Двоичная система: арифметические операции и область применения. Двоичная система исчисления


Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:0 – это ноль1 – это один (и это предел разряда)10 – это два11 – это три (и это снова предел)100 – это четыре101 – пять110 – шесть111 – семь и т.д.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

100010012 = 13710

Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.

Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)38 / 2 = 19 (0 остаток)19 / 2 = 9 (1 остаток)9 / 2 = 4 (1 остаток)4 / 2 = 2 (0 остаток)2 / 2 = 1 (0 остаток)1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

inf1.info

Бинарные числа: двоичная система счисления

Бинарные числа - это числа из двоичной системы счисления, имеющей основание 2. Она непосредственно реализована в цифровой электронике, используется в большинстве современных вычислительных устройств, включая компьютеры, мобильные телефоны и разного рода датчики. Можно сказать, что все технологии нашего времени построены на бинарных числах.

Запись чисел

Любое число, сколь бы большим оно ни было, в двоичной системе записывается посредством двух символов: 0 и 1. Например цифра 5 из всем знакомой десятичной системы в двоичной будет представлено как 101. Бинарные числа могут быть обозначены префиксом 0b или амперсандом (&), например: &101.Во всех системах счисления, исключая десятичную, символы читаются по одиночке, то есть взятое в пример 101 читается как "один ноль один".

Перевод из одной системы в другую

Программисты, постоянно работающие с двоичной системой счисления, на ходу могут перевести бинарное число в десятичное. Это действительно можно сделать и без всяких формул, особенно если человек имеет представление о том, как работает самая малая часть компьютерного "мозга" - бит.

Цифра ноль так же обозначает 0, а цифра один в двоичной системе тоже будет единицей, но что делать дальше, когда цифры закончились? Десятичная система "предложила" бы в таком случае ввести термин "десяток", а в бинарной системе это будет называться "двойка".

Если 0 это &0 (амперсанд - обозначение двоичной системы), 1 = &1, то 2 будет обозначаться как &10. Тройку тоже можно записать в двух разрядах, она будет иметь вид &11, то есть одна двойка и одна единица. Возможные комбинации исчерпаны, и в десятичной системе на этом этапе вводятся сотни, а в двоичной - "четверки". Четыре - это &100, пять - &101, шесть - &110, семь - &111. Следующая, более крупная единица счета - это восьмерка.

Можно заметить особенность: если в десятичной системе разряды умножаются на десять (1, 10, 100, 1000 и так далее), то в двоичной, соответственно, на два: 2, 4, 8, 16, 32. Это соответствует размеру флеш-карт и прочих накопителей, использующихся в компьютерах и других устройствах.

Что такое бинарный код

Числа, представленные в двоичной системе счисления, называются бинарными, однако в таком виде можно представить и не числовые значения (буквы и символы). Таким образом, в цифрах можно закодировать слова и тексты, правда вид они будут иметь не столь лаконичный, ведь для записи всего одной буквы потребуется несколько нолей и единиц.

Но каким образом компьютерам удается считывать такое количество информации? На самом деле все проще, чем кажется. Люди, привыкшие к десятичной системе счисления, сначала переводят двоичные числа в более привычные, и только потом производят с ними какие-либо манипуляции, а в основе компьютерной логики изначально лежит бинарная система чисел. Единице в технике соответствует высокое напряжение, а нулю - низкое, либо для единицы напряжение есть, а для ноля вообще отсутствует.

Бинарные числа в культуре

Ошибкой будет считать, что двоичная система счисления - это заслуга современных математиков. Хотя бинарные числа и являются основополагающими в технологиях нашего времени, использовались они уже очень давно, причем в разных уголках планеты. Используются длинная линия (единица) и прерывистая (ноль), кодирующие восемь символов, означающих восемь стихий: небо, землю, гром, воду, горы, ветер, огонь и водоем (массу воды). Этот аналог 3-битных цифр описывался в классическом тексте книги Перемен. Триграммы составляли 64 гексаграммы (6-битные цифры), порядок которых в книге Перемен был расположен в соответствии с двоичными цифрами от 0 до 63.

Этот порядок был составлен в одиннадцатом веке китайским ученым Шао Юном, хотя нет доказательств того, что он действительно понимал двоичную систему счисления в целом.

В Индии еще до нашей эры тоже применялись бинарные числа в математической основе для описания поэзии, составленные математиком Пингалой.

Узелковая письменность инков (кипу) считается прообразом современных баз данных. Именно они впервые применили не только бинарный код числа, но и не числовые записи в двоичной системе. Узелковое письмо кипу характерно не только первичными и дополнительными ключами, но и использованием позиционных чисел, кодированием с помощью цвета и сериями повторений данных (циклами). Инки впервые применили способ ведения бухгалтерского учета, называемый двойной записью.

Первый из программистов

Двоичную систему счисления, основанную на цифрах 0 и 1, описал и знаменитый ученый, физик и математик, Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он увлекался древней китайской культурой и, изучая традиционные тексты книги Перемен, заметил соответствие гексаграмм бинарным числам от 0 до 111111. Он восхитился свидетельствам подобных достижений в философии и математике для того времени. Лейбница можно назвать первым из программистов и информационных теоретиков. Именно он обнаружил, что если записать группы двоичных чисел вертикально (одно под другим), то в получившихся вертикальных столбцах чисел будут регулярно повторяться ноли и единицы. Это позвонило ему предположить, что возможно существование совершенно новых математических законов.

Лейбниц понял и то, что бинарные числа оптимальны для применения в механике, основой которой должна быть смена пассивных и активных циклов. На дворе был 17 век, а этот великий ученый изобрел на бумаге вычислительную машину, работавшую на основе его новых открытий, однако быстро понял, что цивилизация еще не достигла такого технологического развития, и в его время создание такой машины будет невозможным.

fb.ru

Двоичная система счисления

Главная / Ассемблер / Для чайников / Системы счисления /

Чисто технически было бы очень сложно сделать компьютер, который бы «понимал» десятичные числа. А вот сделать компьютер, который понимает двоичные числа достаточно легко. Двоичное число оперирует только двумя цифрами – 0 и 1. Несложно сопоставить с этими цифрами два состояния – вЫключено и включено (или нет напряжения – есть напряжение). Процессор – это микросхема с множеством выводов. Если принять, что отсутствие напряжения на выводе – это 0 (ноль), а наличие напряжения на выводе – это 1 (единица), то каждый вывод может работать с одной двоичной цифрой. Сейчас мы говорим о процессоре очень упрощённо, потому что мы изучаем не процессоры, а системы исчисления. Об устройстве процессора вы можете почитать здесь: Структура процессора.

Конечно, это касается не только процессоров, но и других составляющих компьютера, например, шины данных или шины адреса. И когда мы говорим, например, о разрядности шины данных, мы имеем ввиду количество выводов на шине данных, по которым передаются данные, то есть о количестве двоичных цифр в числе, которое может быть передано по шине данных за один раз. Но о разрядности чуть позже.

Итак, процессор (и компьютер в целом) использует двоичную систему, которая оперирует всего двумя цифрами: 0 и 1. И поэтому основание двоичной системы равно 2. Аналогично, основание десятичной системы равно 10, так как там используются 10 цифр.

Каждая цифра в двоичном числе называется бит (или разряд). Четыре бита – это полубайт (или тетрада), 8 бит – байт, 16 бит – слово, 32 бита – двойное слово. Запомните эти термины, потому что в программировании они используются очень часто. Возможно, вам уже приходилось слышать фразы типа слово данных или байт данных. Теперь, я надеюсь, вы понимаете, что это такое.

Отсчёт битов в числе начинается с нуля и справа. То есть в двоичном числе самый младший бит (нулевой бит) является крайним справа. Слева находится старший бит. Например, в слове старший бит – это 15-й бит, а в байте – 7-й. В конец двоичного числа принято добавлять букву b. Таким образом вы (и ассемблер) будете знать, что это двоичное число. Например,

101 – это десятичное число 101b – это двоичное число, которое эквивалентно десятичному числу 5. А теперь попробуем понять, как формируется двоичное число.

Ноль, он и в Африке ноль. Здесь вопросов нет. Но что дальше. А дальше разряды двоичного числа заполняются по мере увеличения этого числа. Для примера рассмотрим тетраду. Тетрада (или полубайт) имеет 4 бита.

Двоичное Десятичное Пояснения
0000 0 -
0001 1 В младший бит устанавливается 1.
0010 2 В следующий бит (бит 1) устанавливается 1, предыдущий бит (бит 0) очищается.
0011 3 В младший бит устанавливается 1.
0100 4 В следующий бит (бит 2) устанавливается 1, младшие биты (бит 0 и 1) очищаются.
0101 5 В младший бит устанавливается 1.
0110 6 Продолжаем в том же духе...
0111 7 ...
1000 8 ...
1001 9 ...
1010 10 ...
1011 11 ...
1100 12 ...
1101 13 ...
1110 14 ...
1111 15 ...

Итак, мы видим, что при формировании двоичных чисел разряды числа заполняются нулями и единицами в определённой последовательности:

Если младший равен нулю, то мы записываем туда единицу. Если в младшем бите единица, то мы переносим её в старший бит, а младший бит очищаем. Тот же принцип действует и в десятичной системе:

0…9 10 – очищаем младший разряд, а в старший добавляем 1 Всего для тетрады у нас получилось 16 комбинаций. То есть в тетраду можно записать 16 чисел от 0 до 15. Байт – это уже 256 комбинаций и числа от 0 до 255. Ну и так далее. На рис. 2.2 показано наглядно представление двоичного числа (двойное слово).

Рис. 2.2. Двоичное число.

av-assembler.ru

Что такое двоичная система счисления? Как перевести десятичное число в двоичное? :: SYL.ru

С двоичной системой счисления мы сталкиваемся при изучении компьютерных дисциплин. Ведь именно на базе этой системы построена работа процессора и некоторые виды шифрования. Существуют специальные алгоритмы для записи десятичного числа в двоичной системе и наоборот. Если знать принцип построения системы, оперировать в ней будет несложно.

Принцип построения системы из нулей и единиц

Двоичная система счисления построена с использованием двух цифр: ноль и один. Почему именно эти цифры? Это связано с принципом построения сигналов, которые используются в работе процессора. На самом низком уровне сигнал принимает только два значения: «ложь» и «истина». Поэтому было принято отсутствие сигнала, «ложь», обозначать нулем, а наличие его, «истину», единицей. Такое сочетание легко реализовать технически. Числа в двоичной системе формируются так же, как и в десятичной. Когда разряд достигает своей верхней границы, он обнуляется, и добавляется новый разряд. По такому принципу осуществляется переход через десяток в десятичной системе. Таким образом, числа состоят из сочетаний нулей и единиц, и это сочетание называется "двоичная система счисления".

Запись числа в системе

В десятичной

В двоичной

В десятичной

В двоичной

0

0

5

101

1

1

6

110

2

10

7

111

3

11

8

1000

4

100

9

1001

Как двоичное число записать в виде десятичного?

Существуют онлайн-сервисы, которые осуществляют перевод числа в двоичную систему и наоборот, но лучше уметь делать это самостоятельно. Двоичная система при переводе обозначается нижним индексом 2, например, 1012. Каждое число в любой системе можно представить в виде суммы чисел, например: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 – в десятичной системе. Так же представляется число в двоичной. Возьмем произвольное число 101 и рассмотрим его. В нем 3 разряда, поэтому раскладываем число по порядку таким способом: 1012=1×22+0×21+1×20=4+1=510, где индекс 10 обозначает десятичную систему.

Как записать простое число в двоичной системе?

Очень легко осуществить перевод в двоичную систему счисления с помощью деления числа на два. Делить необходимо до тех пор, пока это будет возможно выполнить нацело. Например, возьмем число 871. Начинаем делить, обязательно записывая остаток:

871:2=435 (остаток 1)

435:2=217 (остаток 1)

217:2=108 (остаток 1)

108:2=54 (остаток 0) и так далее до конца.

Ответ записывается по полученным остаткам по направлению от конца к началу: 87110=1011001112. Проверить правильность вычислений можно с помощью обратного перевода, описанного ранее.

Для чего нужно знать правила перевода?

Двоичная система счисления применяется в большинстве дисциплин, связанных с микропроцессорной электроникой, кодированием, передачей и шифрованием данных, в различных направлениях программирования. Знания основ перевода из любой системы в двоичную помогут программисту разрабатывать различные микросхемы и осуществлять управление работой процессора и других подобных систем программным способом. Двоичная система счисления также необходима для реализации способов передачи пакетов данных по зашифрованным каналам и создания на их основе программных проектов типа «Клиент-сервер». В школьном курсе информатики основы перевода в двоичную систему и наоборот являются базовым материалом для изучения программирования в будущем и создания простейших программ.

www.syl.ru

Что такое двоичная система счисления?

Двоичная система счисления - вторая по распространенности после привычной всем десятичной, хотя мало кто об этом задумывается. Причина такой востребованности в том, что именно она используется в вычислительной технике. Об этом поговорим позже, а для начала - пара слов о том, что такое вообще система счисления.

Этим словосочетанием обозначают систему записи или другого визуального представления чисел. Это сухое определение. К сожалению, не все понимают, что скрывается за этими словами. Однако все достаточно просто, и первая система счисления появилась тогда же, когда человек научился считать. Самый простой способ представление чисел – это отождествление одних предметов с другими, ну вот хотя бы пальцев на руках и количества плодов, собранных за определенное время. Однако пальцев на руках значительно меньше, чем может быть исчисляемых предметов. Их стали заменять палочками или черточками на песке или камне. Это и была самая первая система счисления, хотя само понятие появилось значительно позже. Она носит название непозиционная, потому что каждая цифра в ней имеет строго определенное значение, вне зависимости от того, какую позицию в записи она занимает.

Но такая запись крайне неудобна, и позже пришла идея группировать предметы и каждую группу обозначать камнем, а не палочкой, ну или рисунком другой формы при записи. Это был первый шаг к созданию позиционных систем, к которым относится и двоичная система счисления. Однако окончательно они сформировались только после изобретения цифр. В силу того, что считать изначально людям было удобнее на пальцах, которых у нормального человека 10, именно десятичная система и стала наиболее распространенной. В распоряжении человека, использующего эту систему цифры, от 0 до 9. Соответственно, когда при счете человек доходит до 9, то есть исчерпывает запас цифр, он пишет единицу в следующий разряд, а единицы обнуляет. И в этом кроется суть позиционных систем счисления: значение цифр в числе напрямую зависит от того, какую позицию она занимает.

Двоичная система счисления предоставляет для расчётов только две цифры, легко догадаться, что это 0 и 1. Соответственно, новые разряды при записи появляются в этом случае гораздо чаще: первый переход регистра происходит уже на числе 2, именно оно двоичной системе обозначается как 10.

Очевидно, что на письме эта система также не слишком удобна, отчего же она так востребована? Все дело в том, что при построении вычислительных машин десятичная система оказалась крайне неудобной и невыгодной, так как производство устройства, имеющего десять различных состояний, довольно дорого, да и занимают они очень много места. Вот и взяли на вооружение придуманную еще инками двоичную систему.

Перевод в двоичную систему счисления вряд ли вызовет у кого-то затруднения. Самый простой и понятный способ сделать это - деление числа на два, до тех пор, пока в ответе не получится ноль. При этом остатки записываются отдельно справа налево последовательно. Рассмотрим на примере, возьмем число 73: 73\2 = 36 и 1 в остатке, единицы записываем в крайнем правом положении, все дальнейшие остатки записываем левее этой единицы. Если вы все сделали правильно, то у вас должно было получиться следующее число: 1001001.

Как же перевод числа в двоичную систему счисления осуществляет компьютер, ведь с клавиатуры мы вводим ему десятичные числа? Неужели также делит на 2? Естественно, нет. Каждой кнопке на клавиатуре соответствует определенная строка в таблице кодировок. Мы наживаем кнопку, программа, называемая драйвер, передает процессору определенную последовательность сигналов. Тот в свою очередь передает запрос в таблицу, какой символ соответствует этой последовательности, и выводит этот символ на экран, или же производит действие, если это необходимо.

Теперь вы знаете, какое значение в нашей жизни имеет двоичная система счисления. Ведь очень многое в нашем мире сейчас делается при помощи электронных вычислительных систем, которые, в свою очередь, были бы совершенно другими, если бы не было этой системы.

fb.ru

арифметические операции и область применения

С самого детства нас приучают к вещам, без которых не обойтись во взрослой жизни: совершать какие-либо простые действия, вежливо разговаривать, читать, считать. Наверное, каждый помнит, с каким трудом ему давался счет в садике или в начальных классах, как тяжело было привыкнуть правильно писать цифры. По прошествии некоторого времени мы настолько привыкаем к тому, что все основано на десятичной системе счисления (счет, деньги, время), что даже не подозреваем о существовании других систем (также широко используемых в различных сферах деятельности, например, в производстве или в сфере ИТ).

Одним из таких "нестандартных" вариантов счисления является двоичная система. Как понятно из названия, весь набор символов в ней состоит из 0 и 1. Хотя она и кажется простой, но двоичная система применяется в самых сложных на сегодняшний день технических устройствах - компьютерах и других автоматизированных комплексах.

Возникает вопрос: почему решили использовать именно ее, ведь человеку гораздо удобнее ориентироваться на привычные 10 цифр? Дело в том, что компьютер - это машина, которая работает с помощью электричества, и ее программная начинка состоит, по сути, из простейших алгоритмов действия. Двоичная система с точки зрения ЭВМ имеет по сравнению с другими ряд преимуществ:

1. Для машины существует 2 состояния: работает или нет, есть ток или нет тока. Каждое из этих состояний характеризует один из символов: 0 - "нет", 1 - "да".

2. Бинарная (двоичная) система позволяет максимально упростить устройство микросхем (то есть достаточно иметь два канала для различных типов сигналов).

3. Данная система более помехоустойчива и быстра. Помехоустойчива потому, что проста, и максимально снижен риск программного сбоя, а быстра потому, что двоичная алгебра намного легче реализуема, нежели десятичная.

4. Булевы операции с двоичными числами совершать намного легче. Вообще, алгебра логики (булева) предназначена для понимания сложных процессов преобразования сигналов в технических системах компьютера.

Если вы учитесь на технической специальности, то наверняка знакомы с основами представления чисел в двоичной форме. Обычному же человеку, неискушенному в подобных делах, арифметические операции с 0 и 1 необходимы для более полного понимания работы компьютера, который, уж точно есть у каждого.

Итак, с нулем и единицей можно совершать те же арифметические операции, что и с обычными цифрами. В данной статье мы не будем рассматривать такие операции, как инверсия, сложение по модулю 2 и другие (чисто специфические).

Рассмотрим, как происходит сложение в двоичной системе счисления. Например, сложим два числа: 1001 и 1110. Начиная с последнего разряда, складываем: 1+0=1, далее 0+1=1, следующее действие:0+1=1, и, наконец, 1+1=10. Итого у нас получилось число 10111.

Вычитание в двоичной системе счисления происходит по тем же принципам. Возьмем для примера те же числа, только теперь из 1110 вычтем 1001. Начинаем также с последнего разряда: 0-1=1 (минус 1 из следующего разряда), далее также по образцу. Итого 101.

Деление и умножение также не имеют принципиальных различий по сравнению с принципами привычной нам десятичной формы.

Кроме двоичной, в компьютере применяются троичные, восьмеричные и шестнадцатиричные системы счисления.

fb.ru

Системы исчисления [АйТи бубен]

Системы исчисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная.

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (1 и 0). Компьютер может различить только нулевое и единичное состояние бита, и работает компьютер в системе исчисления с основанием 2 или в двоичной системе.

Бит получил свое название от английского Binary digit (двоичная цифра).

Сочетанием двоичных цифр (битов) можно представить любое значение. Значение двоичного числа определяется относительной позицией каждого бита и наличием единичных битов. Ниже показано восьмибитовое число, содержащее все единичные биты:

значения: 128 64 32 16 8 4 2 1 биты: 1 1 1 1 1 1 1 1

Самая правая цифра имеет весовое значение 1, следующая цифра влево - 2, следующая - 4 и т.д. Общая сумма для восьми единичных битов в данном случае составит 255:

(1+2+4+8+16+32+64+128=255)

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два.

Допустим, нам нужно перевести число 17 в двоичное. Согласно таблице степеней оснований (см. выше) 17=16+1. Значит на место значимых цифр 16 и 1 ставим 1 - остальные нули. Получаем 17=10001

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19 /2 = 9 с остатком 1 9 /2 = 4 c остатком 1 4 /2 = 2 с остатком 0 2 /2 = 1 с остатком 0 1 /2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в начало двоичной записи. Продолжаем делить на 2 частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.

В обратную сторону нужно десятичные сложить, основываясь на таблице степеней основания 2.

Арифметические действия в двоичном формате

Компьютер выполняет арифметические действия только в двоичном формате. Поэтому, необходимо знать правила сложения в двоичной системе исчисления. Напомним их:

0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

Давайте рассмотрим использование этих правил на конкретном примере.

В десятичной системе исчисления все осуществляется достаточно просто: 65+42=107. Для сложения этих чисел в двоичной системе исчисления нужно сначала перевести их в эту систему, например, как показано на рисунке: Таким образом, получаем: 65 в 10-ой системе = 01000001 в 2-ой системе. Обратите внимание на то, что ведущий ноль в двоичном представлении числа добавлен для дополнения двоичного представления до восьми бит. Аналогично: 42 в 10 = 00101010 в 2. Выполним сложение этих чисел:

01000001 + 00101010 -------- 01101011

Можете перепроверить и убедиться, что 01101011 в 2=107 в 10:

0*27+1*26+1*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20 = 64+32+8+2+1 = 107

Для выполнения операции вычитания последнее заменяется сложением, а в качестве второго слагаемого берется противоположное число. Например, пусть надо выполнить вычитание: 65 - 42. Заменим его сложением: 65 + (-42).

Двоичные числа имеют положительные значения, что обозначается нулевым значением самого левого, старшего разряда. Отрицательные двоичные числа содержат единичный бит в старшем разряде.

27 /16 = 1 с остатком 11 11 /16 = 0 c остатком 1

И того получим 1B.

Остаток от деления на 16 всегда меньше 16. Это относится ко всем системам счисления.

Рассмотрим несколько простых примеров шестнадцатеричной арифметики. Следует помнить, что после шестнадцатеричного числа F следует шестнадцатеричное 10, что равно десятичному числу 16:

6+4=A 5+8=D F+1=10 F+F=1E 10+10=20 FF+1=100

загрузка...

sistemy_ischislenija.txt · Последние изменения: 2010/10/24 16:34 (внешнее изменение)

wiki.dieg.info