Что такое градиент? Виды градиентов. Градиент это вектор


Градиент (вектор) - это... Что такое Градиент (вектор)?

 Градиент (вектор) Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis —шагающий), вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (см. Поля теория). Если величина выражается функцией u (х, у, z), то составляющие Г. равны ═Г. обозначается знаком grad u. Г. в некоторой точке направлен по нормали к поверхности уровня в этой точке, длина Г. равна Понятием Г. широко пользуются в физике, метеорологии, океанологии и др., чтобы охарактеризовать скорость изменения в пространстве какой-либо величины при перемещении на единицу длины в направлении Г.: например, Г. давления, Г. температуры, Г. влажности, Г. скорости ветра, Г. солёности, Г. плотности морской воды. Г. электрического потенциала называется напряжённостью электрического поля.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

  • Градиент (в биологии)
  • Градиентные течения

Смотреть что такое "Градиент (вектор)" в других словарях:

  • градиент — вектор Словарь русских синонимов. градиент сущ., кол во синонимов: 2 • вектор (5) • …   Словарь синонимов

  • вектор-градиент — вектор градиент, вектор градиента …   Орфографический словарь-справочник

  • градиент — Изменение значения некоторой величины на единицу расстояния в заданном направлении. Топографический градиент — это изменение высоты местности на измеренном по горизонтали расстоянии. [http://www.oceanographers.ru/index.php?option=com… …   Справочник технического переводчика

  • ГРАДИЕНТ ДАВЛЕНИЯ — барический градиент вектор, характеризующий степень изменения атмосферного давления в пространстве, равный производной от давления по нормали к изобарической поверхности, т. е. изменению давления на единицу расстояния в том направлении, в котором …   Словарь ветров

  • ГРАДИЕНТ — (лат.). Разность в барометрических и термометрических показаниях в разных местностях. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГРАДИЕНТ разность в показаниях барометра и термометра в один и тот же момент… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • вектор — градиент Словарь русских синонимов. вектор сущ., кол во синонимов: 5 • градиент (2) • орт …   Словарь синонимов

  • ГРАДИЕНТ — (от лат. gradiens шагающий) вектор g, показывающий направление наискорейшего изменения данного скалярного поля ? (Р), где Р точка пространства, обозначается g = grad ? (Р). Примеры: градиент температуры, градиент давления, градиент потенциала …   Большой Энциклопедический словарь

  • ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ — и = f(x, у, z), заданной в некоторой обл. пространства (X Y Z), есть вектор с проекциями обозначаемый символами: grad где i, j, k координатные орты. Г. ф. есть функция точки (х, у, z), т. е. он образует векторное поле. Производная в направлении Г …   Геологическая энциклопедия

  • ГРАДИЕНТ СУКЦЕССИОННЫЙ — вектор, показывающий направление и величину изменений экосистемы. Экологический энциклопедический словарь. Кишинев: Главная редакция Молдавской советской энциклопедии. И.И. Дедю. 1989 …   Экологический словарь

  • ГРАДИЕНТ ТЕМПЕРАТУРЫ — вертикальный, вектор, отражающий изменение (перепад) температуры в атмосфере с высотой (в градусах на 100 м). Экологический энциклопедический словарь. Кишинев: Главная редакция Молдавской советской энциклопедии. И.И. Дедю. 1989 …   Экологический словарь

dic.academic.ru

Градиент | Математика | FANDOM powered by Wikia

Файл:Градиент холма.gif

Градиент (от , род. падеж gradientis — шагающий болт ) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».

Как видно из объяснения, градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной.

Формально, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами $ \frac {\partial \phi} {\partial x} $, $ \frac {\partial \phi} {\partial y} $, $ \frac {\partial \phi} {\partial z} $, где φ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

Если $ \phi $ — функция n переменных $ x_1,\ldots,x_n $, то её градиентом будет n-мерный вектор

$ \left(\frac{\partial \phi}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial \phi}{\partial x_n}\right) $,

компоненты которого равны частным производным $ \phi $ по всем её аргументам.

Градиент обозначается $ \mathrm{grad}\phi $ или, с использованием оператора набла, $ \nabla \phi $.

Из определения градиента следует, что:

$ \mathrm{grad}\phi = \nabla \phi = \frac {\partial \phi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \phi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \phi} {\partial z} \vec e_z $

    Для любого постоянного числа $ c\in\R $ и скалярных полей $ \vec{u}, \vec{v}:\R^n\to\R $ справедливо следующее:

    • $ \operatorname{grad}\,c=\vec{0} $

    Линейность

    • $ \operatorname{grad}\,(c\cdot \vec{u})=c\cdot\operatorname{grad}\,\vec{u} $
    • $ \operatorname{grad}\,(\vec{u}+\vec{v})=\operatorname{grad}\,\vec{u}+\operatorname{grad}\,\vec{v} $

    Правило Лейбница

    • $ \operatorname{grad}\,(\vec{u}\cdot \vec{v}) = \vec{u}\cdot\operatorname{grad}\,\vec{v} + \vec{v}\cdot\operatorname{grad}\,\vec{u} $, где $ \vec{u}\cdot\vec{v} $ — скалярное произведение векторов $ \vec u $ и $ \vec v $.

    Например, градиент функции $ \phi(x,y,z)=2x+3y^2-sin(z) $ будет представлять собой:

    $ \nabla \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2,} { 6y,} { -cos(z)} \end{pmatrix} $

    В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

    Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры - увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т.д.. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

    Связь с производной по направлениюПравить

    Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции $ \phi $ по направлению $ \vec{e}=(e_1,\ldots,e_n) $ равняется скалярному произведению градиента $ \phi $ на единичный вектор $ \vec{e} $:

    $ \frac{\partial \phi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \phi}{\partial x_1} e_1+\cdots+\frac{\partial \phi}{\partial x_n} e_n = (\nabla\!\phi,\vec e) $

    Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть набор всех её частных производных.

    Градиент в ортогональных криволинейных координатах Править

    $ \operatorname{grad} U(q_1, q_2, q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec i + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec j + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec k $,

    где Hi - коэффициенты Ламе.

    Цилиндрические координаты Править

    Коэффициенты Ламе:

    $ \begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix} $.

    Отсюда:

    $ \operatorname{grad} U(r, \theta, z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec r + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec \theta + \frac{\partial U}{\partial z}\vec z $.

    Сферические координаты Править

    Коэффициенты Ламе:

    $ \begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \\ H_3 = r\sin{\theta} \end{matrix} $.

    Отсюда:

    $ \operatorname{grad} U(r, \theta, \phi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec r + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \phi}\vec \phi + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\theta }\vec \theta $.

    cs:Gradienthe:גרדיאנטnl:Gradiënt pl:Gradient (matematyka)sl:Gradient sv:Gradient uk:Градієнт

    ru.math.wikia.com

    Что такое градиент? Виды градиентов

    Некоторые понятия и термины используются сугубо в узких рамках профессиональной лексики. Другие же определения встречаются в областях, резко противоположных. Так, например, понятием "градиент" пользуется и физик, и математик, и специалист по маникюру или "Фотошопу". Что же такое градиент как понятие? Давайте разбираться.

    Что говорят словари?

    Что такое "градиент" специальные тематические словари трактуют в соотношении со своей спецификой. В переводе с латинского языка это слово обозначает - "тот, который идет, растет". А "Википедия" определяет это понятие как "вектор, указывающий направление возрастания величины". В толковых словарях мы видим значение этого слова как "изменение любой величины на одно значение". Понятие может нести как количественное, так и качественное значение.

    Если коротко, то это плавный постепенный переход любой величины на одно значение, прогрессивное и непрерывное изменение в количестве или направлении. Вектор вычисляют математики, метеорологи. Это понятие применяют в астрономии, медицине, искусстве, компьютерной графике. Под схожим термином определяются совершенно не схожие виды деятельности.

    Математические функции

    Что такое градиент функции в математике? Это вектор, направление которого указывает направление роста функции в скалярном поле от одного значения к другому. Величина градиента рассчитывается с помощью определения частных производных. Для выяснения максимально быстрого направления роста функции на графике выбираются две точки. Они определяют начало и конец вектора. Скорость роста значения от одной точки к другой – это величина градиента. Математические функции, основанные на расчетах этого показателя, используются в векторной компьютерной графике, объектами которой являются графические изображения математических объектов.

    Что такое градиент в физике?

    Понятие градиента распространено во многих отраслях физики: градиент оптики, температуры, скорости, давления и т. д. В этой отрасли понятие обозначает меру возрастания или убывание величины на единицу. Вычисляется расчетами как разница между двумя показателями. Рассмотрим некоторые из величин подробнее.

    Что такое градиент потенциала? В работе с электростатическим полем определяются две характеристики: напряженность (силовая) и потенциал (энергетическая). Эти разные величины связаны со средой. И хотя они и определяют разные характеристики, все же имеют связь между собой.

    Для определения напряженности силового поля используется градиент потенциала – величина, которая определяет быстроту изменения потенциала по направлению силовой линии. Как рассчитать? Разность потенциалов двух точек электрического поля вычисляется по известному напряжению с помощью вектора напряженности, который равен градиенту потенциала.

    Термины метеорологов и географов

    Впервые понятие градиента было применено именно метеорологами для определения изменения величины и направления различных метеорологических показателей: температуры, давления, скорости и силы ветра. Он является мерой количественного изменения различных величин. В математику термин ввел Максвелл уже значительно позднее. В определении погодных условий существуют понятия вертикального и горизонтального градиентов. Рассмотрим их подробнее.

    Что такое градиент температуры вертикальный? Это величина, которая показывает изменение показателей, вычисленное на высот в 100 м. Может быть как положительного направления, так и отрицательного, в отличие от горизонтального, который всегда положителен.

    Градиент показывает на местности величину или угол уклона. Вычисляется как отношение высоты к длине проекции пути на определенном участке. Выражается в процентах.

    Медицинские показатели

    Определение "градиент температурный" можно встретить также среди медицинских терминов. Он показывает разницу в соответствующих показателях внутренних органов и поверхности тела. В биологии градиент физиологический фиксирует изменение в физиологии любого органа или организма в целом на любой стадии его развития. В медицине показатель метаболический – интенсивность обмена веществ.

    Не только физики, но и медики используют этот термин в работе. Что такое градиент давления в кардиологии? Такое понятие определяет разность кровяного давления в любых связанных между собой отделах сердечно-сосудистой системы.

    Убывающий градиент автоматии – это показатель уменьшения частоты возбуждений сердца в направлении от его основания к верху, возникающие автоматически. Кроме того, кардиологи место поражения артерии и его степень выявляют благодаря контролю над разностью амплитуд систолических волн. Иными словами, с помощью амплитудного градиента пульса.

    Что такое градиент скорости?

    Когда говорят о скорости изменения некой величины, то подразумевают под этим быстроту изменения по времени и в пространстве. Другими словами градиент скорости определяет изменение пространственных координат в соотношении с временными показателями. Этот показатель вычисляют метеорологи, астрономы, химики. Градиент скорости сдвига слоев жидкости определяют в нефтегазовой промышленности, для вычисления скорости подъема жидкости по трубе. Такой показатель тектонических движений – это область расчетов сейсмологов.

    Экономические функции

    Для обоснования важных теоретических выводов понятием градиента широко пользуются экономисты. При решении задач потребителя используется функция полезности, которая помогает представить предпочтения из множества альтернатив. "Функция бюджетных ограничений" - термин, используемый для обозначения множества потребительских наборов. Градиенты в этой области используют для вычисления оптимальных потреблений.

    Градиент цвета

    Термин "градиент" знаком творческим личностям. Хоть они и далеки от точных наук. Что такое градиент для художника, декоратора, дизайнера? Так как в точных науках – это постепенное увеличение величины на единицу, так и в цвете этот показатель обозначает плавный, растянутый переход оттенков одного цвета от более светлого к темному, или же наоборот. Художники так и называют этот процесс – "растяжка». Возможен переход и к разным сопутствующим цветам в одной гамме.

    Градиентные растяжки оттенков в окраске помещений заняли прочную позицию среди методик дизайна. Новомодный стиль омбре - плавное перетекание оттенка от светлого к темному, от яркого к бледному - эффектно преобразует любое помещения в доме и в офисе.

    Оптики используют специальные линзы в солнцезащитных очках. Что такое градиент в очках? Это изготовление линзы особым способом, когда сверху вниз цвет переходит от более темного к более светлому оттенку. Изделия, изготовленные по такой технологии, защищают глаза от солнечного излучения и позволяют рассматривать предметы даже при очень ярком свете.

    Цвет в веб-дизайне

    Тем, кто занимается веб-дизайном и компьютерной графикой, хорошо знаком универсальный инструмент "градиент", с помощью которого создается масса самых разнообразных эффектов. Переходы цвета преображаются в блики, причудливый фон, трехмерность. Манипуляции с оттенками, создание света и тени придает объем векторным объектам. В этих целях используются несколько видов градиентов:

    • Линейный.
    • Радиальный.
    • Конусовидный.
    • Зеркальный.
    • Ромбовидный.
    • Градиент шума.

    Градиентная красота

    Для посетительниц салонов красоты вопрос о том, что такое градиент, не станет неожиданным. Правда, и в этом случае знание математических законов и основ физики не обязательно. Речь идет все так же о цветовых переходах. Объектом градиента становятся волосы и ногти. Техника омбрэ, что в переводе с французского обозначает "тон" пришла в моду от спортивных любительниц серфинга и других пляжных развлечений. Естественным образом выгоревшие и вновь отросшие волосы стали хитом. Модницы стали специально окрашивать волосы с еле заметным переходом оттенков.

    Техника омбре не прошла мимо маникюрных салонов. Градиент на ногтях создает окраску с постепенным осветлением пластины от корня к краю. Мастера предлагают горизонтальный, вертикальный, с переходом и другие разновидности.

    Рукоделие

    Рукодельницам понятие "градиент" знакомо еще с одной стороны. Техника подобного плана используется в создании вещей ручной работы в стиле декупаж. Таким способом создают новые вещи под старину, или реставрируют старые: комоды, стулья, сундуки и прочее. Декупаж подразумевает нанесение узора с помощью трафарета, основой для которого служит градиент цвета, как фон.

    Художники по тканям взяли на вооружение окраску таким способом для новых моделей. Платья с расцветкой градиент покорили подиумы. Моду подхватили рукодельницы – вязальщицы. Трикотажные вещи с плавным переходом цвета пользуются успехом.

    Подводя итог определению "градиент", можно сказать об очень обширной области человеческой деятельности, в которой находится место этому термину. Не всегда замена синонимом "вектор" оказывается подходящей, так как вектор – это все-таки понятие функциональное, пространственное. В чем определяется общность понятия – это постепенное изменение определенной величины, субстанции, физического параметра на единицу за определенный период. В цвете – это плавный переход тона.

    fb.ru

    Поля и операции векторного анализа. Градиент

    ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

    Ротор

    Ротор векторного поля характеризует степень отличия исследуемо

    го поля от однородного.

    Дивергенция

    Значение дивиргенции равно плотности источников рассматривае-

    мого поля в заданной точке пространства.

    Дивиргенциювекторного поля Авычисляют путем дифференци-рования его проекций по определенным правилам:

    67. Оператор Лапласа

    Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию

    в n-мерном пространстве.

    Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

    В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве :

    где — коэффициенты Ламе.

    Цилиндрические координаты

    В цилиндрических координатах вне прямой :

    Сферические координаты

    В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

    или

    В случае если в n-мерном пространстве:

    В декартовой системе координат оператор запишется:

    68. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня.

    Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой величины, то говорят, что задано поле данной величины.

    Поле называется скалярным, если рассматриваемая величина скалярна, т.е. вполне характеризуется своим числовым значением.

    При мер скалярных полей дает поле температур, электростатическое поле.

    Задание скалярного поля осуществляется заданием скалярной функции точки М

     

    Если в пространстве введена декартова СК xyz, то

     

    Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня – геометрическое место точек, в которых скалярная функция поля принимает одно и то же значение. Поверхность уровня данного поля определяется уравнением

     

    В случае поля температур, создаваемого в однородной и изотропной среде точечным источником тепла, поверхности уровня будут сферами с центром в источнике (центрально-симметричное поле).

    В случае бесконечно равномерно нагретой нити поверхностями уровня (изотермическими поверхностями) будут круговые цилиндры, ось которых совпадает с нитью

     

    69. Производная по направлению. Ее физический смысл

    В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

    Связь с градиентом

    Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

    Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке.

    Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

    Определение

    Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами

    Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

    Если — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор

    компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

    Пример

    Например, градиент функции будет представлять собой:

    Для характеристики величины и направления скорости измене- ния скалярного поля в пространстве вводят градиент этого поля

    где - коэффициенты Ламэ по координатам , яв- ляющиеся коэффициентами пропорциональности между диффе- ренциалами обобщенных координат и бесконечно малыми ребра- ми элементарного параллелепипеда в выбранной (•) пространства

    Коэффициенты Ламэ для наиболее употребительных СК:

     

    Оператор Гамильтона

    В декартовой системе координат оператор ∇ записывается:

    Свойства оператора набла

    Этот оператор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

    Если умножить вектор на скаляр , то получится вектор

    ,

    который представляет собой градиент функции .

    Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр

    ,

    то есть дивергенция вектора .

    Если умножить на векторно, то получится ротор вектора :

    · Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо нередко пишут , а вместо пишут ; это касается и формул, приводимых ниже.

    Соответственно, скалярное произведение есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

    .

    Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

    То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

    Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

    Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

    Операторы второго порядка

    Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

    Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

    Два всегда совпадают:

    Три оставшихся связаны соотношением:

    Еще одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

     

     

     

    Читайте также:

    lektsia.com

    Градиент - это... Что такое Градиент?

    Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.

    Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

    Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

    С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.

    Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным.

    Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г.

    Обозначение grad тоже предложил Максвелл.

    Стандартные обозначения:

    или, с использованием оператора набла,

    — вместо может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например  — обозначения градиента поля V.

    Определение

    Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами

    , , .

    Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

    Если  — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор

    компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

    • Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.
    • Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или ) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто "градиентом".

    Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

    Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку  — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

    или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

    (в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

    Пример

    Например, градиент функции будет представлять собой:

    В физике

    В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

    Например, напряженность электростатического поля есть минус градиент электрического потенциала, напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.

    В естественных науках

    Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далеких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

    Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

    Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

    Геометрический смысл

    Рассмотрим семейство линий уровня функции :

    Нетрудно показать, что градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

    Связь с производной по направлению

    Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции по направлению равняется скалярному произведению градиента на единичный вектор :

    Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

    Градиент в ортогональных криволинейных координатах

    где  — коэффициенты Ламе.

    Полярные координаты (на плоскости)

    Коэффициенты Ламе:

    Отсюда:

    Цилиндрические координаты

    Коэффициенты Ламе:

    Отсюда:

    Сферические координаты

    Коэффициенты Ламе:

    .

    Отсюда:

    См. также

    Литература

    1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30

    dic.academic.ru

    1. Понятие градиента функции

    Контрольная работа № 1.

    1. Понятие градиента функции.

    Градиент функции f это вектор, который указывает направление наискорейшего роста этой функции, и чей модуль равен скорости ее изменения в этом направлении.

    Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами , , , где  — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

    Если  — функция n переменных , то её градиентом называется n-мерный вектор

    компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

    Градиент обозначается или, с использованием оператора набла, .

    Из определения градиента следует, что:

    Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

    Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат xi, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку  — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

    или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

    (в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

    2. Методы полиномиальной аппроксимации. Квадратичная аппроксимация.

    Применение методов исключения интервалов требует унимодальности целевой функции и основано на простом сравнении значений функции в двух пробных точках. Рассмотрим более эффективные методы, чем методы исключения интервалов. Но выигрыш в эффективности достигается ценой введения дополнительного требования – исследуемые функции должны быть гладкими.

    Основная идея рассматриваемых методов связана с возможностью аппроксимации гладкой функции полиномом и последующего использования этого полинома для оценивания координаты точки экстремума.

    Необходимые условия эффективной реализации такого подхода – унимодальность и непрерывность исследуемой функции. Согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации, если функция непрерывна на некотором интервале, то ее с любой степенью точности можно аппроксимировать полиномом высокого порядка. Координату точки экстремума функции можно оценить путем вычисления координаты точки экстремума полинома.

    Точность оценки точки экстремума можно повысить двумя способами:

    • использование полинома более высокого порядка;
    • уменьшение интервала аппроксимации.
    Второй способ более прост и экономичен, если функция унимодальная. Квадратичная аппроксимация

    Простейший вариант полиномиальной аппроксимации основан на факте, что функция имеет экстремум во внутренней точке интервала и должна быть по крайней мере квадратичной. Линейная функция достигает экстремума в двух граничных точках интервала.

    Если задана последовательность точек и известны соответствующие этим последовательностям значения функции , то можно определить константы таким образом, что значения квадратичной функции:

    совпадут со значениями функции в трех указанных точках. Перейдем к вычислению в точках .

    Т.к. , имеем .

    ­­Далее, поскольку , получаем

    Наконец, при имеем:

    Разрешая последнее уравнение относительно , получим:

    .

    Таким образом, по трем заданным точкам и соответствующим значениям функции можно оценить параметры аппроксимирующего квадратичного полинома.

    Если точность аппроксимации исследуемой функции высока на интервале от до , то построенный полином можно использовать для оценивания координаты точки экстремума. В данном случае из уравнения

    можно получить стационарную точку:

    . (4.1)

    Так как ЦФ и и аппроксимирующий полином являются унимодальными на рассматриваемом интервале, то является приемлемой оценкой координаты точки истинного экстремума .

    3. Что такое «точка перегиба» функции и как ее идентифицировать?

    Стационарной точкой функции f(x) называется такая точка x*, в которой выполняется равенство

    Если стационарная точка не соответствует локальному экстремуму, то она является точкой перегиба или седловой точкой.

    Необходимые и достаточные условия существования экстремума

    Скалярный случай xr1

    Если в точке x* первые (n - 1) производные функции f(x) обращаются в нуль, а производная порядка n отлична от нуля, т.е.

    то:

    1) если n – нечетное, то x* – точка перегиба;

    2) если n – четное, то x* – локальный экстремум;

    причем, если

    • f ( n) (x) > 0, то x* - точка локального минимума;
    • f ( n) (x) x* - точка локального максимума.
    Примечание. При поиске глобального минимума функции f(x), заданной на отрезке [a, b], необходимо найти все точки локальных минимумов, вычислить в них значения функции, а также вычислить значения функции на границах отрезка f(a) и f(b) и выбрать среди этих значений наименьшее.

    Векторный случай

    Функция f(x) имеет в точке x* локальный минимум, если выполняется равенство: grad f(x*) = 0, т. е. x* - стационарная точка, и матрица Гессе H f(x*) положительно определена.

    Для выпуклых функций найденный локальный минимум будет являться одновременно и глобальным.

    Минимизация при ограничениях

    Рассматривается задача:

    (3.8)

    Обозначим L(x, λ) функцию Лагранжа

    , (3.9)

    где λ k - неопределенные множители Лагранжа.

    Здесь все функции f, gk, L предполагаются непрерывно дифференцируемыми.

    Точка x*­ будет глобальным экстремумом задачи (3.9), если в точке x* выполняются условия Куна-Таккера: существует такое *  0, что

    grad L( x, *) = 0;

    * gk(x) = 0; k = .

    Пара векторов (x*, *) образует седловую точку функции Лагранжа, если при всех x  D и   0 выполняется неравенство:

    L(x*, )  L(x*, *)  L( x, *).

    Таким образом, точка x* является точкой глобального минимума задачи (3.8), если пара векторов (x*, *) является седловой точкой функции L( x,  ).

    4. Найти минимум целевой функции методом дихотомии на отрезке [1,5; 2] с точностью ε = 0,5:

    Решение. Итерация I. Выберем точки на расстоянии от середины отрезка и вычислим в них значение минимизируемой функции:

    Из свойства унимодальности функции можно сделать вывод о том, что минимум расположен либо на отрезке , либо на отрезке .

    Поскольку , то минимум находится на отрезке .

    Получили новый отрезок: [1,5; 1,95], его длина l = 0,45 Вычислим значение функции на границе отрезка:

    Ответ: fmin = -90,452 при х = 1,55. 5. Является ли выпуклой функция на отрезке [3; 5]?

    Решение. Найдем вторую производную функции:

    Найдем критические точки, приравняв вторую производную нулю:

    Поскольку точка х1=2 не принадлежит заданному отрезку, а точка х2=3 находится на его границе, то определим знак второй производной на заданном отрезке [3; 5] и вне его:

    при 3 х х > 5, график функции на данных интервалах – вогнутый, при х х = 3, является точкой перегиба, поскольку знак второй производной меняется с «–» на «+» при переходе через данную точку.

    Ответ: функция не является выпуклой на заданном отрезке.

    6. Метод Марквардта.

    ММ является комбинацией методов Коши и Ньютона. В нем сочетаются положительные свойства обоих методов. Направление поиска в ММ определяется равенством:

    , (4.16)

    где - единичная матрица.

    На начальной стадии присваивается большое значение (например, ), так что

    . (4.17)

    Таким образом, большим значениям соответствует направление поиска , т.е. направление поиска совпадает с направлением антиградиента. Из формулы (4.17) можно заключить, что при уменьшении до нуля направление изменяется от до . Если после первого шага получена точка с меньшим значением ЦФ (т.е. ), следует выбрать и реализовать еще один шаг. В противном случае следует положить , где и вновь реализовать предыдущий шаг.

    Схема алгоритма Марквардта

    Ш. 1 Задать - начальное приближение к ;

    задать - максимальное (допустимое) количество итераций;

    задать - параметр сходимости (точность).

    Ш. 2 Положить .

    Ш. 3 Вычислить .

    Ш. 4 Проверить, выполняется ли критерий останова: .

    Да: Ш.11. Нет: Ш. 5.

    Ш. 5 Проверить, выполняется ли критерий останова: .

    Да: Ш.11. Нет: Ш. 6.

    Ш. 6 Вычислить .

    Ш. 7 Положить .

    Ш. 8 Проверить выполнение неравенства: .

    Да: Ш.9. Нет: Ш. 10.

    Ш. 9 Положить и Ш. 3

    Ш. 10 Положить Ш. 6.

    Ш. 11 Печать результатов.

    Достоинства ММ. Относительная простота, ЦФ убывает от итерации к итерации, высокая скорость сходимости в окрестности точки минимума , отсутствует процедура поиска вдоль прямой.

    Недостатки. Необходимость вычисления и последующего решения системы линейных уравнений (4.16).

    Этот метод широко используется при решении задач (например, в регрессионном анализе) в которых может быть записана в виде суммы квадратов, т.е.

    . (4.18)

    7. Метод сопряженных градиентов для квадратичных функций.

    Предполагается, что квадратичная функция имеет вид:

    .

    Идея метода состоит в последовательном построении направлений , взаимно сопряженных относительно матрицы (-сопряженных). На каждом шаге "" направление получается как линейная комбинация градиентов [] в точке и предшествующих направлений (), причем коэффициенты линейной комбинации выбираются так, чтобы было сопряженным ко всем предшествующим направлениям.

    Для удобства введем обозначения: .

    Таким образом,

    Запишем изменение градиента при переходе от точки к точке . С учетом обозначений имеем:

    или ,

    что выражает свойство квадратичных функций.

    Схема алгоритма МСГ.

    Положить .

    Ш. 1 Пусть - начальная точка; ,

    .

    Ш. 2 Определить , где

    .

    Затем ,

    ,

    находится из условия (сопряжены относительно матрицы ).

    Ш. 3 Положить Ш. 2.

    Критерий останова одномерного поиска вдоль каждого из направлений записывается в виде: .

    Значения выбираются таким образом, чтобы направление было -сопряжено со всеми построенными ранее направлениями.

    Достоинства метода: высокая надежность при поиске из удаленной точки и быстрая сходимость в окрестности . 8. Найти с помощью метода сопряженных направлений (МСН) точку минимума целевой функции:

    Предварительно необходимо проверить, является ли целевая функция выпуклой.

    Решение. Найдем частные производные:

    Матрица вторых частных производных имеет вид:

    Ее главные миноры: , значит, функция f является строго выпуклой при всех Х.

    Ш. 1

    Ш. 2 Поиск вдоль прямой:

    **** дальше не могу решить

    9. Найти минимум целевой функции методом Поллака-Рибьера:

    Решение.

    Ш. 1

    Ш. 2 Поиск вдоль прямой:

    **** дальше не могу решить

    10. Методом сопряженных градиентов найти точку минимума функции f(х):

    Решение. Квадратичная  целевая функция n независимых переменных, имеющая минимум, может быть минимизирована за n шагов (или менее), если шаги предпринимаются в так называемых сопряжённых направлениях.

    Ш. 1

    Ш. 2 Поиск вдоль прямой:

    **** дальше не могу решить

    Список используемой литературы.

    1. Таха, Хемди А. Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 912 с.: ил.
    2. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов /Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004. – 407 с.
    3. Ишманов С.А. Линейное программирование. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. -340 с.
    4. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 208 с.: ил.

    vesnat.ru

    Вектор - градиент - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

    Вектор - градиент

    Cтраница 1

    Вектор градиента определяет направление наибольшего возрастания функции качества. Поэтому этот метод оптимален в том смысле, что он стимулирует движение рабочей точки в наилучшем направлении к цели.  [2]

    Вектор градиента направлен в сторону возрастания функционала.  [3]

    Вектор градиента смотрит в направлении наиболее быстрого возрастания функции при изменении координат. Поэтому сила направлена в сторону наиболее быстрого убывания потенциальной энергии.  [4]

    Физически вектор градиента указывает вверх по склону холма, то есть в направлении быстрейшего увеличения целевой функции.  [5]

    Если вектор градиента блуждающих токов, измеренный четырех-электродной установкой с разносом измерительных электродов, равным диаметру резервуара, не превышает 0 2 В, отдельно стоящий и не соединенный с трубопроводами резервуар может быть защищен протекторными или катодными установками.  [7]

    Тогда вектор градиента концентрации меченых молекул dnjdz совпадает с положительным направлением оси z, а диффузионный поток меченых молекул будет направлен в обратную сторону.  [8]

    Направления векторов градиентов t и и в контактном и следующем за ним слое противоположны, а жидкость движется навстречу потоку тепла.  [9]

    Компоненты вектора градиента в непрерывных системах автоматической оптимизации определяются методом синхронного детектирования при гармонических или случайных поисковых возмущениях параметров, а в дискретных системах - осуществлением пробных шагов по отдельным параметрам.  [10]

    Совокупность векторов градиента температуры образует температурное поле.  [11]

    Значительность роли вектора градиента для НЛП не должна вызывать сомнений, поскольку, если дана некоторая неоптимальная точка, то с помощью градиента обычно можно найти лучшую точку. Однако прежде чем рассмотреть градиент, мы должны ввести понятие направления, так как градиент сам по себе является направлением.  [12]

    Приняв направление векторов градиентов от участков с меньшим потенциалом к большему, можно определить направление потоков массы за счет этих градиентов в каждый конкретный период сушки.  [13]

    Квадратичная форма от вектора градиента задает эллипсоид уровня в касательном пространстве в каждой точке. Встречаются и неизотропные среды.  [14]

    ПР изводится в направлении вектора градиента функции состояния - исследуемого изделия. Если учесть, что это направление является наиболее опасным, то понятно, почему рассматриваемый метод является оптимальным, и перспективным.  [15]

    Страницы:      1    2    3    4

    www.ngpedia.ru