log(х), у=sin(х). Формула у=2х+3 является типичной для линейной функции. Подставляя в заданную формулу числовое значение аргумента, получаем значение y.

Табличный способ представляет собой таблицу, состоящую из двух столбцов. Первая колонка выделяется для значений икса, а в следующей графе записывают данные игрека.

Графический способ считается наиболее наглядным. Графиком называют отображение множества всех точек на плоскости.

Для построения графика применяют декартовую систему координат. Система состоит из двух перпендикулярных прямых. На осях откладывают одинаковые единичные отрезки. Отсчет производят от центральной точки пересечения прямых линий.

Независимую переменную указывают на горизонтальной линии. Ее называют осью абсцисс. Вертикальная прямая (ось ординат) отображает числовое значение зависимой переменной. Точки отмечают на пересечении перпендикуляров к данным осям. Соединяя точки между собой, получаем сплошную линию. Она являться основой графика.

Виды зависимостей переменных

Определение.

В общем виде зависимость представляется как уравнение: y=f(x). Из формулы следует, что для каждого значения числа х существует определенное число у. Величину игрека, которая соответствует числу икс, называют значением функции.

Все возможные значения, которые приобретает независимая переменная, образуют область определения функции. Соответственно, все множество чисел зависимой переменной определяет область значений функции. Областью определения являются все значения аргумента, при котором f(x) имеет смысл.

Начальная задача при исследовании математических законов состоит в нахождении области определения. Следует верно определять этот термин. В противном случае все дальнейшие расчеты будут бесполезны. Ведь объем значений формируется на основе элементов первого множества.

Область определения функции находится в прямой зависимости от ограничений. Ограничения обусловливаются невозможностью выполнения некоторых операций. Также существуют границы применения числовых значений.

При отсутствии ограничений область определения представляет собой все числовое пространство. Знак бесконечности имеет символ горизонтальной восьмерки. Все множество чисел записывается так: (-∞; ∞).

В определенных случаях массив данных состоит из нескольких подмножеств. Рамки числовых промежутков или пробелов зависят от вида закона изменения параметров.

Укажем список факторов, которые влияют на ограничения:

  • обратная пропорциональность;
  • арифметический корень;
  • возведение в степень;
  • логарифмическая зависимость;
  • тригонометрические формы.

Если таких элементов несколько, то поиск ограничений разбивают для каждого из них. Наибольшую проблему представляет выявление критических точек и промежутков. Решением задачи станет объединение всех числовых подмножеств.

Множество и подмножество чисел

О множествах.

Область определения выражают как D(f), а знак объединения представлен символом ∪. Все числовые промежутки заключают в скобки. Если граница участка не входит во множество, то ставят полукруглую скобку. В ином случае, когда число включается в подмножество, используют скобки квадратной формы.

Обратная пропорциональность выражена формулой у=к/х. График функции представляет собой кривую линию, состоящую из двух веток. Ее принято называть гиперболой.

Так как функция выражена дробью, нахождение области определения сводится к анализу знаменателя. Общеизвестно, что в математике деление на нуль запрещено. Решение задачи сводится к уравниванию знаменателя к нулю и нахождению корней.

Приведем пример:

Задается: у=1/(х+4). Найти область определения.

Решение:

  1. Приравниваем знаменатель к нулю.х+4=0
  2. Находим корень уравнения.х=-4
  3. Определяем множество всех возможных значений аргумента.D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Ответ: областью определения функции являются все действительные числа, кроме -4.

Значение числа под знаком квадратного корня не может быть отрицательным. В этом случае определения функции с корнем сводится к решению неравенства. Подкоренное выражение должно быть больше нуля.

Область определения корня связана с четностью показателя корня. Если показатель делится на 2, то выражение имеет смысл только при его положительном значении. Нечетное число показателя указывает на допустимость любого значения подкоренного выражения: как положительного, так и отрицательного.

Неравенство решают так же, как уравнение. Существует только одно различие. После перемножения обеих частей неравенства на отрицательное число следует поменять знак на противоположный.

Если квадратный корень находится в знаменателе, то следует наложить дополнительное условие. Значение числа не должно равняться нулю. Неравенство переходит в разряд строгих неравенств.

Логарифмические и тригонометрические функции

Пример.

Логарифмическая форма имеет смысл при положительных числах. Таким образом, область определения логарифмической функции аналогична функции квадратного корня, за исключением нуля.

Рассмотрим пример логарифмической зависимости: y=lоg(2x-6). Найти область определения.

Решение:

Ответ: (3; +∞).

Областью определения y=sin x и y=cos x является множество всех действительных чисел. Для тангенса и котангенса существуют ограничения. Они связаны с делением на косинус либо синус угла.

Тангенс угла определяют отношением синуса к косинусу. Укажем величины углов, при которых значение тангенса не существует. Функция у=tg x имеет смысл при всех значениях аргумента, кроме x=π/2+πn, n∈Z.

Областью определения функции y=ctg x является все множество действительных чисел, исключая x=πn, n∈Z. При равенстве аргумента числу π или кратному π синус угла равен нулю. В этих точках (асимптотах) котангенс не может существовать.

Первые задания на выявление области определения начинаются на уроках в 7 классе. При первом ознакомлении с этим разделом алгебры ученик должен четко усвоить тему.

Следует учесть, что данный термин будет сопровождать школьника, а затем и студента на протяжении всего периода обучения.

lediznaet.ru

Линейная функция, график - прямая. Нули, промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства, пересечения, свойства. Тесты

Тестирование онлайн

  • Линейная функция

Определение. График

Линейной функцией называется функция вида

где k, b - некоторые числа.

Функция вида называется прямой пропорциональностью, является частным случаем линейной зависимости.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Для построения графика достаточно знать координаты двух точек.

Свойства линейной функции

1) Область определения функции - множество всех действительных чисел

2) Множеством значений функции является множество всех действительных чисел

3) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

4) Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме особых случаев).

5) Функция непериодическая.

6) График функции пересекает ось Ох в точке , а ось Оу - в точке (0; b).

7) - является нулем функции.

8) Функция монотонно возрастает на области определения при k>0, монотонно убывает при k.

9) При k>0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке

При k: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке

10) Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k - тупой, если k=0, то прямая совпадает с осью Ох.

Для построения графика функции - прямой линии, очевидно, достаточно двух точек.

Особые случаи

1) Если b=0, получим уравнение y=kx. Функция такого вида называется прямой пропорциональностью. Графиком является прямая, проходящая через начало координат.

2) Если k=0, получим уравнение y=b. Графиком является прямая, параллельная оси Ох, проходящая через точку (0; b).

fizmat.by

Линейная функция - область определения и значения. Свойства, примеры и график

Функцию, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где  k и b — некоторые числа, х — независимая переменная, называют линейной. Рассмотрим несколько примеров.

В бассейне было 200 л. воды. В течении t мин. в бассейн каждую минуту поступало 80 л. воды. Тогда объем V воды в бассейне вычисляется по формуле: V = 80t + 200, где t ≥ 0. Эта формула задает функциональную зависимость переменной V от переменной t.

Первая бригада собрала 25 ящиков яблок; каждый рабочий второй бригады собрал по 2 ящика. Пусть во второй бригаде было х рабочих. Обозначим число всех ящиков, собранных двумя бригадами, буквой y. Тогда зависимость переменной y от переменной х выражается формулой y = 2x + 25, где х — натуральное число. Важно заметить, что областью определения линейной функции являются все действительные числа.

График линейной функции

Построим график функции y = -2x + 1.

Первым делом составим таблицу значений этой функции для некоторых значений аргумента.

  х   -3   -2   -1   0   1   2   3
  y   7   5   3   1   -1   -3   -5

Точки А(-3;7), В(-2;5), С(-1;3), Е(0;1), Т(1;-1), М(2;-3), К(3;-5) принадлежат искомому графику.

Все эти точки лежат на одной прямой, которая и является графиком функции y = -2x + 1.

Заметим, что вертикальная прямая, т. е. прямая перпендикулярная оси абсцисс не может служить графиком функции. Поскольку прямая однозначно задается любыми двумя своими точками, то то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений функции, имеющую лишь два столбца.  Рассмотрим пример.

Построим график функции y = — 3x + 2, составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента.

  х   0   1
  y   2   -1

Отметим на координатной плоскости точки (0;2) и (1;-1) и проведём через них прямую линию.

Эта прямая является графиком линейной функции y = — 3x + 2.

В формуле y = kx + b, задающей линейную функцию, не исключены случаи, когда k = 0 или b = 0. Рассмотрим случай, когда b = 0 и k ≠ 0. Тогда формула приобретает вид y = kx. Отсюда для всех не равных нулю значений аргумента можно записать, что y/x = k. Эта формула показывает, что для функции y = kx при x ≠ 0 отношение соответствующих значений зависимой и независимой переменных остается постоянным и равно k. Такую зависимость называют прямой прямой пропорциональностью. Поэтому линейную функцию, которую задают формулой y = kx, где k ≠ 0, называют прямой пропорциональностью.                 Функции y = 2x, y = x, y = — x, y = —1/3x — примеры прямых пропорциональностей. Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции, то её график — прямая. Особенностью является то, что эта прямая при любом значении k проходит через точку О(0;0). Действительно, если в формуле y = kx предположить что x = 0, то получим y = 0. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую-нибудь точку графика, отличающуюся от начала координат, и провести прямую через эту точку и начало координат О(0;0). Для примера изобразим графики прямых пропорциональностей которые приводились выше.

Рассмотрим еще один частный случай линейной функции. В формуле y = kx + b предположим k = 0. Получим y = b. Ясно, что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента. Рассмотрим пример, построим график функции y = 2. Как и для построения графика любой линейной функции, нужно знать две принадлежащие ему точки. Эти точки будут иметь одинаковые ординаты, равные 2. Их абсциссы выберем произвольно, например равные -2 и 0. Остается провести прямую через точки А(-2;2) и В(0;2), эта прямая будет параллельна оси абсцисс.

Важно, графиком функции y = 0 является ось абсцисс. Графиком функции y = b, где b ≠ 0, является прямая, параллельная оси абсцисс.

Рассмотрим пример, задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке ниже.

График данной функции пересекает ось ординат в точке (0;4). Подставив координаты этой точки в формулу y = kx + b, получаем 4 = k0 + b, откуда b = 4. Так как данный график пересекает ось абсцисс в точке (3;0), то подставив её координаты в формулу y = kx + 4, получим: 3k + 4 = 0, k = —4/3. в ответе получаем уравнение y = -4/3x + 4.

 

Автор публикации

не в сети 2 недели

Юрий

0 Комментарии: 3Публикации: 74Регистрация: 04-09-2015

prostoi-sovet.ru

Область определения функции

Сегодня потренируемся в отыскании области определения выражения и функции.

Когда отыскивают область определения функции, то часто она совпадает с областью определения выражения, задающего функцию: такая область определения называется естественной. Но бывает и так, что условия задачи накладывают особые ограничения: например, естественная область определения функции от (-8) до 8, но аргумент этой функции – время (или вес). Понятно тогда, что время (как и вес) не может быть отрицательной величиной и тогда естественная область определения  такой функции сужается до промежутка (0; 8).При отыскании области определения функции надо помнить о следующих ограничениях:1. При извлечении корня четной степени подкоренное выражение обязано быть неотрицательным (что не запрещает ему быть равным нулю). 2. Знаменатель дроби не может быть равным нулю. 3. Выражение, стоящее под знаком логарифма, не может быть отрицательным или равняться нулю. 4. Выражение, стоящее под знаком арксинуса или арккосинуса, не может превышать 1 по модулюТакже надо помнить, что область определения всегда нужно искать для исходной функции, до каких-либо преобразований.Например, функции  и  имеют разные области определения: для первой это – вся числовая ось, а вторая не определена в точке 0. То же относится к функциям  и  –  у первой область определения – также вся числовая ось, а у второй – [)

1. Найдите область определения выражения:Перепишем выражение:Так как выражение стоит под корнем четной степени, значение его не должно быть отрицательным:Дробь положительна, если числитель и знаменатель ее одновременно положительны или отрицательны. У нас в числителе положительное число, поэтому знаменатель неотрицателен. Кроме того, знаменатель не может быть равен нулю, поэтому неравенство становится таким:Получили квадратное неравенство. Находим корни квадратного уравнения, чтобы выяснить точки перемены знака:Наносим полученные точки на координатную прямую и расставляем знаки. Так как  (старший член) – со знаком «плюс», то ветви параболы направлены вверх, на самом правом отрезке ставим знак «плюс», а далее знаки меняются. Точки выкалываем, поскольку неравенство строгое:

Ответ: – круглые скобки показывают, что концы интервалов не входят в ответ.2. Найдите область определения выражения:Так как выражение стоит под корнем четной степени, значение его не должно быть отрицательным:Получили квадратное неравенство. Находим корни квадратного уравнения, чтобы выяснить точки перемены знака:

Наносим полученные точки на координатную прямую и расставляем знаки. Так как  (старший член) в исходном неравенстве – со знаком «минус», то ветви параболы направлены вниз, на самом правом отрезке ставим знак «минус», а далее знаки меняются. Точки закрашиваем, поскольку неравенство нестрогое.Ответ: – квадратные скобки показывают, что концы отрезка  входят в ответ.3. Найдите область определения функции:Очевидно, что область определения функции будет совпадать с областью определения выражения  – ищем естественную  область определения функции.  Данное выражение имеет смысл только при – задача сводится к решению этого неравенства. Определяем точки перемены знака:Изображаем полученные точки на числовой оси, ставим знаки:

Точки закрашены, концы интервалов входят в решение. Тогда область определения функции: (] [)4. Найдите область определения функции: Очевидно, что область определения функции будет совпадать с областью определения выражения  – ищем естественную  область определения функции.  Данное выражение имеет смысл только при ; – задача сводится к решению системы неравенств. Определяем точки перемены знака:Изображаем полученные точки на числовой оси:

Решение системы неравенств:  Область определения функции: [ )5. Найдите область определения функции: Очевидно, что область определения функции будет совпадать с областью определения выражения – ищем естественную  область определения функции.  Данное выражение имеет смысл только при – задача сводится к решению неравенства.Рассмотрим два случая:Решение: ИлиРешение: Область определения функции: [)6. Найти область определения функции:Решение:Ответ:

7. Найти область определения функции: Решение:Ответ: 8. Найти область определения функции:Решение:Ответ:

easy-physic.ru

область определения и область значений функций + ПРИМЕРЫ

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.

Функция это правило, с помощью которого  по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

НАПРИМЕР у=5+х 

1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3 

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

НАПРИМЕР.

1.у=1/х.            (наз.гипербола)

2. у=х^2.          (наз. парабола)

3.у=3х+7.         (наз. прямая)

4. у= √ х.           (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции. 

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается  D (f) или D (y).

 Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.

Область значения функции

Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).

Рассмотрим  Е (у) для 1.,2.,3.,4.

1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

3. Е (у)=( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел 

4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Рассмотрим примеры подробнее

1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)

Решение.

1. Найдем D (у)//т.е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)

3+х≠0

х≠-3

значит D (у) данной функции  ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.

2. Найдем  Е (у)//т.е. какие значения может принимать у, при всех возможных х

решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где  А є Е (у)

(3+х)А=4х

3А=4х-хА

3А=х(4-А)

х=3А/(4-А)

значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.

2) Постановка задачи. Найти  D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

 

Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7], 

Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4].

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Графический способ решения уравнений: алгоритм и примеры графиков Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСвойства функции: разбираем на примере

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru