Полное исследование функции и построение ее графика. Исследовать функции и построить график


Исследование функции и построение ее графика

1) Найдем область определения функции. Функция представляет собой рациональную дробь, поэтому нужно исключить значения обнуляющие знаменатель.

   

таким образом, область определения функции:

2) Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью ;

с осью .

Таким образом, функция проходит через начало координат — точку .

3) Функция не периодическая. Исследуем функции на четность:

   

Ни одно из равенств или не выполняется, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. График функции не будет иметь никакой симметрии.

4) Найдем асимптоты графика функции.

В точке функция разрывная. Определим, как ведет себя точка в окрестности этой точки

   

Таким образом, — уравнение вертикальной асимптоты.

Найдем наклонные асимптоты , где

   

   

   

Получаем уравнение наклонной асимптоты .

5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного:

   

   

Найдем критические точки: при

   

не существует при , но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак производной в каждом из интервалов и результаты занесем в таблицу

   

То есть точка — точка максимума.

6) Найдем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого находим вторую производную

   

   

   

   

Найдем критические точки: при не существует при , но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак второй производной в каждом из интервалов и результат занесем в таблицу:

Значение функции в точке перегиба . Точка — точка перегиба.

7) Используя полученные данные, строим пунктиром асимптоты и жирным график функции.

ru.solverbook.com

Исследование функций и построение графиков

Опорными точками при исследовании функций и построения их графиков служат характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат. С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот.

Эскиз графика функции можно (и нужно) набрасывать уже после нахождения асимптот и точек экстремума, а сводную таблицу исследования функции удобно заполнять по ходу исследования.

Обычно используют следующую схему исследования функции.

1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.

2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.

3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).

4. Находят и исследуют промежутки возрастания и убывания функции, точки её экстремума.

5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.

6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.

7. Составляют сводную таблицу исследования.

8. Строят график, учитывая исследование функции, проведённое по вышеописанным пунктам.

 Пример. Исследовать функцию

и построить её график.

Решение.

1. Область определения функции – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,

2. Напомним: из школьного курса известно, что функция y = f(x) называется чётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

.

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).

Функция y = f(x) называется нечётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; -y).

Наша исследуемая функция чётная, так как

её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.

3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как

Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.

4. Находим

Из уравнения

имеем

Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума. Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку

5. Находим

Из уравнения

получаем

т.е.

Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки

Следовательно, при x = 1 кривая меняет выпуклость на вогнутость. Так как

то

точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке

поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.

6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x = 0, имеем

Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с точкой максимума.

7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

Особенности графика

[-1, 0[

+

-

Возрастает

Выпуклый

0

0

-

1

(0; 1) – точка максимума

]0, 1[

-

-

Убывает

Выпуклый

1

-

0

- точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол

]1, +∞[

-

+

Убывает

Вогнутый

+∞

-

+

 

y = 0 – горизонтальная асимптота

 

8. Используя результаты исследования, строим график функции (см. рисунок).

Весь блок "Производная"

function-x.ru

Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции с последующим построением графика такова:

  1. Исследование области определения функции.
  2. Исследование функции на четность и нечетность.
  3. Нахождение точек пересечения графика с осями координат
  4. Исследование функции на точки разрыва. Нахождение вертикальных асимптот. Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
  5. Исследование функции на экстремум и интервалы монотонности функции.
  6. Исследование функции на интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Нахождение точек перегиба графика функции.
  7. Построение графика функции.

Условие задачи

Исследовать функцию и построить ее график:

Оказались на этой странице, пытаясь решить задачу на экзамене или зачете? Если так и не смогли сдать экзамен - в следующий раз договоритесь заранее на сайте о помощи онлайн по высшей математике.

Решение задачи

Исследование области определения функции. Исследование на четность и нечетность и нахождение точек пересечения графика с осями координат

1) Область определения функции:  

2)  

Функция является четной

 

3) График функции  пересекает ось  в точках  и . Ось  график функции не пересекает.

 

Исследование функции на точки разрыва и нахождение асимптот

4) 

В точке  функция не определена

В точке  существует разрыв 2-го рода.  

Прямая  –вертикальная асимптота. 

Для нахождения наклонной асимптоты вычисляем пределы:

 –горизонтальная  асимптота  

 

Исследование функции на экстремум и точки перегиба

5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции.

Первая производная на области определения в нуль не обращается

 -функция возрастает

 -функция убывает

6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

Вторая производная функции не равна нулю на всей области определения

–график функции вогнутый

– график функции вогнутый

Построение графика функции

7) График функции имеет вид:   

100task.ru

Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение графиков.

Решение.

1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции:

Область определения: $x^2-1\neq 0\Rightarrow x\neq 1;\,\,\, x\neq -1$ $D(f)=(-\infty; -1)\cup(-1; 1)\cup (1; +\infty).$. Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. Точки $x=-1$ и $x=1$ - точки разрыва.

 функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция не периодичная.

Точка пересечения с осью Oy: .

Точка пересечения с осью Ox: $y=0\Rightarrow\frac{1}{x-1}=0.$ Следовательно,  при всех из области определения. Т.е. кривая проходит через точку  и не пересекает ось Ох.

2)    Найдем асимптоты графика.

Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва. Найдем односторонние пределы функции  в этих точках.

. Таким образом, оба предела бесконечны и прямая  является вертикальной асимптотой.

. Ни один из пределов не рамен бесконечности, то есть в этой точке асимптоты нет – в точке имеем устранимый разрыв.

Наклонные асимптоты задаются уравнением , где 

 .

Таким образом прямая  - асимптота.

3) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы.

 

 Следовательно экстремумов функция не имеет.

x

1

y'

Не существует

-

y

 

 

Не существует

 

Производная  всюду имеет знак «-». Следовательно, функция убывает на всей области определения.

4)  Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

 Следовательно, точек перегиба функция не имеет.

x

1

y''

не существует

+

y

не существует

При     , то есть функция выпукла вверх, При     , то есть функция выпукла вниз.

5)    Используя полученные данные, построим график.

 

   

kontrolnye.com

Исследование функций и построение графиков

С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот. Характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат – служат опорными точками при исследовании функций и построения их графиков.

Обычно используют следующую схему исследования функции.

1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.

2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.

Функция y = f(x) называется чётной, если

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).

Функция y = f(x) называется нечётной, если

График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; -y).

3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).

4. Находят интервалы монотонности функции, точки её экстремума.

Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[, принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если

Функция называется убывающей на интервале ]a, b[, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если

5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.

График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале ]a, b[, если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 15).

График дифференцируемой функции называется вогнутым в этом интервале он расположен выше любой своей касательной  (рис. 16).

Теорема (достаточный признак вогнутости или выпуклости графика). Если для функции f(x) во всех точках интервала ]a, b[

то кривая y = f(x) вогнута в этом интервале; если же

во всех точках интервала ]a, b[, то кривая выпукла в этом интервале.

Точка графика непрерывной функции, в которой изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Из определения следует, что с одной стороны от точки перегиба кривая расположена под касательной, с другой стороны – над ней, или наоборот. Поэтому точку перегиба на графике принято показывать отрезком касательной, которая в этой точке пересекает кривую (рис. 17).

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке функция f(x) имеет первую производную , а вторая производная в этой точке равна нулю или не существует, и кроме того, при переходе через меняет знак, то

является точкой перегиба графика функции y = f(x).

6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.

7. Составляют сводную таблицу исследования.

8. Строят график функции.    

 Пример 4. Исследовать функциюи построить её график.

Решение.

1. Область определения – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,  2. Функция чётная, так как

её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.

3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как

Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.

4. Находим

Из уравненияимеем

Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума. Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку

5. Находим

Из уравненияполучаемт.е.

Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки

Следовательно, при x = 1 кривая меняет выпуклость на вогнутость. Так как

то

точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной в кривой в этой точке

поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.

6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x = 0, имеем

Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с точкой максимума.

7. Составим сводную таблицу исследования, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

Особенности графика

[-1, 0[

+

-

Возрастает

Выпуклый

0

0

-

1

(0; 1) – точка максимума

]0, 1[

-

-

Убывает

Выпуклый

1

-

0

- точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол

]1, +∞[

-

+

Убывает

Вогнутый

+∞

-

+

 

y = 0 – горизонтальная асимптота

   8. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 18).

Асимптоты ОЭФ

studfiles.net

Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение графиков.

Решение.

1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции:

Область определения: $x^2-1\neq 0\Rightarrow x\neq 1;\,\,\, x\neq -1$ $D(f)=(-\infty; -1)\cup(-1; 1)\cup (1; +\infty).$. Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. Точки $x=-1$ и $x=1$ - точки разрыва.

 функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция не периодичная.

Точка пересечения с осью Oy: .

Точка пересечения с осью Ox: $y=0\Rightarrow\frac{1}{x-1}=0.$ Следовательно,  при всех из области определения. Т.е. кривая проходит через точку  и не пересекает ось Ох.

2)    Найдем асимптоты графика.

Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва. Найдем односторонние пределы функции  в этих точках.

. Таким образом, оба предела бесконечны и прямая  является вертикальной асимптотой.

. Ни один из пределов не рамен бесконечности, то есть в этой точке асимптоты нет – в точке имеем устранимый разрыв.

Наклонные асимптоты задаются уравнением , где 

 .

Таким образом прямая  - асимптота.

3) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы.

 

 Следовательно экстремумов функция не имеет.

x

1

y'

Не существует

-

y

 

 

Не существует

 

Производная  всюду имеет знак «-». Следовательно, функция убывает на всей области определения.

4)  Вычислим вторую производную и с ее помощью исследуем график на интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

 Следовательно, точек перегиба функция не имеет.

x

1

y''

не существует

+

y

не существует

При     , то есть функция выпукла вверх, При     , то есть функция выпукла вниз.

5)    Используя полученные данные, построим график.

 

   

kontrolnye.com

13. Общая схема исследования функций и построения графиков.

13.1 Общая схема исследования и построения графика функции заданной явно.

Общее исследование функции следует проводить по приведенной ниже схеме:

1.Определить область существования функции, область непрерывности, точки разрыва.

2. Найти асимптоты функции.

3. Выяснить вопрос о периодичности.

4. Выяснить вопрос о четности или нечетности.

В случае, если функция окажется четной или нечетнойдостаточно исследовать функцию только при положительных значениях аргумента. При построении графика следует учесть, что график четной функции симметричен относительно оси ординат; график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

5.Найти точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью абсцисс - точки , где-решение уравнения;

с осью ординат- точки , где.

6. Найти промежутки монотонности и локальные экстремумы.

7.Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

8. Составить таблицу

Возрастает или убывает,

Выпукла или вогнута

Возрастает или убывает,

Выпукла или вогнута

Возрастает или убывает,

Выпукла или вогнута

Возрастает или убывает,

Выпукла или вогнута

знак

знак

знак

знак

знак

знак

знак

знак

Точки -все найденные в п.6-7 точки, в которых производные обращаются в нуль или не существуют.

9.На основании проведенного исследования построить график заданной функции.

Пример 26

Провести полное исследование и построить график функции .

Решение:

Область определения функции

Точка разрыва функции , функция непрерывна наи.

2. Асимптоты.

Вертикальная асимптота .

Поведение функции в окрестности :

Найдем наклонную асимптоту:

Прямая является наклонной асимптотой заданной кривой.

3. Функция не является периодической.

4. Четность функции

Условие четности или нечетности не выполнено. Заданная функция –функция общего вида.

5. Точки пересечения с осями.

График функции проходит через начало координат.

6. Промежутки монотонности, локальные экстремумы.

Найдем критические точки:

Исследуем знак производной методом интервалов:

знак

Найдем значения функции в критических точках:

7.Промежутки выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.

Найдем вторую производную.

Точки, в которых равна нулю или несуществует:

Исследуем знак второй производной методом интервалов:

8. Составляем таблицу.

0

-

+

0

+

-

-

0

+

-

0

+

-

+

+

перегиб

разрыв

Мин.

13.2 Общая схема исследования и построения графика функции заданной параметрически.

Функция задана параметрически

1.Исследовать область изменения ипри изменении параметра.

2. Найти значения параметра , при которыхи.

3.а)Найти значения параметра , при котрых. Найти вертикальную асимптоту

б) Найти значения параметра , при котрых. Найти наклонную асимптоту

,

4. Вычисляем и.Находим все значения параметра, при которых хотя бы одна из полученных производных обращается в нуль или терпит разрыв. Найденные значения параметра будем называть критическими.По формуле (9) определяем знак производнойв каждом из полученных интервалов.

5. Вычисляем вторую производную по формуле (16) или (17). Определяем значения параметрапри которыхобращается в нуль или терпит разрыв. Определяем промежутки выпукдости вогнутости согласно (40) и (41).

6. Строим таблицу

Область изм.

Область изм.

Область изм.

Знак

Знак

Знак

Знак

Знак

Поведение

7. Строим график функции.

Пример 27

Построить кривую (декартов лист), заданную параметрическими уравненниями:

Решение:

1.Обе функции определены при .

При этом

2.при

при .

3.а) При

При этом

Таким образом, вертикальных асимптот график функции не имеет.

б) Найдем наклонную асимптоту:

Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту:

4. Найдем производные и.

Найдем критические значения параметра

При обе производные терпят разрыв.

Таким образом, получаем следующие критические значения параметра :

Найдем по формуле (9):

5. Найдем :

6. Строим таблицу

Область изм.

Область изм.

Область изм.

Знак

Знак

Знак

Знак

Знак

Поведение

убывает,

вогнута

убывает,

вогнута

возрастает,

вогнута

убывает,

вогнута

возрастает,

выгнута

7. Строим график

Задания 11. Провести полное исследование и построить график функции:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

studfiles.net