Арктангенс, арккотангенс – свойства, графики, формулы. Как найти арктангенс числа


Арктангенс, арккотангенс - свойства, графики, формулы

Арктангенс, arctg

Арктангенс ( y = arctg x )  – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения    и множество значений  .tg(arctg x) = x     arctg(tg x) = x    

Арктангенс обозначается так:.

График функции арктангенс

График функции   y = arctg x

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Арккотангенс ( y = arcctg x )  – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения    и множество значений  .ctg(arcctg x) = x     arcctg(ctg x) = x    

Арккотангенс обозначается так:.

График функции арккотангенс

График функции   y = arcctg x

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x.

Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

  y = arctg x y = arcctg x
Область определения – ∞ < x < ∞ – ∞ < x < ∞
Множество значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы, минимумы нет нет
Нули, y = 0 x = 0 нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2
π
0

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

 x arctg x arcctg x
град. рад. град. рад.
– ∞ – 90° 180° π
– 60° 150°
– 1 – 45° 135°
– 30° 120°
0 0 90°
30° 60°
1 45° 45°
60° 30°
+ ∞ 90° 0

≈ 0,5773502691896258 ≈ 1,7320508075688772

Формулы

Формулы суммы и разности

     при      при      при

     при      при      при

Выражения через логарифмы, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >

Производные высших порядков:Пусть  . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:;.Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >Там же даны формулы производных первых пяти порядков.

Аналогично для арккотангенса. Пусть  . Тогда;.

Интегралы

Делаем подстановку   x = tg t   и интегрируем по частям: ; ;;

Выразим арккотангенс через арктангенс: .

Разложения в ряды

При   |x| ≤ 1   имеет место следующее разложение: ; .

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:tg(arctg x) = x     ctg(arcctg x) = x    .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса: arctg(tg x) = x     при arcctg(ctg x) = x     при .

Использованная литература:И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 14-07-2014   Изменено: 06-06-2017

1cov-edu.ru

Математика для блондинок: Арктангенс на калькуляторе

Как всегда, самое интересное происходит в комментариях. Вот один из последних:

Извините за беспокойство. Для супруги тут понадобилась тригонометрия, для юридического(!) института (маленький курс информатики - раздел "работа с калькулятором"). С синусами и косинусами я (завязавший с алгеброй 10 лет назад) кое-как разобрался.В ступор вводит "элементарный" вопрос...Есть tg3х=4, надо вычислить угол "х"...Не знаю с какой стороны подойти...Разъясните... Спасибо.

Этого зверя приручают через обратные тригонометрические функции. В нашем случае нужно использовать арктангенс. Выглядит это приблизительно вот так:

tg3х=4arctg(tg3х)=arctg4

Дальше довольно просто (объясняю для юридического))))))) - арктангенс тангенса равен просто углу, в данном случае 3х. Это типа украсть и положить обратно))) Дословный перевод с бытовухи на язык тригонометрии будет звучать приблизительно так:

"Украли угол 3х" - tg3x;"Украли и положили на место угол 3х" - arctg(tg3x).

Теперь совсем детский вопрос: "Что у на лежит на месте?". Правильно, угол 3х. С левой частью мы разобрались.

Рассмотрим правую часть. Тупые менты обнаружили у скупщика краденного число 4. Из оперативных данных известно, что перекупщик сдал краденный угол по курсу тангенса. Вопрос не для тупых ментов: "Какой угол был украден, если скупщик краденного по курсу тангенса получил за него число 4?". Для ответа на этот вопрос мы можем использовать таблицу значений тангенса в качестве прейскуранта обмена углов на числа среди скупщиков краденного. Но у нас тупо задана тема "работа с калькулятором". Значит мы обязаны пользоваться не бумажной таблицей (в век планшетов смешно звучит), а пластмассовым калькулятором.

Как найти арктангенс на калькуляторе? Я воспользуюсь тем, что у меня всегда под рукой. В калькуляторе "Виндовс" вводим число 4, затем нажимаем кнопочку "Inv".

Арктангенс на калькуляторе. Шаг 1.
При этом внимательно следим за кнопочкой "tan". На этой кнопочке должна появиться степень минус единичка. Четверка должна оставаться неизменной. 
Арктангенс на калькуляторе. Шаг 2.
Вот теперь нажимаем кнопочку тангенса в минус первой степени и получаем значение угла, тангенс которого равен 4. Если у нас на калькуляторе включен пыптик "Градусы", то получим 75,963756532073521417107679840837 градусов.
Арктангенс на калькуляторе. Шаг 3.
Если на калькуляторе включен пыптик "Радианы", получим 1,3258176636680324650592392104285 радиан.
Арктангенс в радианах
Вот теперь мы можем восстановить картину до совершения преступления (в градусах и радианах картины маслом выглядят по-разному). Запишем с самого начала в градусах, округлив до трех знаков:

tg3х=4arctg(tg3х)=arctg43х=75,964х=75,964/3х=25,321 (градуса)

То же самое, но теперь в радианах:

tg3х=4arctg(tg3х)=arctg43х=1,326х=1,326/3х=0,442 (радиан)

Если у вас в руках калькулятор какой-либо другой конструкции, то вам нужно методом научного тыка выковырять из калькулятора нужный результат)))

Справедливости ради нужно отметить, что инквизиторы от математики могут потребовать учесть в ответе периодичность тригонометрической функции тангенс. В этом случае к полученному ответу добавляем маразм в виде "плюс пи эн" (для радиан) или "плюс 180 эн". Специально для особо ортодоксальных математиков можно указать, что эн равно нулю, плюс-минус единице, плюс-минус два и так далее до скончания века, пардон, чисел.

Ну, и особенно меня порадовал ответ на мои объяснения.

...Огромная вам благодарность за это математическое расследование...Ваше объяснение настолько вдохновило, что на этой волне мы с супругой решили все «задачи с калькулятором». Ещё раз спасибо!P.S. Почитал ваш профиль в гугле. И скажу, что ещё как гражданин России, разделяю ваши взгляды на террористические Донецк и Луганск. Желаю сил вам и украинскому народу додавить террористов и потихоньку возвращать себе К.R.Ы.М. Мы верим в Украину без кRемлR! Успехов вам!

Я тоже верю, что донецких и луганских террористов мы замочим даже в кремлевском сортире, что российская армия уберется с Украины, что путин перестанет совать свое свиное рыло в чужие дела и что Крым снова будет Украиной.

www.webstaratel.ru

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Арксинус

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График y = arcsin x имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

  1.  
  2. Так как f(x) нечетная, то arcsin (- x) = — arcsin x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. На всей своей протяженности график возрастает.

Если сопоставить графики sin и arcsin, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

 

 

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — [0, π].
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

 

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg.  Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

 

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро.  Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу  arcsin (sin α) = α, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1].  При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

 

 

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Как посчитать арктангенс | Сделай все сам

При необходимости перемножить либо поделить несколько чисел вопроса, каким инструментом воспользоваться, не появляется. А вот чем посчитать кое-что больше трудное (скажем, значение обратной тригонометрической функции) — вопрос с несколько менее явственным результатом. Как на практике посчитать значение арктангенса ?

Инструкция

1. Есть несколько методов вычислить значение арктангенса . Один из них знаменит нам со школы — воспользоваться таблицами Брадиса. Изредка, в полевых условиях, данный вариант может быть исключительным.

2. Иной метод — применять типовой калькулятор ОС Windows. Для этого вначале переключите его в расширенный режим — в меню, в разделе «Вид» выберите пункт «Инженерный» и тогда функциональных кнопок в калькуляторе гораздо прибавится.

3. Позже этого введите значение, арктангенс от которого вам надобно вычислить — это дозволено делать и с клавиатуры, и щелкая надобные клавиши на калькуляторе мышью, и примитивно скопировав и вставив необходимое значение (CTRL + C и CTRL + V). После этого выберите тип единиц измерения, в которых вам необходимо получить результат (в радианах, градусах либо радах) — это делается выбором одного из 3 значений переключателя под полем ввода вычисляемого значения. Потом поставьте отметку в ячейке с надписью «Inv» — она инвертирует тригонометрические операции. Сейчас, нажав кнопку с надписью «tg», вы получите значение функции, обратной тангенсу, то есть надобное вам значение арктангенса .

4. И, финально же, в век интернета в сети не может не существовать источника, предлагающего решить и эту задачу в режиме онлайн. Онлайн-калькуляторы имеют комфортный интерфейс и больше продвинутые по сопоставлению со стандартным калькулятором Windows вероятности — скажем, дозволено вычислить не только значение одной функции, но и выражения из нескольких функций.

Видео по теме

jprosto.ru

Внеклассный урок - Арктангенс и арккотангенс

Арктангенс и арккотангенс

 

Арктангенс и арккотангенс, так же как и арксинус и арккосинус, являются обратными тригонометрическими функциями.

Арктангенс.

Арктангенс числа а – это такое число из отрезка от –π/2 до π/2, тангенс которого равен а.

Обозначается так: arctg a.

 

Говоря иначе:

arctg a = x,

следовательно tg x = a.

Условие: x больше –π/2, но меньше π/2

(–π/2 < x < π/2)

 

Формулы.

(1)

x = arctg a + πk

где k – любое целое число (k ∈ Z)

 (2)

arctg (–a) = –arctg a

 

Пример: Вычислить arctg 1.

Решение.

Решая, следуем буквально по таблице над примером.

Итак, в нашем примере а = 1. Значит:

arctg 1 = х.

Следовательно, tg x = 1. При этом x ∈ [–π/2; π/2].

Находим значение x:

Координату 1 имеет tg π/4. Значит:

x = π/4.

При этом π/4 ∈ [–π/2; π/2].

Ответ: arctg 1 = π/4.

 

Арккотангенс.

Арккотангенс числа а – это такое число в интервале (0; π), котангенс которого равен а.

Обозначается так: arcctg a.

 

Говоря иначе:

arcctg a = x,

следовательно ctg x = a.

Условие: x больше 0, но меньше π

(0 < x < π)

 

Формулы.

(1)

x = arcctg a + πk

(k ∈ Z)

 

(2)

arcctg (–a) = π – arcctg а

 

Пример: Вычислить arcctg 1.

Решение.

Опять следуем по таблице над нашим примером.

а = 1.

Следовательно:

ctg x = 1.

Осталось найти значение x (либо вычислить самим, либо посмотреть таблицу котангенсов):

x = π/4.

arcctg 1 = π/4.

Все полученные результаты не выходили из рамок интервала (0; π).

Пример решен.

raal100.narod.ru

Вывод формул обратных тригонометрических функций

Основные формулы

Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за значениями аргументов прямых функций. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения. Для определения главного значения, область определения тригонометрической функции сужают до интервала, на котором она монотонна и непрерывна. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.

В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения обратных функций:sin(arcsin x) = x     cos(arccos x) = x     tg(arctg x) = x      (–∞ < x < +∞)ctg(arcctg x) = x    (–∞ < x < +∞)

Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций. arcsin(sin x) = x     при arccos(cos x) = x     при arctg(tg x) = x     при arcctg(ctg x) = x     при

Если переменная x не попадает в указанный выше интервал, то ее следует привести к нему, применяя формулы тригонометрических функций (далее n - целое): sin x = sin(–x–π);     sin x = sin(π–x);     sin x = sin(x+2πn);cos x = cos(–x);     cos x = cos(2π–x);     cos x = cos(x+2πn);tg x = tg(x+πn);     ctg x = ctg(x+πn)

Например, если известно, что тоarcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .

Легко убедиться, что при   π – x   попадает в нужный интервал. Для этого умножим на –1:   и прибавим π:     или   Все правильно.

Обратные функции отрицательного аргумента

Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.

arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Поскольку   то умножив на –1, имеем:   или   Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.

Аналогично для остальных функций.arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x

arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x

Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс

Выразим арксинус через арккосинус.

Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку

Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на –1: и прибавим π/2: или Все правильно.

Итак,  

Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.

Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот

Поступаем аналогичным способом.

Формулы суммы и разности

Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.

Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin x,   Y = arcsin y. Формула применима при. Далее замечаем, что, поскольку arcsin(–x) = – arcsin x,   arcsin(–y) = – arcsin y,       то при разных знаках у x и y, X и Y также разного знака и поэтому неравенства     выполняются. Условие различных знаков у x и y можно написать одним неравенством: .   То есть при     формула справедлива.

Теперь рассмотрим случай x > 0 и y > 0, или X > 0 и Y > 0. Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: .   Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0, до π, то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:;;;.Поскольку   и   ;   то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:;.Подставляем   sin X = sin arcsin x = x:;;;.

Итак, полученная формула справедлива при     или .

Теперь рассмотрим случай   x > 0, y > 0   и   x2 + y2 > 1. Здесь аргумент синуса принимает значения:   .   Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса   :

.

Итак, при и.

Заменив x и y на – x и – y, имеем при и. Выполняем преобразования: при и.Или при и.

Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов: при или ; при и ; при и .

Аналогичным способом получаются остальные формулы:

при или ;при и ; при и ;

при ; при ;

при ; при ;

при ; при ; при ;

при ; при ; при .

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-07-2014

1cov-edu.ru

Как вычислить арктангенс

При наличии персонального компьютера существует выбор из нескольких относительно несложных способов расчета тригонометрических функций. Эти методы одинаково подходят как для вычислений обычных функции (например, синус), так и более сложных (например, арктангенс).

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как вычислить арктангенс" Как найти значение тригонометрических функции Как найти скорость, время, расстояние Как вырастить кристалл в домашних условиях из соли

Инструкция

1

Есть поколениями проверенный способ, который вообще не требует что-то считать - воспользоваться готовыми таблицами значений. Например - «Таблицами Брадиса». Можно использовать как классическое, то есть бумажное, издание, так и электронный вариант в формате PDF. В интернете есть возможность получить экземпляр, т.е. совсем не обязательно отправляться в магазин. Сделав это, останется только найти в таблице нужное значение арктангенса.

2

Впрочем, имея доступ в сеть, не обязательно искать готовые списки значений, можно найти он-лайн калькуляторы тригонометрических функций. По сравнению с таблицами пользоваться такого рода сервисам гораздо удобнее. Тем более что они предоставляют намного более продвинутые возможности, например, вычисление не единичной функции, а целой формулы, составленной из нескольких операций с тригонометрическими функциями.

3

Можно обойтись и без интернета - ОС Windows имеет встроенный калькулятор, который позволят вычислять в числе прочих функций и арктангенсы тоже. По умолчанию калькулятор запускается в самом простом своем варианте - без тригонометрических функций. Чтобы добраться до них надо раскрыть в меню раздел «Вид» и щелкнуть строку с надписью «Инженерный».

4

В расширенном калькуляторе наберите число, арктангенс которого нужно посчитать. Сделать это можно тремя способами. Самый быстрый - скопировать значение (CTRL + C) и вставить его (CTRL + V) в поле ввода калькулятора. Если возможности копировать нет, то можно набрать число с клавиатуры или пощелкать кнопки калькулятора курсором мышки. После ввода значения любым из способов надо выбрать единицы измерения для результата вычислений. Предусмотрено три варианта, из которых вам надо выбрать один, поставив напротив него метку в селекторе под полем ввода числа. Затем поставьте галочку в чекбоксе Inv - таким способом вы сообщите программе калькулятора, что функции, указанные на его кнопках, следует инвертировать. Осталось щелкнуть кнопку с надписью tg (тангенс) и калькулятор ее инвертирует (арктангенс), применит к заданному вами значению и покажет результат в указанных единицах.

Как просто

masterotvetov.com