Примеры решения квадратных уравнений. Дискриминант таблица


Дискримінант рівняння. Формула Вієта

Дискримінант, як і квадратні рівняння починають вивчати у 8 клаcі в курсі алгебри. Розв'язати квадратне рівняння можна через дискримінант і за допомогою теореми Вієта. Методика вивчення квадратних рівнянь, як і формули дискримінанта досить невдало прищеплюються школярам, як і багато чого в теперішній освіті. Тому проходять шкільні роки, навчання в 9-11 класі заміняє "вища освіта" і всі знову шукають – "Як розв'язати квадратне рівняння?", "Як знайти корені рівняння?", "Як знайти дискримінант?" і ...

Формула дискримінанту

Дискримінант D квадратного рівняння a*x2 + bx + c=0 рівний D=b2 – 4*a*c. Корені (розв'язки) квадратного рівняння залежать від знаку дискримінанту (D) : D>0 – рівняння має 2 різних дійсних коренів; D=0 - рівняння має 1 корінь (2 одинакові корені):D<0 – не має дійсних коренів (в шкільній теорії). У ВУЗ-ах вивчають комплексні числа і вже на множині комплексних чисел рівняння з від'ємним дискримінантом має два комплексні корені.

Формула для обчислення дискримінанту досить проста, тому безліч сайтів пропонують онлайн калькулятор дискримінанту. Ми з такого роду скриптами ще не розібралися, тому хто знає, як це реалізувати просимо писати на пошту Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

Загальна формула для знаходження коренів квадратного рівняння:

Корені рівняння знаходимо за формулоюЯкщо коефіцієнт при змінній в квадраті парний то доцільно обчислювати не дискримінант, а четверту його частинуВ таких випадках корені рівняння знаходять за формулою

Другий спосіб знаходження коренів – це Теорема Вієта.

Формулюється теорема не тільки для квадратних рівнянь, а й для многочленів. Це Ви можете почитати у Вікіпедій чи других електронних ресурсах. Однак для спрощення розглянемо ту її частину, що стосується приведених квадратних рівнянь , тобто рівнянь вигляду (a=1) Суть формул Вієта полягає в тому, що сума коренів рівняння рівна коефіцієнту при змінній, взятому з протилежним знаком. Добуток коренів рівняння рівний вільному члену. Формулами теорема Вієта має запис. Виведення формули Вієта достатньо просто. Розпишемо квадратне рівняння через прості множники Як бачите, все геніальне є одночасно простим. Найефективніше використовувати формулу Вієта коли різниця коренів за модулем або різниця модулів коренів рівна 1, 2. Наприклад, наступні рівняння за теоремою Вієта мають корені До 4 рівняння аналіз має виглядати наступним чином. Добуток коренів рівняння рівний 6, тобто коренями можуть бути значення (1; 6) та (2;3) або пари з протилежним знаком. Сума коренів рівна 7 (коефіцієнту при змінній з протилежним знаком). Звідси робимо висновок, що розв'язки квадратного рівняння рівні x=2; x=3.Найпростіше підбирати корені рівняння серед дільників вільного члена, корегуючи їх знак з метою виконання формул Вієта. На початку це здається важко зробити, але з практикою на ряді квадратних рівнянь така методика виявиться ефективнішою за обчислення дискримінанту та знаходження коренів квадратного рівняння класичним способом.

Як бачите шкільна теорія вивчення дискримінанту та способів знаходження розв'язків рівняння позбавлена практичного змісту – "Для чого школярам квадратне рівняння?", "Який фізичний зміст дискримінанту?".

Давайте спробуємо розібратися, що описує дискримінант?

В курсі алгебри вивчають функції, схеми дослідження функції та побудови графіку функцій. І серед усіх функцій важливе місце займає парабола, рівняння якої можна записати у вигляді Так от фізичний зміст квадратного рівняння – це нулі параболи, тобто точки перетину графіка функції з віссю Ox Властивості парабол, які описані нижче попрошу Вас запам'ятати. Прийде час здавати екзамени, тести, чи вступні іспити і Ви будете вдячні за довідковий матеріал. Знак при змінній в квадраті відповідає чи будуть вітки параболи на графіку іти вгору (a>0),

чи парабола вітками донизу (a<0).

Вершина параболи лежить посередині між коренями

Фізичний зміст дискримінанту:

Якщо дискримінант більший нуля (D>0) парабола має дві точки перетину з віссю Ox. Якщо дискримінант рівний нулю (D=0) то парабола у вершині дотикається до осі абсцис.

І останній випадок, коли дискримінант менший нуля (D<0) – графік параболи належить площині над віссю абсцис (вітки параболи вгору), або графік повністю під віссю абсцис (вітки параболи опущені донизу).

Неповніні квадратні рівняння

Якщо в квадратному рівнянні коефіцієнт при вільному члені або змінній рівні нулю то такі рівняння називають неповними. Корені рівнянь знаходимо за простішими формулами Графік функцій завжди симетричний відносно початку координат. Варто зазначити, що рівняння має дійсні корені лише тоді коли в рівнянні чергуються знаки при коефіцієнтах "+, -" або "-, +".

Неповне квадратне рівняння виглядуодним з коренів завжди має точку x=0. В такому контексті розв'язування квадратних рівнянь стає потрібним, а при побудові графіків парабол, ще й візуально цікавим проведенням часу, особливо якщо йде мова про шкільні заняття з аналізу графіку функцій, чи вивченні теми парабол. Тому в 8, 9 класі рекомендуємо ці дві теми в алгебрі поєднувати.Якщо матеріал допоміг Вам в навчанні, просьба поділитися з друзями посиланням на статтю !

yukhym.com

Дискриминант квадратного уравнения

Квадратное уравнение это уравнение которое выглядит как ax2 + dx + c = 0. В нем значение а,в и с любые числа, при этом а не равно нулю.

Все квадратные уравнения разделяются на несколько видов, а именно:

-Уравнения в которых только один корень.-Уравнения с двумя разными корнями.-Уравнения в которых корней нет совсем.

Это и различает линейные уравнения в которых корень всегда единый, от квадратных. Для того что бы понять какое количество корней в выражении и нужен Дискриминант квадратного уравнения.

Допустим наше уравнение ax2 + dx + c =0. Значит дискриминант квадратного уравнения -

D = b2 - 4 ac

И это нужно запомнить навсегда. С помощью этого уравнения мы и определяем количество корней в квадратном уравнении. И делаем мы это следующим образом:

- Когда D меньше нуля, в уравнении нет корней.- Когда D равно нулю, имеется только один корень.- Когда D больше нуля, соответственно, в уравнении два корня.Запомните что дискриминант показывает сколько корней в уравнении, не меняя знаков.

Рассмотрим для наглядности:

Нужно выяснить какое количество корней в данном квадратном уравнении.

1) х2 - 8х + 12 = 02 )5х2 + 3х + 7 = 03) х2-6х + 9 = 0

Вписываем значения в первое уравнение, находим дискриминант.а = 1, b = -8, c = 12D = (-8)2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16Дискриминант со знаком плюс, значит в данном равенстве два корня.

Делаем тоже самое со вторым уравнениемa = 1, b = 3, c = 7D = 32 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131Значение минусовое, значит корней в данном равенстве нет.

Следующее уравнение разложим по аналогии.а = 1, b = -6, с = 9D = (-6)2- 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0 как следствие имеем один корень в уравнении.

Важно что в каждом уравнении мы выписывали коэффициенты. Конечно это не много длительный процесс, но это помогло нам не запутаться и предотвратило появление ошибок. Если очень часто решать подобные уравнения, то вычисления сможете производить мысленно и заранее знать сколько у уравнения корней.Рассмотрим еще один пример:

1) х2 - 2х - 3 = 02) 15 - 2х - х2 = 03) х2 + 12х + 36 = 0

Раскладываем первоеа = 1, b = -2, с = -3D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, что больше нуля, значит два корня, выведем ихх1 = 2+?16/2 * 1 = 3, х2 = 2-?16/2 * 1 = -1.

Раскладываем второеа = -1, b = -2, с = 15D = (-2)2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, что больше нуля и так же имеет два корня. Выведем их:х1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, х2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Раскладываем третьеа = 1, b = 12, с = 36D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, что равно нулю и имеет один кореньх = -12 + ?0/2 * 1 = -6.Решать данные уравнения не сложно.

Если нам дано неполное квадратное уравнение. Такое как

1х2 + 9х = 02х2 - 16 = 0

Данные уравнения отличаются от тех что были выше, так как оно не полное, в нем нет третьего значения. Но не смотря на это оно проще чем полное квадратное уравнение и в нем дискриминант искать не нужно.

Что делать когда срочно нужна дипломная работа или реферат, а времени на его написание нет? Всё это и многое другое можно заказать на сайте Deeplom.by (http://deeplom.by/) и получить высший балл.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

Дискриминант — WiKi

Дискримина́нт многочлена p(x)=a0+a1x+⋯+anxn{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}, an≠0{\displaystyle a_{n}\neq 0}, есть произведение

D(p)=an2n−2∏i<j(αi−αj)2{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}, где α1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}} — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени

Дискриминант квадратного трёхчлена ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}  равен D=b2−4ac.{\displaystyle D=b^{2}-4ac.} 

  • При D>0{\displaystyle D>0}  вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле
x1,2=−b±b2−4ac2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} .
  • При D=0{\displaystyle D=0}  корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
x=−b2a{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}} .
  • При D<0{\displaystyle D<0}  вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
x1,2=−b±i4ac−b22a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}} .

Многочлен третьей степени

Дискриминант кубического многочлена ax3+bx2+cx+d{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}  равен

D=b2c2−4ac3−4b3d−27a2d2+18abcd.{\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.} 

В частности, дискриминант кубического многочлена x3+px+q{\displaystyle x^{3}+px+q}  (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен −27q2−4p3{\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}} .

  • При D>0{\displaystyle D>0}  кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
  • При D=0{\displaystyle D=0}  он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
  • При D<0{\displaystyle D<0}  кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Многочлен четвертой степени

Дискриминант многочлена четвертой степени ax4+bx3+cx2+dx+e{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}  равен

D=256a3e3−192a2bde2−128a2c2e2+144a2cd2e−27a2d4+144ab2ce2−6ab2d2e−80abc2de+18abcd3+16ac4e−4ac3d2−27b4e2+18b3cde−4b3d3−4b2c3e+b2c2d2.{\displaystyle {\begin{aligned}&D=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}} 

Для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}  дискриминант имеет вид

D=256s3−128q2s2+144qr2s−27r4+16q4s−4q3r2{\displaystyle D=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}} 

и равенство D=0{\displaystyle D=0}  определяет в пространстве (q,r,s){\displaystyle (q,r,s)}  поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

  • При D<0{\displaystyle D<0}  многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
  • При D>0{\displaystyle D>0}  многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
А именно, для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s} :[1]
  • При D=0{\displaystyle D=0}  многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
Точнее:[1]
  • если q<0{\displaystyle q<0}  и s>q24{\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q<0{\displaystyle q<0}  и −q212<s<q24{\displaystyle -{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}} , то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
  • если q<0{\displaystyle q<0}  и s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}} , то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
  • если q<0{\displaystyle q<0}  и s=−q212{\displaystyle s=-{\frac {q^{2}}{12}}} , то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
  • если q>0{\displaystyle q>0} , s>0{\displaystyle s>0}  и r≠0{\displaystyle r\neq 0} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q>0{\displaystyle q>0} , s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}  и r=0{\displaystyle r=0} , то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
  • если q>0{\displaystyle q>0}  и s=0{\displaystyle s=0} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q=0{\displaystyle q=0}  и s>0{\displaystyle s>0} , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
  • если q=0{\displaystyle q=0}  и s=0{\displaystyle s=0} , то один вещественный корень кратности 4.

ru-wiki.org

Квадратные уравнения, примеры решений

Теория по квадратным уравнениям

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадратным уравнением называется уравнение вида , где .

Возможны такие случаи:

, тогда имеем квадратное уравнение вида и .

, тогда имеем квадратное уравнение вида , если ; если – корней нет.

, тогда имеем квадратное уравнение вида .

, тогда имеем полное квадратное уравнение , которое решается или с помощью дискриминанта:

   

Или по теореме Виета:

   

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Решить следующие неполные квадратные уравнения

   

Решение 1) В уравнении вынесем за скобки . Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, следовательно:

   

или

   

2) В уравнении перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при :

   

3) В уравнении перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при :

   

У данного квадратного уравнения нет корней.

4) уравнение равносильно уравнению , которое имеет два совпадающих корня .

Ответ

Корней нет

ПРИМЕР 2
Задание Решить квадратное уравнение
Решение Подсчитаем для заданного уравнения, чему равен дискриминант:

   

Так как , то уравнение имеет два совпадающих корня:

   

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение
Решение Вычислим дискриминант для исходного уравнения, получим:

   

Так как , данное уравнение решений не имеет.

Ответ Корней нет.
ПРИМЕР 4
Задание Решить квадратное уравнение
Решение Дискриминант заданного уравнения, равен

   

Следовательно, уравнение имеет два различных корня

   

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение, используя теорему Виета:
Решение Пусть и – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета

   

Проанализируем полученные равенства. Произведение корней отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки. Разложим –12 на множители, учитывая, что они должны быть числами разного знака. Возможны такие варианты: –12 и 1; 12 и –1; –6 и 2; 6 и –2; –4 и 3; 4 и –3. Так как сумма корней равна 1, то корнями будут числа и .

Ответ

ru.solverbook.com

Квадратные уравнения. Примеры решения

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный - ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение - то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Задача 1. Найти корни квадратного уравнения

x^2-26x+120=0.

Решение: Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминантаКорень из данного значения равен 14, его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.Найденное значение подставляем в формулу корнейи получаем

 

Задача 2. Решить уравнение

2x2+x-3=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминантПо известным формулам находим корни квадратного уравнения

 

Задача 3. Решить уравнение

9x2-12x+4=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминантПолучили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

 

Задача 4. Решить уравнение

x^2+x-6=0.

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравненияС второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.Корни уравнения равны

 

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:х(18-х)=77;илих2-18х+77=0.Найдем дискриминант уравненияВычисляем корни уравненияЕсли х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

 

Задача 6. Разложить квадратное 10x2-11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминантПодставляем найденное значение в формулу корней и вычисляемПрименяем формулу разложения квадратного уравнения по корнямиРаскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминантупростим его и приравняем к нулюПолучили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

 

Пример 2. При каких значениях параметра а, уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.Вычислим дискриминанти найдем значения а при котором оно положительноС первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравненияОпределим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачиПодобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

yukhym.com