Нахождение дискриминанта, формула, сравнение с нулём. Формула х в дискриминанте


Дискриминант на 4 | Алгебра

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

   

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней  квадратного уравнения зависит от знака D/4.

  • Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:

       

  • Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

       

  • Если D/4<0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

   

   

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

   

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

   

   

   

Ответ: -0,2; -3.

   

   

   

   

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

   

   

   

   

Ответ: 9; 1/3.

   

   

   

   

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

   

Ответ: -2 1/3.

   

   

   

   

Так как D/4<0, уравнение не имеет корней в действительных числах.

Ответ: нет корней.

Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

   

   

   

   

Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

Ответ:

   

 

www.algebraclass.ru

Дискриминант квадратного уравнения с большими коэффициентами

Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.

Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант,  многие начинают паниковать (без калькулятора).

А на ЕГЭ по математике, например, в задачах категории В14, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.

Нет безвыходных ситуаций!

На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта

 

Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же  формулу дикриминанта для вычисления корней квадратного уравнения  

Тогда корни  уравнения находим по формуле

Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным  квадратным уравнением ( и – ненулевые).

Как решать неполные квадратные уравнения мы уже говорили.

1) Используем формулу «разность квадратов».

Допустим, нам нужно решить уравнение  

Ясно, что дискриминант следующий:

Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что , поэтому

Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…

2) Используем прием вынесения общего множителя за скобки.

Допустим, нам нужно решить уравнение (кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).

Ясно, что дискриминант следующий: 

Нет, мы не пойдем напролом!

Замечаем, что , а .

Мы можем вынести за скобку общий множитель

Корни найти – уже не проблема…

3) Формула сокращенного дискриимнанта.

Допустим, нам нужно решить уравнение

Вы знаете, что такое ? + показать

Его очень удобно применять в случае четности второго коэффициента (при x).

Вот формулы дискриминанта и корней в этом случае:

для уравнения , где – четное

Тогда корни следующие: , то есть или

Хоть на чуть-чуть, но упростили вычисления. Считаете, что неоправданно, – лишней формулой забивать голову… Выбор за вами.

4) Вместо дискриминанта – т. Виета.

Допустим, нам нужно решить уравнение

Вспоминаем  теорему  Виета:

Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при  в котором равен единице)   сумма корней равна коэффициенту , взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену , то есть ,

Так вот, очевидно, на роль корней уравнения  претендуют числа и , так как и

Вот, пожалуй, все основные случае, где можно сэкономить время и силы при решении квадратного уравнения, о которых я хотела рассказать.

За улыбкой –> + показать

egemaximum.ru

Разузнай! - Как найти дискриминант - Уравнения с дискриминантом

     Среди всего курса школьной программы алгебры одной из самых объемных тем является тема о квадратных уравнениях. При этом под квадратным уравнением понимается уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0 (читается: а умножить на икс в квадрате плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, где а неравно нулю). При этом основное место занимают формулы нахождения дискриминанта квадратного уравнения указанного вида, под которым понимается выражение, позволяющее определить наличие или отсутствие корней у квадратного уравнения, а также их количество (при наличии).

Формула (уравнение) дискриминанта квадратного уравнения

   Общепринятая формула дискриминанта квадратного уравнения выглядит следующим образом: D = b2 – 4ac. Вычисляя дискриминант по указанной формуле, можно не только определить наличие и количество корней у квадратного уравнения, но и выбрать способ нахождения этих корней, которых существует несколько в зависимости от типа квадратного уравнения.

Что значит если дискриминант равен нулю \ Формула корней квадратного уравнения если дискриминант равен нулю

   Дискриминант, как следует из формулы, обозначается латинской буквой D. В случае, когда дискриминант равен нулю, следует сделать вывод, что квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, имеет только один корень, который вычисляется по упрощенной формуле. Данная формула применяется только при нулевом дискриминанте и выглядит следующим образом: x = –b/2a, где х – корень квадратного уравнения, b и а – соответствующие переменные квадратного уравнения. Для нахождения корня квадратного уравнения необходимо отрицательное значение переменной b разделить на удвоенное значение переменной а. Полученной выражение будет решением квадратного уравнения.

Решение квадратного уравнения через дискриминант

   Если при вычислении дискриминанта по вышеприведенной формуле получается положительное значение (D больше нуля), то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по следующим формулам: x1 = (–b + vD)/2a, x2 = (–b – vD)/2a. Чаще всего, дискриминант отдельно не высчитывается, а в значение D, из которого извлекается корень, просто подставляется подкоренное выражение в виде формулы дискриминанта. Если переменная b имеет четное значение, то для вычисления корней квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, можно также использовать следующие формулы: x1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x2 = (–k + v(k2 – ac))/a, где k = b/2.

   В некоторых случаях для практического решения квадратных уравнений можно использовать Теорему Виета, которая гласит, что для суммы корней квадратного уравнения вида x2 + px + q = 0 будет справедливо значение x1 + x2 = –p, а для произведения корней указанного уравнения – выражение x1x x2 = q.

Может ли дискриминант быть меньше нуля

     При вычислении значения дискриминанта можно столкнуться с ситуацией, которая не попадает ни под один из описанных случаев – когда дискриминант имеет отрицательное значение (то есть меньше нуля). В этом случае принято считать, что квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, действительных корней не имеет, следовательно, его решение будет ограничиваться вычислением дискриминанта, а приводимые выше формулы корней квадратного уравнения в данном случае применяться не будут. При этом в ответе к квадратному уравнению записывается, что «уравнение действительных корней не имеет».

Поясняющее видео:

Читайте также:

  • < Как сделать дизайн ногтей
  • Как вызвать матного гномика >

razuznai.ru

Нахождение дискриминанта, формула, сравнение с нулём

Дискриминант — многозначный термин. В данной статье речь пойдёт о дискриминанте многочлена, который позволяет определить, есть ли у данного многочлена действительные решения. Формула для квадратного многочлена встречается в школьном курсе алгебры и анализа. Как найти дискриминант? Что нужно для решения уравнения?

Квадратный многочлен, как искать его корни

Квадратным многочленом или уравнением второй степени называется i * w ^ 2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

  1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
  2. Она помогает их высчитать.

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

  • Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел.
  • Если дискриминант равен нулю, то оба решения совпадают. Можно сказать, что есть всего одно решение, и оно из области вещественных чисел.
  • Если дискриминант меньше нуля, то у многочлена отсутствуют вещественные корни.

Варианты расчётов для закрепления материала

Для суммы {7 * w ^ 2; 3 * w; 1} равной 0 рассчитываем D по формуле 3 * 3 — 4 * 7 * 1 = 9 — 28 получаем -19. Значение дискриминанта ниже нуля говорит об отсутствии результатов на действительной прямой.

Если рассмотреть 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 эквивалентный 0, то D рассчитывается как (-3) в квадрате за вычетом произведения чисел {4; 2; 1} и равняется 9 — 8, то есть 1. Положительное значение говорит о двух результатах на вещественной прямой.

Если взять сумму {w ^ 2; 2 * w; 1} и прировнять к 0, D рассчитается, как два в квадрате минус произведение чисел {4; 1; 1}. Это выражение упростится до 4 — 4 и обратится в ноль. Выходит, что результаты совпадают. Если внимательно вглядеться в данную формулу, то станет понятно, что это «полный квадрат». Значит, равенство можно переписать в форме (w + 1) ^ 2 = 0. Стало очевидно, что результат в этой задаче «-1». В ситуации если D равен 0, левую часть равенства всегда получится свернуть по формуле «квадрат суммы».

Использование дискриминанта в вычислении корней

Эта вспомогательная конструкция не только показывает количество вещественных решений, но и помогает их находить. Общая формула расчёта для уравнения второй степени такова:

w = (-j +/- d) / (2 * i), где d — дискриминант в степени 1/2.

Допустим, дискриминант ниже нулевой отметки, тогда d — мнимо и результаты мнимые.

D нулевой, тогда d, равный D в степени 1/2, тоже нулевой. Решение: -j / (2 * i). Снова рассматриваем 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, находим результаты эквивалентные -2 / (2 * 1) = -1.

Предположим, D > 0, значит, d — вещественное число, и ответ здесь распадается на две части: w1 = (-j + d) / (2 * i) и w2 = (-j — d) / (2 * i). Оба результата окажутся действительные. Взглянем на 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 = 0. Здесь дискриминант и d — единицы. Выходит, w1 равняется (3 + 1) делить (2 * 2) или 1, а w2 равен (3 — 1) делить на 2 * 2 или 1/2.

Результат приравнивания квадратного выражения к нулю вычисляется согласно алгоритму:

  1. Вычисление дискриминанта.
  2. Определение количества действительных решений.
  3. Вычисление d = D ^ (1/2).
  4. Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
  5. Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.

Некоторые частные случаи

В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:

  1. многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
  2. при положительной константе действительных решений найти нельзя.

Если свободный член нулевой, то корни будут {0; -j}

Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

Приведенное уравнение второй степени

Приведенным именуют такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом — единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе «k».

Следовательно, w1 + w2 равно -j и w1 * w2 равняется k, если первый коэффициент — единица. Чтобы убедиться в правильности такого представления, можно выразить из первой формулы w2 = -j — w1 и подставить его во второе равенство w1 * (-j — w1) = k. В итоге получается исходное равенство w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Важно отметить, что i * w ^ 2 + j * w + k = 0 удастся привести путём деления на «i». Результат будет: w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0, где j1 равно j / i и k1 равно k / i.

Взглянем на уже решенное 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 = 0 с результатами w1 = 1 и w2 = 1/2. Надо поделить его пополам, в итоге w ^ 2 — 3/2 * w + 1/2 = 0. Проверим, что для найденных результатов справедливы условия теоремы: 1 + 1/2 = 3/2 и 1*1/2 = 1/2.

Чётный второй множитель

Если множитель при переменной в первой степени (j) делится на 2, то удастся упростить формулу и искать решение через четверть дискриминанта D/4 = (j / 2) ^ 2 — i * k. получается w = (-j +/- d/2) / i, где d/2 = D/4 в степени 1/2.

Если i = 1, а коэффициент j — чётный, то решением будет произведение -1 и половины коэффициента при переменной w, плюс/минус корень из квадрата этой половины за вычетом константы «k». Формула: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 — k) ^ 1/2.

Более высокий порядок дискриминанта

Рассмотренный выше дискриминант трёхчлена второй степени — это наиболее употребимый частный случай. В общем же случае дискриминант многочлена представляет собой перемноженные квадраты разностей корней этого многочлена. Следовательно, дискриминант равный нулю говорит о наличии как минимум двух кратных решений.

Рассмотрим i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D = j ^ 2 * k ^ 2 — 4 * i * k ^ 3 — 4 * i ^ 3 * k — 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Допустим, дискриминант превосходит ноль. Это значит, что имеется три корня в области действительных чисел. При нулевом есть кратные решения. Если D < 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Видео

Наше видео подробно расскажет о вычислении дискриминанта.

liveposts.ru

что называют дискриминантом квадратного уравнения?

такую формулу D = b2 - 4ac с её помощью находят корни уравнения

Согласно формуле корней квадратного уравнения могут быть три случая, определяемых подкоренным выражением (b2 - 4ac). Оно называется дискриминантом (различающим) . Обозначая дискриминант буквой D, можно записать: D &gt; 0, уравнение имеет два различных действительных корня. D = 0, уравнение имеет два равных между собой действительных корня. D &lt; 0, уравнение имеет два различных мнимых корня. x = (-b ± &#8730;&#8254;(b2 - 4ac)) / 2a Пример: 3x2 - 7x + 4=0 x = (7 ± &#8730;&#8254;(72 - 4&#215;3&#215;4)) / (2&#215;3) x = (7 ± &#8730;&#8254;(1)) / 6 x1 = 4/3 x2 = 1 <a rel="nofollow" href="http://www.clascalc.ru/quadratic-equation.htm" target="_blank">http://www.clascalc.ru/quadratic-equation.htm</a> <a rel="nofollow" href="http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/Equations/SquareEquations/" target="_blank">http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/Equations/SquareEquations/</a>

D= b2 - 4ac (если в отрицательное) D=k2 - ac (если число к положительное) k находим так- k= в/2, 4х2+ 4х+1=0 а- 4, к= в/2= 4/2, с= 1 D= r2-ac= 2 в квадрате - 4'1=0, 1 корень х= - к ± &#8730;D /а = -2 ± &#8730;0 / 2= 1/2

Дискриминант. Сам термин образован от лат. discriminar, что в переводе — «разбирать», «различать». Формула дискриминанта. Дискриминант (D) квадратного трёхчлена ax2 + bx + c равен b2 - 4ac. Корни квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) : D &gt; 0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня; D = 0 - уравнение имеет 1 корень (или же 2 совпадающих вещественных корня): D &lt; 0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (т. е. вещественных корней нет).

touch.otvet.mail.ru

помогите вспомнить формулу дискриминанта 1

Уравнение: a*x^2+b*x+c=0 Дискриминант: D = b^2 - 4*a*c

D=b(квадрат) -4*a*c

D=b(в квадрате) -4ac

б квадрат минус 4ас (б то что с х-сом без степени) минус б плюс/минус корень из дискриминанта разделить на 2 а (а то что с х в квадрате)

touch.otvet.mail.ru

Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье "Решение неполных квадратных уравнений".

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах2 + b x + c = 0, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b2 – 4ас .

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D < 0),то корней нет.

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х1 = (-b - √D)/2a ,  и  х2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х2 – 4х + 4= 0.

D = 42 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х2 + х + 3 = 0.

D = 12 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет.

Решить уравнение 2х2 + 5х – 7 = 0.

D = 52 – 4 · 2 · (–7) = 81

х1 = (-5 - √81)/(2·2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

х2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1. 

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах2 + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 32 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах2, затем с меньшим  – bx, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2. 

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х2 равен единице и уравнение примет вид х2 + px + q = 0. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а, стоящий при х2.

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х2 + 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 62 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х1 = (-6 - 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1- √(3)))/6 = –1 – √3

х2 = (-6 + 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам , приведенным на схеме рисунка D1 = 32 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного уравнения рисунок 3.

D2 = 22 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х1= (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х2= (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru