График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность. График убывания и возрастания функции


9.Возрастание и убывание функции

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

  • если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

  • если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

  • найти область определения функции;

  • найти производную функции;

  • решить неравенства и на области определения;

  • к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

функция возрастает при , убывает на интервале (0;2].

studfiles.net

Возрастание и убывание функций | Алгебра

Определения

1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если  бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие

   

2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие

   

Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.

График функции на промежутках возрастания «идёт вверх» (чем правее x, тем выше y).

На промежутках убывания график «идёт вниз» (чем правее x, тем ниже y).

Пример 1.

Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x1;x5]:

Функция y=f(x) возрастает на промежутках [x2;x3] и [x4;x5]

Функция y=f(x) убывает на промежутках [x1;x2] и [x3;x4].

Кратко это записывают так:

   

   

3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).

4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.

Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.

Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.

Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k<0.

 

5) Если для любых двух значений x1,x2 из некоторого промежутка выполняется условие

   

то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.

6) Если для любых двух значений x1,x2 из некоторого промежутка выполняется условие

   

то функция y=f(x) называется невозрастающей на этом промежутке.

7) Функцию, невозрастающую на промежутке либо неубывающую на промежутке, называют не строго монотонной функцией на этом промежутке.

Пример 2.

Пользуясь графиком, найти промежутки, на которых  функции y=g(x), определённая на отрезке [x1;x3], является невозрастающей и неубывающей:

Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x1;x2].

Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x2;x3].

 

Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.

Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?

Для этого при условии x2>x1 на промежутке надо доказать выполнение одного из неравенств: f(x2)>f(x1) либо f(x2)>f(x1), то есть определить f(x2)-f(x1)>0 или f(x2)-f(x1)<0.

Примеры.

1) Доказать, что функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Доказательство:

Функция определена на всей числовой прямой.

Пусть x2>x1.

f(x1)=x1²+4x1, f(x2)=x2²+4x2,

f(x2)-f(x1)=(x2²+4x2)-(x1²+4x1)=x2²+4x2-x1²-4x1=

группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:

=(x2²-x1²)+(4x2-4x1)=(x2-x1)(x2+x1)+4(x2-x1)=

Теперь выносим общий множитель (x2-x1) за скобки:

=(x2-x1)(x2+x1+4).

Так как x2>x1, то x2-x1>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Для x1, x2 ∈(-∞;-2) x2+x1+4<0. Значит, (x2-x1)(x2+x1+4)<0 и f(x2)<f(x1). Отсюда следует, что функция функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что функция

   

возрастает на промежутке (2;+∞).

Доказательство:

Функция определена при x∈(-∞;2) и (2;+∞).

Пусть x2>x1.

   

   

Так как x2>x1, то x2-x1>0.

Для x1, x2 ∈ (2;+∞) (2-x1)(2-x2)>0. Значит,

   

Отсюда y(x2)-y(x1)>0. Поэтому данная функция возрастает на промежутке (2;+∞).

Что и требовалось доказать.

 

Исследование функции на монотонность гораздо удобнее проводить с помощью производной  (начала математического анализа — производную и её применение —  проходят в школьном курсе алгебры в 10-11 классах).

www.algebraclass.ru

График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность

Пусть на некоторой плоскости задана прямоугольная система координат. Графиком некоторой функции , (X- область определения) называется множество точек этой плоскости с координатами , где .

Для построения графика нужно изобразить на плоскости множество точек, координаты которых (x;y) связаны соотношением .

Чаще всего графиком функции является некоторая кривая.

Самый простой способ построения графика - построение по точкам.

Составляется таблица, в которой в одной ячейке стоит значение аргумента, а в противоположной ей значение функции от этого аргумента. Затем полученные точки отмечаются на плоскости, и через них проводится кривая.

Пример построения по точкам графика функции :

Построим таблицу.

Теперь строим график.

Но таким способом не всегда возможно построить достаточно точный график - для точности нужно брать очень много точек. Поэтому используют различные методы исследования функции.

С полной схемой исследования функции знакомятся в высших учебных заведениях. Одним из пунктов исследования функции является нахождение промежутков возрастания (убывания) функции.

Функция называется возрастающей (убывающей)  на некотором промежутке, если , для любых x2 и x1 из этого промежутка, таких, что x2>x1.

Например, функция, график которой изображен на следующем рисунке, на промежутках возрастает, а на промежутке (-5;3) убывает. То есть, на промежутках график идет «в гору». А на промежутке (-5;3) «под гору».

Еще одним из пунктов исследования функции является исследование функции на периодичность.

Функция называется периодичной, если существует такое число T, что .

Число T называют периодом функции. Например, функция периодична, здесь период равен 2П, так

Примеры графиков периодичных функций:

Период первой функции равен 3, а второй – 4.

Функция называется четной, если  Пример четной функции y=x2.

Функция называется нечетной, если  Пример нечетной функции y=x3.

График четной функции симметричен относительно оси ОУ (осевая симметрия).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия).

Примеры графиков четной (слева) и нечетной (справа) функции:

studyport.ru

Исследование функций и построение графиков Условия возрастания и убывания функции.

Определение 1. Функция называется возрастающей (убывающей) в областиX, если для любых двух значений верно

().

Если же верно

(),

то функция называется неубывающей (невозрастающей). Возрастающая, убывающая, невозрастающая и неубывающая функции называют монотонными функциями.

При изучении поведения функции одним из наиболее важных моментов является нахождение промежутков, в которых функция монотонно возрастает (убывает). Применим к их нахождению понятие производной функции.

Теорема 1. 1) Если функция , имеющая производную на отрезке, возрастает (убывает) на этом отрезке, то() для всех.

2) Если функциянепрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале, причем() для всех, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке.

Аналогично доказывается убывание функции.

Приведенная теорема отражает следующий геометрический факт: у возрастающей функции касательные к ее графику образуют с положительным направлением оси OX острый угол (или, в отдельных случаях, угол, равный нулю), поэтому ; для убывающей функции углы наклона касательных --- тупые, поэтому.

Пример 1. Исследовать функцию на возрастание и убывание. Найдем производную: и приравняем ее к нулю , откуда находим. Таким образом, числовая ось разбивается на два интервала:. Найдем знак производнойна каждом из полученных интервалов, подставив в выражение для производной первого порядка произвольное значение из каждого интервала. Получимпри, следовательно, нафункция убывает,при, следовательно, нафункция возрастает.

Определение 2. Точка есть точка максимума (минимума) функции, если эта точка лежит внутри такого участка, что для всехиз этого участка, отличных от, будет ().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума

В определении точки экстремума существенно, чтобы функция была определена как левее, так и правее этой точки, т.е., чтобы эта точка была внутренней, а не граничной точкой промежутка задания функции.

Точки экстремума. Необходимое условие экстремума.

Определение 3. Функцию , заданную на каком-либо промежутке, назовем гладкой, если она сама непрерывна на этом промежутке и имеет во всех его точках непрерывную производную.

По отношению к гладким функциям справедлива следующая важная теорема, открытая французским математиком 17-го века П. Ферма.

Теорема Ферма. Если гладкая функция в точкеимеет экстремум, то ее производная в этой точке обращается в ноль=0.

.

Пример 2. Рассмотрим функцию y.

Спрашивается, есть ли у нее точки экстремума и если да, то как их найти. Согласно теореме Ферма, точками экстремума могут быть лишь те точки, в которых производная обращается в ноль, (т. е. стационарные точки). Поэтому находим производную и приравниваем ее к нулю , откуда Теперь нужно выяснить характер поведения функции в этих двух точках. Для этого заметим, что точкиразбивают всю числовую ось на участки,Это участки возрастания и убывания функции. Чтобы выяснить, как ведет себя функция на участкевозьмем произвольную точку, принадлежащую этому интервалу, например, точкуи подставим ее в производнуюнаходимЗначит на интервалефункция возрастает. Аналогично, взяв, например,найдем

studfiles.net

Интервалы возрастания и убывания функции. Исследование на экстремум с помощью первого достаточного условия существования экстремума

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП. КОРОЛЕВА

 

Кафедра высшей математики

 

Расчетно-графическая работа

Полное исследование функции

 

 

Выполнил: Пугачев Сергей гр. 313

 

Сдано, дата:

 

 

г. Самара

 

Задание:

1. Указать область определения функции.1

2. Определить чётность-нечетность функции. Указать на особенность графика функции (есть ли симметрия). Найти точки пересечения графика с осями координат.2

3. Найти точки разрыва функции. Указать род точек разрыва. Найти пределы функции при x→+∞, x→-∞.3

4. Найти интервалы возрастания и убывания функции. Исследовать функцию на экстремум с помощью первого достаточного условия.4

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.6

6. Исследовать функцию на экстремум с помощью второго достаточного условия.7

7. Записать уравнения асимптот графика функции.8

8. Построить график функции.9

 

Область определения функции

Функция

. x≠-1. Таким образом, D(y):x (-∞;-1)∩(-1;+∞).

 

Чётность-нечетность функции. Особенности графика функции

f(-x) = ≠f(x) => f(x) – функция общего вида.

 

Найдем пересечение графика с осью ox:

y=0; 4x=0; x= ; x=0.

 

Найдем пересечение с осью oy:

y=0; y=0.

 

 

 

3. Точки разрыва функции. Род точек разрыва. Пределы функции при x→+∞, x→-∞

 

 

Односторонние пределы не являются конечными, следовательно, x=-1 - точка разрыва второго рода.

 

Схематично построим график функции в окрестности точки x=-1 и при x→+∞, x→-∞.

 

 

Интервалы возрастания и убывания функции. Исследование на экстремум с помощью первого достаточного условия существования экстремума

 

Для полного исследования функции найдем первую и вторую производные:

Исследуемая функция: . Производные:

y´= ;

y´´= .

 

Таким образом , y´= , y´´= .

Найдем критические точки. По определению:

 

Критической точкой функции y=f(x) называется внутренняя точка области определения, в которой производная f´(x) равна нулю или не существует.

 

В нашем случае производная не существует в точке x=-1. Но эта точка является точкой разрыва и не входит в область определения, поэтому не является критической.

 

Приравняем производную к нулю: y´=

 

Отсюда 4-4x=0; 1-x=0; x=1. Таким образом: x=1 - критическая точка, x= -1 - точка разрыва функции.

 

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ВОЗРАСТАНИЯ, УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ: Если на интервале производная f´(x) положительна, то функция y=f(x) возрастает, если отрицательна, то убывает.

 

Знак производной может измениться только в критических точках или в точках разрыва функции.

 

Покажем знаки производной на числовой оси:

 

 

Функция возрастает на интервале: (-1;1].

Функция убывает на интервале: (-∞;-1), (1;+∞).

ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА: Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке x1 и дифференцируема в окрестности этой точки. Тогда, если при переходе через точку x1 слева направо производная f´(x) меняет знак: 1) с + на -, то в точке x1 максимум; 2)с – на +, то в точке x1 минимум.   Если производная не меняет знак, то экстремума в этой критической точке нет.

 

В нашем случае: ymax = f(1)=

ymin - не существует.

5. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба

 

Первая производная функции f´(x) позволяет найти интервалы возрастания и убывания функции y=f(x), а также точки экстремума. Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции, а также точки перегиба, нужно определить знаки второй производной f´´(x).

 

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ВЫПУКЛОСТИ И ВОГНУТОСТИ ГРАФИКА ФУНКЦИИ: Если на интервале вторая производная f´´(x) положительна, то график функции y=f(x) на этом интервале вогнутый. Если на интервале вторая производная f´´(x) отрицательна, то график функции y=f(x) на этом интервале выпуклый. Если вторая производная f´´(x) при переходе через точку c меняет знак, то эта точка является точкой перегиба. При этом в точке с функция должна быть непрерывна. Точка разрыва функции не считается точкой перегиба.

 

Запомнить это правило можно с помощью рисунка. На шарике показан знак второй производной. Условимся считать, что если график выпуклый, то шарик не устойчив на кривой и на нем должен стоять знак минус. Если график вогнутый, то шарик устойчив на кривой и на нем должен стоять знак плюя. Таким образом, условно установим связь между выпуклостью-вогнутостью и знаком второй производной.

 

Для исследуемой функции y´´= .

Знак производной может измениться в точке, где она равна нулю или в точке, где она не существует. В нашем случае уравнение = 0 имеет один корень x=2, следовательно, в точке x=2y´´= 0. Существует y´´ в точке x=-1.

График функции выпуклый на интервале (-∞;-1)∩(-1;+∞). Точка x=-1 на графике функции y=f(x) является точкой разрыва, поэтому не считается точкой перегиба.

 

megaobuchalka.ru

1. Возрастание, убывание функции. Экстремумы функции.

Замечание. Обратная теорема неверна, то есть еслиf ′(x0 ) =0 , то это не значит, что точкаx0 - точка экстремума.

Точки, в которых производная обращается в нуль или не существует, называются критическими.

Теорема (достаточное условие существования экстремума).

Если при переходе через критическую точку x0 производная дифференцируемой функцииy =f (x) меняет свой знак с плюса на минус, то точкаx0 - точка локального максимума; если производная меняет свой знак с минуса на плюс, то точкаx0 - точка локального

минимума.

Правило исследования функции на экстремум.

1.Найти точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, то есть найти критические точки.

2.Среди критических точек выбрать те, которые принадлежат области определения функции.

3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных точек.

3.Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Определение. График функцииy =f (x) называетсявыпуклым

вниз (или вогнутым) на интервале(a;b), если на этом интервале

график расположен выше касательной к графику функции, проведенной в любой точке интервала (a;b).

Определение. График функцииy =f (x) называетсявыпуклым вверх (или выпуклым) на интервале(a;b), если на этом интервале

график расположен ниже касательной к графику функции, проведенной в любой точке интервала (a;b).

y y

0

x

0

(a;b)

x

Теорема. Если функция

y = f(x)

на интервале

дважды

′′

 

 

 

(a;b), то

дифференцируема и f (x) >0 для любогоx из интервала

график функции на интервале (a;b)

вогнутый; если

′′

 

f (x)< 0для

любого x из интервала(a;b), то график функции на интервале(a;b) выпуклый.

studfiles.net

Монотонность функции. Возрастание и убывание

Возрастающая и убывающая функции в промежутке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция называется возрастающей в промежутке , если большому значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любой пары таких, что справедливо неравенство ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция называется убывающей в промежутке , если большому значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть для любой пары таких что справедливо

Монотонная функция

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется монотонной на промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает.

Достаточное условие монотонности функции.Пусть функция определена и дифференцируема в промежутке . Для того чтобы функция была возрастающей в промежутке , достаточно, чтобы для всех

Для убывания функции достаточно, чтобы для всех

Для исследования функции на монотонность необходимо:

  1. найти её производную ;
  2. найти критические точки функции как решения уравнения ;
  3. определить знак производной на каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции;
  4. согласно достаточному условию монотонности функции определить промежутки возрастания и убывания.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com