Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. Диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов трех его измерений


Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

Теорема. Во всяком параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.

Так, грани (рис.) BB1С1С и AA1D1D параллельны, потому, что две пересекающиеся прямые BB1 и B1С1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым AA1 и A1D1 другой. Эти грани и равны, так как B1С1=A1D1, B1B=A1A (как противоположные стороны параллелограммов) и ∠BB1С1 = ∠AA1D1.

Теорема. Во всяком параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Возьмем (рис.) в параллелепипеде какие-нибудь две диагонали, например, AС1 и DB1, и проведем прямые AB1 и DС1.

Так как ребра AD и B1С1 соответственно равны и параллельны ребру BС, то они равны и параллельны между собой.

Вследствие этого фигура ADС1B1 есть параллелограмм, в котором С1A и DB1 - диагонали, а в параллелограмме диагонали пересекаются пополам.

Это доказательство можно повторить о каждых двух диагоналях.

Поэтому диагональ AC1 пересекается с BD1 пополам, диагональ BD1 с A1С пополам.

Таким образом, все диагонали пересекаются пополам и, следовательно, в одной точке.

Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Пусть (рис.) AC1 есть какая-нибудь диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Проведя AC, получим два треугольника: AC1С и ACB. Оба они прямоугольные:

первый потому, что параллелепипед прямой, и следовательно, ребро СС1 перпендикулярно к основанию,

второй потому, что параллелепипед прямоугольный, значит в основании его лежит прямоугольник.

Из этих треугольников находим:

AC21 = AC2 + СС21 и AC2 = AB2 + BC2

Следовательно, AC21= AB2 + BC2 + СС21 = AB2 + AD2 + AA21

Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

razdupli.ru

Диагональ параллелепипеда. Формула. Как найти диагональ параллелепипеда?

Диагональ параллелепипеда. Формула. Как найти диагональ параллелепипеда?

  • Прямоугольным параллелепипедом (ПП) является ни что иное, как призма, основанием у которой прямоугольник. У ПП все диагонали равны, значит любая его диагональ рассчитывается по формуле:

    где

    Можно дать и другое определение, рассматривая декартову прямоугольную систему координат:

    Диагональ ПП это радиус-вектор любой точки пространства, заданной координатами x, y и z в декартовой системе координат. Этот радиус вектор к точке проводится из начала координат. А координатами точки будут проекции радиус-вектора (диагонали ПП) на координатные оси. Проекции совпадают с вершинами данного параллелепипеда.

  • Прямоугольный параллелепипед - это разновидность многогранника, состоящая из 6 граней, в основании которого прямоугольник. Диагональ - это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма.

    Формула нахождения длины диагонали - квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений параллелограмма.

  • Нашлась в интернете неплохая схема-таблица с полным перечислением всего, что есть в параллепипеде. Есть формула, чтобы найти диагональ, которая обозначается d.

    Есть изображение грани, вершины и других важных для параллепипеде вещей.

  • Если у прямоугольного параллелепипеда известны длина, высота и ширина (a,b,c) то формула для расчета диагонали будет выглядеть таким образом:

    Обычно учителя не предлагают своим ученикам quot;голуюquot; формулу, а прилагают усилия, чтобы те могли самостоятельно ее вывести, задавая наводящие вопросы:

    • что нужно узнать, какими данными мы располагаем?
    • какие свойства имеет прямоугольный параллелепипед?
    • применима ли здесь Теорема Пифагора? Как?
    • достаточное ли данных для применения теоремы Пифагора, или нужны еще какие-то расчеты?

    Обычно после ответа на поставленные вопросы, ученики без труда самостоятельно выводят данную формулу.

  • Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Также как и диагонали его противоположных граней. Длину диагонали можно вычислить, зная длину рбер параллелограмма, исходящих из одной вершины. Эта длина равна корню квадратному из суммы квадратов длин его рбер.

  • Прямоугольный параллелепипед это один из так званных многогранников, который состоит из 6 граней, каждая из которых является прямоугольником. А диагональ - это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма. Если длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда принять за a, b, c соответственно, то формула его диагонали ( D ) будет выглядеть следующим образом: D^2=a^2+b^2+c^2.

  • Диагональ прямоугольного параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины . Итак, у нас есть прямоугольный параллелепипед с диагональю d и со сторонами a, b, c . Одно из свойств параллелепипеда гласит, что квадрат длины диагонали d равен сумме квадратов трх его измерений a, b, c. Отсюда вывод, что длина диагонали может быть легко рассчитана по следующей формуле :

  • Квадрат диагонали, квадратного параллилепипеда (смотрите свойства квадратного параллепипеда) равна сумме квадратов трх его разных сторон (ширине, высоте, толщине), а соответственно диагонали квадратного параллепипеда равна корню из этой суммы.

  • Вспоминаю школьную программу по геометрии, можно сказать так: диагональ параллелепипеда равняется корню квадратному полученному из суммы его всех трех сторон (обозначаются они маленькими буквами a, b, c).

  • Длина диагонали прямоугольного параллепипеда равна корню квадратному из суммы квадратов его сторон.

  • Насколько мне известно еще со школьной программы, класс 9 если не ошибаюсь, и если не изменяет память , то диагональ прямоугольного параллелепипеда ровна корню квадратному суммы квадратов его всех трех сторон.

  • квадрат диагонали равен, сумме квадратов ширины , высоты и длинны , исходя с этой формулы получаем ответ , диагональ равно корню квадратному с суммы его трех разных измерений , буквами они позначаюnсz abc

  • info-4all.ru

    Ответы@Mail.Ru: Помогите плиз с геометрией!

    Решение 1) Пусть АВСДА1В1С1Д1 данный параллелепипед. Его измерения относятся как 1:1:2. Если "к" коэффициент пропорциональности, то АД =ДС = 1к и ДД1 =2к. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений, то есть ( 2√6)² = к² +к² + (2к) ² или 24 = 6к² или 4=к² или к=2 Тогда АД= ДС =2 и ДД1 =4 2) Из прямоугольного тр=ка ДД1В находим sin B = DD1/ BD1 =4/ 2√6 = 2/ √6 = √6/ 3

    Дай преподу стольник он те сам решит ))))

    ох уж эта геометрия.... извини чувак ничем не могу помочь.... сама в этом не разбираюсь.

    <a rel="nofollow" href="http://spishy.ru" target="_blank" >ТУТ</a>

    заходи в Otbet.ru там все есть

    1)"нижний" квадрат - ABCD, "верхний" квадрат - A1B1C1D1 AB=BC=CD=DA=A1B1=B1C1=C1D1=D1A1=Х, из соотношения измерений получаем AA1=BB1=CC1=DD1=2Х диагональ осн- это диагональ квадрата со стороной Х, ее длина = корень из 2Хквадрат ( и ее квадрат= 2Хквадрат) теперь квадрат диагонали параллелепипеда (из условия з-чи это будет = 24)= сумме квадрата диагонали основания (нашли выше = 2Хквадрат) и квадрата высоты (4Хквадрат) = корень из 6Хквадрат= Хкорней из6...Ну и всё - получаем, что Х=2 2) ваш синус равен отношению высоты пар-да к его диагонали = 4/2корня из6= 2/корень из6

    Решение 1) Пусть АВСДА1В1С1Д1 данный параллелепипед. Его измерения относятся как 1:1:2. Если "к" коэффициент пропорциональности, то АД =ДС = 1к и ДД1 =2к. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений, то есть ( 2√6)² = к² +к² + (2к) ² или 24 = 6к² или 4=к² или к=2 Тогда АД= ДС =2 и ДД1 =4 2) Из прямоугольного тр=ка ДД1В находим sin B = DD1/ BD1 =4/ 2√6 = 2/ √6 = √6/ 3

    touch.otvet.mail.ru

    Ответы@Mail.Ru: Прямоугольный паралелепипед

    Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Найдем боковую сторону АА1: 5&#8730;26в квадрате= 15 в квадрате+ 20 в квадрате+АА1 в квадрате АА1=5 Значит боковая поверхность: 5 *15=75 А вот с площадью сечения затрудняюсь.

    1) площадь боковой поверхности равна 350 кв. см; 2) площадь сечения равна примерно 162,3 кв. см. пусть х - высота параллелепипеда, тогда 15^2+20^2+x^2 = (5 &#8730; 26)^2 х = &#8730; (15^2+20^2+5^2*26) = &#8730; 25 = 5 (см) 1) Sбок. пов. = (5*15+5*20)*2 = 350 (кв. см) 2) это треугольник получается. . его стороны (a,b,c) - это диагонали основания и двух боковых сторон параллелепипеда. . т. е. диагонали прямоугольников. . диагонали прямоугольника находятся по теореме Пифагора и равны квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины этого прямоугольника. . исходя из этого, находим стороны треугольника (сечения) : а = &#8730; (15^2+20^2) = &#8730; 625 = 25 (см) b = &#8730; (15^2+5^2) = &#8730; 250 = примерно 15,8 (см) с = &#8730; (5^2+20^2) = &#8730; 425 = примерно 20,6 (см) зная длины сторон треугольника (сечения) , можно найти его площадь по формуле Герона: Sтр. = &#8730; (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) , где p - полупериметр. р = (a+b+c)/2 = (25+15,8+20,6)/2 = 30,7 (см) Sтр. = &#8730; (30,7*(30,7-25)*(30,7-15,8)*(30,7-20,6)) = &#8730; 26334,2451 = примерно 162,3 (кв. см)

    Lenore, ботанка типа?

    touch.otvet.mail.ru

    Как найти объём у прямоугольного параллелепипеда?

    логично предположить что надо все три измерения его перемножить) ну или как вариант площадь основания на высоту умножить)))

    <img src="//otvet.imgsmail.ru/download/50c150871be95e2319903ba637f79687_i-21.jpg">

    Прямоуго́льный параллелепи́пед — многогранник с шестью гранями, каждая из которых является в общем случае прямоугольником. Противолежащие грани параллелепипеда равны. Рёбра параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине взаимно перпендикулярны. Примерами тел, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, спичечный коробок или системный блок компьютера. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, принадлежащих одной вершине, иногда называют измерениями. Например, распространённый спичечный коробок имеет измерения 15, 35, 50 мм. Правильным или квадратным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого два измерения равны, у такого параллелепипеда две противолежащие грани представляют собой квадраты. Объём прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле: V=a b c, где a, b, c — его измерения. Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все шесть граней куба — равные квадраты. Квадрат длины диагонали d прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: d^2 = a^2+b^2+c^2, соответственно, длина диагонали равна: d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}.

    а умножить на в и на с

    Всё очень просто, нужно длину, высоту и ширину умножить между собой

    Ширину умножить на высоту и умножить на длину (a*b*c)

    Нужно, Просто умножить, V=A*B*C

    Нужно перемножить стороны друг на друга! Формула V = a * b * c Для простого расчета используйте калькулятор - <a rel="nofollow" href="http://www.center-pss.ru/math/obiemparallelepipeda.htm" target="_blank">http://www.center-pss.ru/math/obiemparallelepipeda.htm</a>

    touch.otvet.mail.ru

    Калькулятор расчета диагонали прямоугольного параллелепипеда

    Параллелепипедом является призма, основанием которой служит многогранник, чаще всего — параллелограмм. У него имеются грани, вершины, ребра. Параллелепипеды могут быть прямыми и наклонными. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники. Две грани, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а грани с общим ребром — смежными. Противоположные грани попарно параллельны, имеют равные измерения. Вершины параллелепипеда, не относящиеся к одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Четыре его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Три ребра прямоугольного параллелепипеда с общей вершиной являются его измерениями. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Квадрат его диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

    D2 = a2 + b2 + с2

    где D — диагональ, a, b, c — длины трех измерений прямоугольного параллелепипеда (ребер).

    Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню квадратному из суммы квадратов трех его измерений.

    где d — диагональ прямоугольного параллелепипеда, a, b, c — длины трех его измерений (ребер).

    Если известна диагональ и длина двух измерений (ребер) прямоугольного параллелепипеда, можно найти длину третьего измерения (ребра) по формуле:

    a = √D2 — b2 + с2

    Зная длину ребер прямоугольного параллелепипеда, можно вычислить все диагонали его боковых граней, воспользовавшись теоремой Пифагора. Диагональ боковой стороны (грани) прямоугольного параллелепипеда делит ее на два одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенузой будет искомая нами диагональ, а катетами — ребра параллелепипеда. Тогда, диагональ, как гипотенуза прямоугольного треугольника, будет равна корню квадратному из суммы квадратов катетов (двух ребер параллелепипеда):

    d2 = a2 + b2

    d = √a2 + b2

    где d — диагональ грани, а, b — длина и ширина (величина двух смежных ребер).

    Рассчитать диагональ прямоугольного параллелепипеда зная длину ребер

    infofaq.ru

    Свойства параллелепипеда, с примерами

    Параллелепипеды бываю прямыми (боковое ребро перпендикулярно основанию) и наклонными.

    Параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

    Грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными ( и ), в противном случае – смежные ( и ).

    Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю () параллелепипеда.

    Расстояние между плоскостями оснований называют высотой параллелепипеда. В прямом параллелепипеде высота совпадает с боковым ребром.

    Свойства параллелепипеда

    1. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
    2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
    3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты):

         

    4. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

         

    5. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро

         

    Примеры решения задач

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com