Нахождение модуля (длины) вектора онлайн. Как найти модуль вектора по координатам


Как найти длину вектора: формула, примеры решений

Как найти?

Длина вектора обозначается как . Как найти длину вектора по его координатам? Для этого существует две формулы в зависимости от расположения вектора: на плоскости или в пространстве .

Формула

Формула длины вектора на плоскости:

Формула длины вектора в пространстве:

Если даны координаты точек начала и конца вектора и , то найти длину можно по формулам:

Примеры решений

Пример 1
Найти длину вектора по его координатам
Решение

Разберем вектор. Первая координата , а вторая координата . Так как даны две координаты, то делаем вывод, что задача плоская. Необходимо применить первую формулу. Подставляем в неё значения из условия задачи:

Ответ
Длина вектора
Пример 2
Найти длину вектора по координатам
Решение

Сразу замечаем, что дана пространственная задача. А именно . Для нахождения длины вектора используем вторую формулу. Подставляем неизвестные в неё:

Ответ
Длина вектора
Пример 3
Найти длину вектора, если известны координаты его начала и конца.
Решение

Задача дана плоская судя по наличию только двух координат у векторов. Но даны на этот раз начало и конец вектора. Поэтому сначала находим координаты вектора , а только потом его длину по формуле координат:

Теперь когда координаты вектора  стали известны можно использовать привычную формулу:

Ответ

В статье мы ответили на вопрос:"Как найти длину вектора?" с помощью формул. А также рассмотрели практические примеры решения задач на плоскости и в пространстве. Следует заметить, что существуют аналогичные формулы для пространств больше, чем трёхмерные.

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Модуль вектора. Длина вектора.

Навигация по странице:

Определение длины вектора

Определение.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Основное соотношение. Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства модуль вектора a = {a1 ; a2; ... ; an} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = ( n ai2)1/2
Σ
i=1

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1. Найти длину вектора a = {2; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 = √4 + 16 = √20 = 2√5.

Пример 2. Найти длину вектора a = {3; -4}.

Решение: |a| = √32 + (-4)2 = √9 + 16 = √25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Пример 3. Найти длину вектора a = {2; 4; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Пример 4. Найти длину вектора a = {-1; 0; -3}.

Решение: |a| = √(-1)2 + 02 + (-3)2 = √1 + 0 + 9 = √10.

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Пример 5. Найти длину вектора a = {1; -3; 3; -1}.

Решение: |a| = √12 + (-3)2 + 32 + (-1)2 = √1 + 9 + 9 + 1 = √20 = 2√5

Пример 6. Найти длину вектора a = {2; 4; 4; 6 ; 2}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 + 62 + 22 = √4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √76 = 2√19.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru

4.2. Разложение вектора по ортам. Модуль вектора

10.Разложение вектора по ортам. Из прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.1) следует:

.

Но ,,,, Следовательно,

(4.3)

Равенство (4.3) и есть формула разложения вектора по ортам координатных осей.

Таким образом, координатная запись вектора может быть осуществлена двумя способами:

20.Модуль вектора. Векторявляется диагональю прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.1). Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

,

отсюда следует: , и наконец, получаем искомую формулу:

(4.4)

Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

4.3. Линейные операции над векторами.

Сформулируем правила действийнад векторами в координатной форме.

.Координаты суммы (разности) векторов равны суммам (разностям) соответствующих координат этих векторов.

Пусть тогда

(4.5)

При умножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляр.

Если и– скалярная величина, то

(4.6)

Покажем применение рассмотренного в этой главе материала к решению практической задачи.

Задача 4.1. Даны векторы:

Найти: координаты и модуль вектора

Решение.Используем координатную запись векторов и правила линейных операций над ними:

Модуль вектора вычислим по формуле (4.4):

Ответ.

4.4. Направляющие косинусы вектора

Определение 4.2. Направляющими косинусами ненулевого вектора называются косинусы углов, которые этот вектор образуют с осями координат (рис. 4.2).

Выразим координаты вектора через его модуль и углы:

С помощью данных равенств найдем выражения направляющих косинусов через координаты вектора и его модуль:

(4.7)

Вычислим сумму квадратов направляющих косинусов вектора :

Полученный результат в векторной алгебре сформулирован в виде следующего утверждения:

Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице:

(4.8)

Задача 4.2.Определить направляющие косинусы вектора а также убедиться в справедливости тождества(4.8).

Решение.10. Определим координаты и модуль вектора:

20. Вычислим направляющие косинусы вектора

30. Проверим справедливость тождества (4.8):

Ответ.

4.5. Координаты точки в пространстве. Вычисление координат вектора и его модуля по координатам его начала и конца.

Введем понятие координат точки в пространстве через понятие радиус-вектора.

Определение 4.3. Радиус-вектором точки М называется вектор с началом в начале координат и концом в точке М, то есть вектор (рис. 4.3).

В качестве координат точки М примем координаты радиус-вектора.

Определение 4.4. Координатами точки в пространстве называются координаты ее радиус-вектора.

Координаты точки М (рис. 4.3) обозначаются символом:, или. Таким образом,

Поставим задачу:найти координаты и модуль вектора , если известны координаты его начала и конца: (рис. 4.4).

Решение.Проведем в точкиАиВ радиус-векторыи, выразим координаты векторачерез координаты векторови(см. определение 4.4), получим:

(4.9)

Координаты вектора равны соответствующим разностям координат конца и начала этого вектора.

Задача 4.3.Даны две точки: Найти координаты, разложение по ортам координатных осей, модуль и направляющие косинусы вектора

Решение.Для определения координат векторавоспользуемся формулой (4.9):

По формуле (4.4) вычислим модуль вектора :

Найдем направляющие косинусы вектора :

Вычислим сумму квадратов направляющих косинусов:

Ответ.

studfiles.net

Физика. помогите пожалуйста) Как найти модуль перемещения и проекции векторов на координатные оси?

Проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменеию соответствующей координаты, т. е. Sx = X - X0 Sy = Y - Y0 Модуль вектора перемещения находят через проекции его на оси по теореме Пифагора.

Полиночка. это не надо для того что бы в будущем выйти замуж

это в разделе тригонометрии

это связано с триганометрией

touch.otvet.mail.ru

Как найти модуль вектора по заданным проэкциям на оси прямоугольной системы координат?

Модуль вектора - это длина соответствующего отрезка. Если у тебя есть проекции, значит, есть координаты начала и конца вектора по обеим осям. Модулем будет корень квадратный из суммы квадратов разниц координат по каждой из осей. Например, проекция на ось X у тебя - это отрезок (2,5). А на ось Y - (1,3). Тогда модуль будет корнем из (5-2)^2+(3-1)^2, что равно корню из 13.

учи геометрию

Величина модуля вектора находится по теореме Пифагора. Здесь гипотенуза прямоугольного треугольника = искомому модулю вектора, а катеты - это длины проекций на оси Х и У. Таким образом нужно: 1) Определим длину проекции по Х (разность координат Х) 2) Определим длину проекции по У (разность координат по У) 3) По теореме Пифагора, модуль вектора = Квадратный корень из (длина по Х в квадрате + длина по У в квадрате)

touch.otvet.mail.ru

Нахождение модуля (длины) вектора

Главная » Векторы » Нахождение модуля (длины) вектораНахождение координат вектора, Нахождение модуля (длины) вектора, Сумма и разность векторов, Умножение вектора на число, Скалярное произведение векторов, Угол между векторами
Модуль вектора
Введите координаты концов вектора A и B(если точки находятся на плоскости,то просто не вводите координаты z)
Точка А:   xA = yA = zA =
Точка В:   xB = yB = zB =
или введите координаты вектора AB
xAB = yAB = zAB =
Найти модуль вектора AB   
Установить такой виджет себе на сайт© MathOnline.um-razum.ru


загрузка...

Facebook

Twitter

Мой мир

Вконтакте

Одноклассники

Google+

Установить себе на сайт виджет "Нахождение модуля (длины) вектора"
Реклама
Сайты-партнеры
  • ЕГЭ по математике: решение задач, видеоуроки
  • Видеоуроки и презентации для учителя математики, информатики

mathonline.um-razum.ru

Как определить модуль вектора

Объектами векторной алгебры являются отрезки прямой, имеющие направление и длину, называемую модулем. Чтобы определить модуль вектора, следует извлечь квадратный корень из величины, представляющей собой сумму квадратов его проекций на координатные оси.

Инструкция

  • Векторы характеризуются двумя основными свойствами: длиной и направлением. Длина вектора называется модулем или нормой и представляет собой скалярное значение, расстояние от точки начала до точки конца. Оба свойства применяются для графического изображения различных величин или действий, например, физических сил, движения элементарных частиц и пр.
  • Местоположение вектора в двухмерном или трехмерном пространстве не влияет на его свойства. Если перенести его в другое место, то изменятся лишь координаты его концов, однако модуль и направление останутся прежними. Эта независимость позволяет использовать средства векторной алгебры в различных вычислениях, например, определения углов между пространственными прямыми и плоскостями.
  • Каждый вектор можно задать координатами его концов. Рассмотрим для начала двухмерное пространство: пусть начало вектора находится в точке А (1, -3), а конец – в точке В (4, -5). Чтобы найти их проекции, опустите перпендикуляры на ось абсцисс и ординат.
  • Определите проекции самого вектора, которые можно вычислить по формуле:АВх = (xb - xa) = 3;ABy = (yb - ya) = -2, где:ABx и ABy – проекции вектора на оси Ох и Оу;xa и xb – абсциссы точек А и В;ya и yb – соответствующие ординаты.
  • В графическом изображении вы увидите прямоугольный треугольник, образованный катетами с длинами, равными проекциям вектора. Гипотенузой треугольника является величина, которую нужно вычислить, т.е. модуль вектора. Примените теорему Пифагора:|АВ|² = ABx² + ABy² → |AB| = √((xb - xa)² + (yb – ya)²) = √13.
  • Очевидно, что для трехмерного пространства формула усложняется путем добавления третьей координаты – аппликат zb и za для концов вектора:|AB| = √((xb - xa)² + (yb – ya)² + (zb - za)²).
  • Пусть в рассмотренном примере za = 3, zb = 8, тогда:zb – za = 5;|AB| = √(9 + 4 + 25) = √38.

completerepair.ru