Как возвести отрицательное число в степень. Что такое отрицательная степень числа


Возведение в степень отрицательного числа

Как возвести в степень отрицательное число?

Возведение в степень отрицательного числа можно выполнить, основываясь на определении степени.

По определению степени, n-я степень отрицательного числа -a — это произведение n множителей, каждый из которых равен -a:

Например,

   

Произведение двух отрицательных чисел — положительное число. Произведение любого чётного количества отрицательных чисел — также положительное число. Таким образом, возведение в чётную степень отрицательного числа можно упростить.

Степень с  отрицательным основанием и  чётным показателем равна степени с основанием, противоположным данному и с тем же показателем:

   

(2n — чётное число).

Например,

   

   

Произведение трех отрицательных чисел — число отрицательное. Произведение любого нечётного количества отрицательных чисел — также отрицательное число. Следовательно, при возведении отрицательного числа в нечётную степень получим отрицательное число.

Чтобы возвести в нечётную степень отрицательное число, надо поставить знак «минус» и возвести в эту степень число, противоположное данному:

   

(2n+1 — нечётное число).

Например,

   

   

www.algebraclass.ru

Как посчитать отрицательную степень

Возведение в степень — онлайн калькулятор, секретные примеры, игры

Возведение в степень – операция, тесно связанная с умножением, это операция – результат многократного умножения какого-либо числа на само себя. Изобразим формулой: a1 * a2 * … * an = an.

Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8.

Вообще возведение в степень часто используется в различных формулах по математике и физике. Эта функция имеет более научное предназначение, чем четыре основные: Сложение, Вычитание, Умножение, Деление.

Возведение числа в степень

Возведение числа в степень – операция не сложная. Оно связано с умножением подобно связи умножения и сложения. Запись an – краткая запись n-ого количество чисел «а» умноженных друг на друга.

Рассмотри возведение в степень на самых простых примерах, переходя к сложным.

Например, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Четыре в квадрате (во второй степени) равно шестнадцати. Если вам не понятно умножение 4 * 4, то читайте нашу стать об умножении.

Рассмотрим еще одни пример: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125. Пять в кубе (в третьей степени) равно ста двадцати пяти.

Еще один пример: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729. Девять в кубе равняется семи сотням двадцати девяти.

Формулы возведения в степень

Чтобы грамотно возводить в степень нужно помнить и знать формулы, указанные ниже. В этом нет ничего сверх естественного, главное понять суть и тогда они не только запомнятся, но и покажутся легкими.

Возведение одночлена в степень

Что из себя представляет одночлен? Это произведение чисел и переменных в любом количестве. Например, двух – одночлен. И вот именно о возведении в степень таких одночленов данная статья.

Пользуясь формулами возведения в степень вычислить возведение одночлена в степень будет не трудно.

Например, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Если возводить одночлен в степень, то в степень возводится каждая составная одночлена.

Возводя в степень переменную уже имеющую степень, то степени перемножаются. Например, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Возведение в отрицательную степень

Отрицательная степень – обратное число. Что такое обратное число? Любому числу Х обратным будет 1/X. То есть Х-1=1/X. Это и есть суть отрицательной степени.

Рассмотрим пример (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Почему так? Так как в степени имеется минус, то просто переносим в знаменатель данное выражение, а затем возводим в его в третью степень. Просто не так ли?

Возведение в дробную степень

Начнем рассмотрение вопрос на конкретном примере. 43/2. Что означает степень 3/2? 3 – числитель, означает возведение числа (в данном случае 4) в куб. Число 2 – знаменатель, это извлечение корня второй степени из числа (в данном случае 4).

Тогда получаем квадратный корень из 43 = 2^3 = 8. Ответ: 8.

Итак, знаменатель дробной степени может быть, как 3, так и 4 и до бесконечности любым числом и это число определяет степень квадратного корня, извлекаемого из заданного числа. Конечно же, знаменатель не может быть равным нулю.

Возведение корня в степень

Если корень возводится в степень, равной степени самого корня, то ответом будет подкоренное выражение. Например, (√х)2 = х. И так в любом случае равенства степени корня и степени возведения корня.

Если (√x)^4. То (√x)^4=x^2. Чтобы проверить решение переведем выражение в выражение с дробной степенью. Так как корень квадратный, то знаменатель равен 2. А если корень возводится в четвертую степень, то числитель 4. Получаем 4/2=2. Ответ: x = 2.

В любом случае лучший вариант просто перевести выражение в выражение с дробной степенью. Если не будет сокращаться дробь, значит такой ответ и будет, при условии, что корень из заданного числа не выделяется.

Возведение в степень комплексного числа

Что такое комплексное число? Комплексное число – выражение, имеющее формулу a + b * i; a, b – действительные числа. i – число, которое при возведение в квадрат дает число -1.

i^2=-1.

Рассмотрим пример. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Записаться на курсПодробнее

Возведение в степень онлайн

С помощью нашего калькулятора, Вы сможете посчитать возведение числа в степень:

Загрузка калькулятора…

Возведение в степень 7 класс

Возведение в степень начинают проходить школьники только в седьмом классе.

Возведение в степень – операция, тесно связанная с умножением, это операция – результат многократного умножения какого-либо числа на само себя. Изобразим формулой: a1 * a2 * … * an=an.

Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Примеры для решения:

Возведение в степень презентация

Презентация по возведению в степень, рассчитанную на семиклассников. Презентация может разъяснить некоторые непонятные моменты, но, вероятно, таких моментов не будет благодаря нашей статье.

Скачать презентацию

Итог

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Записаться на курсПодробнее

Источник: https://cepia.ru/vozvedenie-v-stepenj

Калькулятор возведения в степень

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

Показатель степени записывается как надстрочный знак, а в данной статье мы будем обозначать возведение в степень знаком ^.

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 13^4 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя.

Если умножить 13^4 на 13^2, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 13^6.

Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

a^m × a^n = a^(m+n).

Если разделить 13^4 на 13^2, то нам потребуется вычислить дробь вида:

(13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 13^2. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так:

a^m / a^n = a^(m – n).

Теперь давайте возведем 11^4 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так:

(a^m)^n = a^(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 15^0? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 15^4 на 15^4, что запишется как дробь:

15^4 / 15^4.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 15^0. Следовательно:

15^4 / 15^4 = 15^0 = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так:

a^0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 8^2 на 8^4 и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8^(-2). В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

a^(-m) = 1 / a^m

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

a^(-1) = 1 / a.

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7^(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка.

Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат.

Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как:

a^(m/n) есть корень n-ной степени из a^m.

Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

Рост = a × e^(kt),

где a – начальное значение, e – константа, равная 2,718; k – коэффициент роста; t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8.

Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049.

Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x^2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции.

Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Заключение

Возведение в степень — арифметическая операция последовательного умножения. Степени имеют больше значение в прикладных науках, так как большинство реальных процессов описываются при помощи степенных функций. Используйте наш калькулятор для расчетов любых практических или школьных задач.

Источник: https://bbf.ru/calculators/73/

Отрицательная степень

Числом, возведенным в степень, называют такое число, которое несколько раз умножено само на себя.

Степень числа с отрицательным значением (a-n) можно определить на подобии того, как определяется степень того же числа с положительным показателем (an). Однако, оно также требует дополнительного определения. Определяется такая формула как: 

a-n = ( 1 / an )

Свойства отрицательных значений степеней чисел аналогичны степеням с положительным показателем. Представленное уравнение am / an = am-n может быть справедливым как

«Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса».

при n больше m, так и при m больше n. Рассмотрим на примере: 72-75=72-5=7-3.

Для начала необходимо определить то число, которое выступает определением степени. b=a(-n).

В этом примере -n является показателем степени, b – искомое числовое значение, a – основание степени в виде натурального числового значения.

Затем определить модуль, то есть абсолютное значение отрицательного числа, которое выступает в роли показателя степени. Вычислить степень данного числа относительного абсолютного числа, как показателя. Значение степени находится делением единицы на полученное число.

 Рис. 1

Рассмотри степень числа с отрицательным дробным показателем. Представим, что число а это любое положительное число, числа n и m – натуральные числа.

Согласно определению a, которое возведено в степень— равняется единице, разделенной на это же число с положительной степенью (рис 1).

Когда степенью числа является дробь, то в таких случаях используются исключительно числа с положительными показателями.

Стоит помнить, что ноль никогда не может быть показателем степени числа (правило деления на ноль).

Распространению такого понятия как число стали такие манипуляции,  как расчеты измерения, а также развитие математики, как науки. Ввод отрицательных значений было обусловлено развитием алгебры, которая давала общие решения арифметических задач, независимо от их конкретного смысла и исходных числовых данных.

В индии еще в VI-XI веках отрицательные значения чисел систематически употребляли во время решения задач и растолковывались таким же образом, что и сегодня. В европейской науке отрицательные числа начали обширно употребляться благодаря Р. Декарту, который дал геометрическое толкование отрицательным числам, как направлениям отрезков.

Именно Декарт предложил обозначение числа возведенного в степень отображать как двухэтажную формулу an.

Вернуться к просмотру справок по дисциплине «Алгебра»

Источник: http://www.studyguide.ru/note.php?id=21

Степень с отрицательным показателем

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

Определение.

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

В частности,

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак  в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

В частности,

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Примеры.

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

Если в показателе степени стоит десятичная дробь,  нужно перевести ее в обыкновенную:

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

Источник: http://www.algebraclass.ru/otricatelnaya-stepen/

Калькулятор степеней

Предлагаем попробовать наш калькулятор степеней, который поможет возвести в степень онлайн любое число.

Использовать калькулятор очень просто — введите число, которое вы хотите возвести в степень, а затем число — степень и нажмите на кнопку «Посчитать».

Примечательно то, что наш онлайн калькулятор степеней может возвести в степень как положительную, так и отрицательную. А для извлечения корней на сайте есть другой калькулятор.

Как возвести число в степень

Давайте рассмотрим процесс возведения в степень на примере. Пусть нам необходимо возвести число 5 в 3-ю степень. На языке математики 5 — это основание, а 3 — показатель (или просто степень). И записать это можно кратко в таком виде:

А чтобы найти значение, нам будет необходимо число 5 умножить на себя 3 раза, т. е.

53 = 5 x 5 x 5 = 125

Соответственно, если мы хотим найти значение числа 7 в 5 степени, мы должны число 7 умножить на себя 5 раз, т. е. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Другое дело когда требуется возвести число в отрицательную степень.

Как возводить в отрицательную степень

При возведении в отрицательную степень необходимо использовать простое правило:

Все очень просто — при возведении в отрицательную степень мы должны поделить единицу на основание в степени без знака минус — т. е. в положительной степени. Таким образом, чтобы найти значение2-3

мы должны поступить следующим образом:

2-3 =1 / (23)

А так как 23 =8, то мы получим

2-3 =1 / 8 = 0,125

Ваша оценка

Источник: http://calculat.ru/kalkulyator-stepenej

Калькулятор степеней — возвести в степень онлайн | Programforyou

  • Главная
  • /
  • Калькуляторы
  • /

Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и вещественные).

Показатель степени также может быть целым или вещественным, и также как положительным, так и отрицательным.

Следует помнить, что для отрицательных чисел возведение в нецелую степень не определено и потому калькулятор сообщит об ошибке в случае, если вы всё же попытаетесь это выполнить.

Что такое натуральная степень числа?

Число p называют n-ой степенью числа a, если p равно числу a, умноженному само на себя n раз: p = an = a·…·an — называется показателем степени, а число a — основанием степени.

Как возвести число в натуральную степень?

Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 34Решение: как было сказано выше, 34 = 3·3·3·3 = 81.Ответ: 34 = 81.

Пример 2. Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 55Решение: аналогично, 55 = 5·5·5·5·5 = 3125.Ответ: 55 = 3125.

Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.

Что такое отрицательная степень числа?

Отрицательная степень -n числа a — это единица, поделённая на a в степени n: a-n = .

При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль.

Как возвести число в целую отрицательную степень?

Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.

Пример 1. Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2-4

Решение: как было сказано выше, 3-4 = = = 0.0625.

Ответ: 2-4 = 0.0625.

Источник: https://programforyou.ru/calculators/calculator-stepenej

Сборник задач по алгебре

Источник: http://oldskola1.narod.ru/Kochetkov1/Kochetkov86.htm

Экспонента на калькуляторе

Что такое экспонента и с чем её едят, мы разберемся в следующий раз. Сейчас мы разберемся, как где находится экспонента на калькуляторе и как её на калькуляторе считать. Нажимайте на ссылку, калькулятор откроется в новом окне. Приступим к практическим занятиям.

Нажимайте на те же кнопочки, что нажимал я и смотрите на результат.

Для начала возведем число е в степень 4. В начале нужно набрать показатель степени. Нажимаем на кнопочку 4.

Результат нашего вмешательства в беззаботную жизнь калькулятора можете посмотреть на картинке.

После этого нажимаем на специальную кнопочку экспоненты, обозначенную на калькуляторе е в степени х. Как видно из рисунка, калькулятор нас правильно понял и отреагировал именно так, как нам нужно.Для вычисления заданного нами примера экспоненты необходимо нажать кнопочку равно.Всё, мы получили требуемое значение.

е4=54,598

Общий порядок нахождения экспоненты на калькуляторе такой: набираете показатель степени, потом нажимаете специальную кнопку ех и кнопку =, результат готов. Можно поступить наоборот — сперва нажать кнопочку экспоненты ех, после этого ввести значение показателя степени и нажать кнопку равно.

Для показателей степени в виде целях чисел или десятичных дробей оба варианта одинаковы. Если же показатель степени задан обыкновенной дробью, то лучше пользоваться вторым способом. Сперва нажимаете кнопку экспоненты, потом вводите числитель дроби, нажимаете кнопку деления, вводите знаменатель дроби и нажимаете кнопку равно.

На этой странице мы рассмотрим первый способ.

Для начала вычислим е в первой степени. Собственно, это и будет значение числа е. Напомню, что любое число в первой степени равно самому себе. Порядок нажимания кнопочек пронумерован на картинке красными цифрами.

Мы получили округленное до 14 знаков после запятой значение числа е:

е1=е=2,71828182845905≈2,718

Число е подчиняется всем свойствам степени, как и любое другое число. Результаты возведения его в степень такие же, как у чисел больших единицы. При возведении в степень больше единицы результат будет больше первоначального. Для примера, возведем число е в не целую степень 9,876. Порядок нажимания кнопочек показан красными цифрами, результат виден на картинке.

Если показатель степени меньше единицы но больше нуля, то результат получится меньше первоначального но больше единицы. Это соответствует извлечению корня из числа е. Если на калькуляторе ввести показатель степени 0,5 (что равнозначно 1/2) то мы найдем квадратный корень числа е. Мы для примера возьмем экспоненту в степени 0,123По логике, дальше следует показатель степени . Число е, как и любое другое число в нулевой степени, равняется единице. Это мы знаем и без калькулятора.

е0=1

Теперь переходим к отрицательным показателям степени экспоненты. Знак минус возле степени означает обратное число, то есть единицу, деленную на число е в указанной степени, но уже без знака минус. Умный калькулятор это понимает и без наших подсказок — он отлично справляется с отрицательной степенью. Для начала вычислим е в минус первой степени. Смотрим на картинку.

Мы получили число, обратное числу е:

е-1=1/е1=1/e=0,36787944117144≈0,368

Дальше пробуем добыть экспоненту со степенью меньше минус единицы.Здесь полученный результат нужно преобразовать в удобоваримый для математиков вид. Делается это так:

е-9,876=1/е9,876=1/e=0,00005139344103≈5,139*10-5

Если после полученного на калькуляторе результата нажать ещё раз на знак равенства, десятичная дробь преобразуется в обычную дробь. Результат этой хитрой операции виден на картинке.Но этот результат мне не нравится. Одна тысячная почти в два раза больше пяти десятитысячных. Если бы программа с калькулятором была русской, я бы подумал, что эту функцию писал бывший госслужащий, привыкший всё увеличивать в два раза (нужно же откуда-то себе воровать). Остается только предупредить, что и калькулятору полностью доверять нельзя, нужно самому анализировать результат, который он выдает. В заключение найдем экспоненту с показателем степени больше минус единицы, но меньше нуля.Теперь попробуем преобразовать результат в обычную дробь.На этот раз калькулятор выдал более красивый результат. Но я уже ему не верю. Проверим результат преобразования, разделив на калькуляторе числитель на знаменатель. Результат деления записан ниже экспоненты.Вот теперь можно поверить калькулятору, поскольку погрешность преобразования совсем незначительная. Округление даже до пяти знаков после запятой дает одинаковый результат. Что делать, если вы пользуетесь виндосовским калькулятором и даже в инженерном варианте нет заветной кнопочки «е в степени икс»? Найдите кнопочку «Inv», рядом с ней есть кнопочка натурального логарифма «ln». Смело нажимайте кнопочку «Inv».

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ  IV

§ 86. Степень положительного числа с отрицательным дробным показателем

Подобно тому как в § 71 мы определили степень а—п числа а с отрицательным целым   показателем — п, можно   определить  и степень положительного числа а с отрицательным дробным показателем —m/n.

Пусть а— произвольное положительное  число,   а т и п — натуральные числа. Тогда по определению

Степень положительного числа с отрицательным дробным, показателем равна единице, деленной на степень того же числа с  показателем,  противоположным   показателю   данной   степени.

Например,   

Теперь мы знаем, что представляет собой степень положительного числа с любым рациональным показателем.

Степени с рациональными показателями обладают следующими основными  свойствами:

Частично эти свойства были доказаны нами в предыдущих параграфах, но лишь для положительных показателей. Теперь же мы можем доказать их для произвольных рациональных показателей.

Докажем,  например,  свойство   1.

Для положительных показателей m/n и p/q доказательство было дано в  предыдущем  параграфе. Поэтому нам нужно  рассмотреть следующие случаи:

1)  оба показателя отрицательны;

2)  один из  показателей отрицательный,   а другой — положительный;

3)  хотя бы один из показателей равен нулю.

Пусть т, п, р и q — натуральные числа. Покажем, что

Действительно, по определению степени с отрицательным показателем

Поэтому

откуда и вытекает требуемое соотношение.

Мы рассмотрели случай, когда показатели каждой из двух степеней отрицательны. Теперь рассмотрим случай, когда один из них положителен, а другой отрицателен. Докажем, например,  что

Если m/n > p/q, то по свойству 5, упомянутому в предыдущем  параграфе,

Здесь мы используем определение а0 = 1. Таким образом,

Нам осталось рассмотреть случай, когда из двух степеней с одинаковыми основаниями хотя бы одна имеет нулевой показатель.. Докажем,   например,   что

Действительно,   а0 = 1 и m/n+ 0 = m/n Поэтому

Свойство   1  доказано.

Аналогично можно доказать и все остальные свойства.

Заметим,   что  если   в   предыдущем   параграфе   мы   могли    говорить о свойстве 5 лишь при m/n > p/q,   то теперь,    используя   определения степени положительного числа с нулевым и отрицательным дробным показателем, мы можем доказать его и для случая, когда m/n 

Экспонента на калькуляторе Виндовс картинка 1

После нажатия этой кнопочки, расположенная рядом кнопочка натурального логарифма волшебным образом превратится в кнопочку «число е в степени икс».

Экспонента на калькуляторе Виндовс картинка 2

По замыслу создателей калькулятора, такие превращения натурального логарифма и ежу понятны. Но… Во-первых. Ёжик должен быть трезвым. Во-вторых. Ёжик должен быть сообразительным. В третьих. В памяти ежа на первом месте должны бить свойства натуральных логарифмов, а не какая-то ерунда типа любви, смысла жизни или завтрашнего урока по математике. Что касается меня. Я редко бываю трезвым — это раз. Иногда я ужасно туплю — это два. Для меня смысл математики гораздо важнее свойств каких-то вшивых логарифмов — это три.

Источник: http://www.webstaratel.ru/2012/01/jeksponenta-na-kalkuljatore.html

Возведение числа в отрицательную степень

Как известно, в математике существуют не только положительные числа, но и отрицательные. Если знакомство с положительными степенями начинается с определения площади квадрата, то с отрицательными всё несколько сложнее.

Это следует знать:

  1. Возведением числа в натуральную степень называется умножение числа (понятие число и цифра в статье будем считать эквивалентными) само на себя в таком количестве, каков показатель степени (в дальнейшем будем использовать параллельно и просто слово показатель). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. В общем виде это выглядит так: m^n = m*m*m*…*m (n раз).
  2. Нужно учитывать, что при возведении отрицательного числа в натуральную степень, оно станет положительным, если показатель чётный.
  3. Возведение числа в показатель 0 даёт единицу, при условии, что оно не равно нулю. Ноль в нулевой степени считается неопределённым. 17^0 = 1.
  4. Извлечением корня некой степени из числа называется нахождение такого числа, которое при возведении в соответствующий показатель даст искомое. Так, корень кубический из 125 равен 5, поскольку 5^3 = 125.
  5. Если требуется возвести число в дробную положительную степень, то необходимо возвести число в показатель знаменателя и извлечь из него корень показателя числителя. 6^5/7 = корень седьмой степени из произведения 6*6*6*6*6.
  6. Если требуется возвести число в отрицательный показатель, то необходимо найти цифру обратную данной. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Возведение в отрицательную степень числа по модулю от нуля до единицы

Сначала нам следует вспомнить, что такое модуль. Это расстояние на координатной прямой от выбранного нами значения до начала отсчёта (нуля координатной прямой). По определению он никогда не может быть отрицательным.

Значение больше нуля

При значении цифры в промежутке от нуля до единицы отрицательный показатель даёт увеличение самой цифры. Происходит это из-за уменьшения знаменателя, остающегося при этом положительным.

Рассмотрим на примерах:

  • 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
  • 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Причём, чем больше модуль показателя, тем активнее растёт цифра. При стремлении знаменателя к нулю – сама дробь стремится к плюс бесконечности.

Значение меньше нуля

Сейчас рассмотрим как возводить в отрицательную степень, если цифра меньше нуля. Принцип тот же, что и в предыдущей части, но здесь имеет значение знак показателя.

Опять-таки обратимся к примерам:

Источник: https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/vozvedenie-chisla-v-otritsatelnuyu-stepen

Как посчитать степень?

Как посчитать степень?

Гуманитарные науки

1. Углубленное рассмотрение вопроса «как посчитать степень?»

В частности данные примеры помогают ученикам развивать мышление на уроках математики. В жизни такие вычисления проводятся нечасто. Одним из вариантов выступает расчет площади квадрата или объёма куба, поскольку величины сторон данных фигур являются одинаковыми. Так же расчеты степени часто проводятся на производстве.

2. Для полного обхвата тематики можно попробовать возвести отрицательное число в степень. При этом, четная степень будет со знаком «+», а нечетная – со знаком «-». (-3)^2 = (-3)*(-3) = 9

(-3)^3 = (-3)*(-3)*(-3) = -27

3. Дальше — интереснее. Например, сейчас многие удивятся, если узнают, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Как это выглядит.

5^0 = 1 (-7)^0 = 1

(3/4)^0 = 1

4. Если показатель равен единице, это значит, что число остается без изменений.

8^1 = 8435^1 = 435

5. Извлечение корня. Проведем элементарное действие, обратное возведению в степень.

Допустим, 3^2 = 9, тогда квадратный корень из 9 равняется 3.Или 2^3 = 8, в таком случае корень третей степени равен 2.

6. При необходимости возвести число в отрицательную степень, нужно провести следующие расчеты:

Возводим 10 в -3 степень 10*10*10= 1 000 Знак «минус» показывает, что результат надо подставить в знаменатель простой дроби.

То есть, получим 1/1 000 = 0,001

Для подобных вычислений существуют специальные таблицы. Кроме этого, никто не исключает возможности воспользоваться калькулятором онлайн, особенно это удобно, когда нужно посчитать дробные числа корня или показателя степени. Так же одним из наиболее доступных инструментов для проведения операций со степенями считается таблица Excel.

  • Компьютеры, Интернет
  • Красота и Здоровье
  • Досуг, Развлечения
  • Семья, Дом, Дети
  • Еда, Кулинария
  • Товары и Услуги
  • Животные, Растения
  • Наука, Техника, Языки
  • Бизнес, Финансы
  • Знакомства, Любовь, Отношения
  • Философия, Непознанное
  • Авто, Мото
  • Искусство и Культура
  • Юридическая консультация
  • Темы для взрослых
  • Гороскопы, Магия, Гадания
  • Работа, Карьера
  • Образование
  • Спорт
  • Стиль, Мода, Звезды
  • Города и Страны
  • Фотография, Видеосъемка
  • Общество, Политика, СМИ
  • Путешествия, Туризм
  • Юмор
  • Другое
  • Без рубрики
  • Популярные
  • Последние Вопросы

Источник: http://questione.ru/a/kak-poschitat-stepen

Нулевая, отрицательная и дробная степень

Возвести данное число в некоторую степень значит повторить его сомножителем столько раз, сколько единиц в показателе степени.

Согласно этому определению, выражение: a0 не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя равен показателю делимого, введено определение:

a0 = 1

Нулевая степень любого числа будет равна единице.

Отрицательный показатель

Выражение a-m, само по себе не имеет смысла. Но чтобы правило деления степеней одного и того же числа имело значение и в том случае, когда показатель делителя больше показателя делимого, введено определение:

Пример 1. Если данное число состоит из 5 сотен, 7 десятков, 2 единиц и 9 сотых долей, то его можно изобразить так:

5 × 102 + 7 × 101 + 2 × 100 + 0 × 10-1 + 9 × 10-2 = 572,09

Пример 2. Если данное число состоит из a десятков, b единиц, c десятых и d тысячных долей, то его можно изобразить так:

a × 101 + b × 100 + c × 10-1 + d × 10-3

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении степеней одного и того же числа показатели складываются.

    При делении степеней одного и того же числа из показателя делимого вычитается показатель делителя.

      Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

      Чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно оба члена дроби:

      При возведении степени в другую степень показатели степеней перемножаются.

        Дробный показатель

        Если k не есть число кратное n, то выражение:не имеет смысла. Но чтобы правило извлечения корня из степени имело место при любом значении показателя степени, введено определение:

        Благодаря введению нового символа, извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

        Действия над степенями с дробными показателями

        Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для целых показателей.

        При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей:и, служащих показателями степеней, положительны.

        В частном случае n или q могут равняться единице.

        При умножении степеней одного и того же числа дробные показатели складываются:

        При делении степеней одного и того же числа с дробными показателями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

        Чтобы возвести степень в другую степень в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

        Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

        Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

        Источник: https://naobumium.info/algebra/stepen.php

        __________________________________________

        novpedkolledg2.ru

        Ответы@Mail.Ru: что такое степень числа?

        степень показывает, какое кол-во раз необходимо умножить данное число (основание) на само себя, точнее сколько цифр нужно перемножить, Например: 5 в степени 4 - 5*5*5*5 = 625 (-3) в степени 4 = (-3)*(-3)*(-3)*(-3)=81 (-1) в степени 1 = (-1) Важно: если отрицательное число стоит без скобок, то это значит что знак минус не участвует в перемножении и выносится за скобки, например: -3 в степени 4 = -( 3*3*3*3) = - 81 Это же касается дробных чисел, пример: (2/3) в степени 2 = (2 в степени 2) /(3 в степени 2) 2/3 в степени 2 = (2 в степени 2) / 3 6 в степени 3 - 6*6*6=216, Существуют такие понятие как "квадрат числа" - это вторая степень, например: 4 в квадрате = 4*4=16 и "куб числа" или "число в кубе" - третья степень - 1в кубе = 1*1*1=1 Правило: Любое число в нулевой степени равняется 1, будь то отрицательное число или дробное, даже ноль в степени ноль равен 1 Отрицательная степень переворачивает число, пример: 3 в степени (-1) = 1/3, 2 в степени (-2)= 1/4, (2/3) в степени (-1 )= 3/2

        Степенью числа "a" с натуральным показателем "n", бóльшим 1, называется произведение "n" одинаковых множителей, каждый из которых равен числу "a". Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение. Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишут 4*6 (6 вверху) и произносят "четыре в шестой степени". Выражение "четыре в шестой степени".называют степенью числа, где: 4 - основание степени; 6 - показатель степени.

        Смотря по тому, о какой степени идет речь! ! Олег Дьяченко неплохо рассказал про целые степени. Правда, с одной грубой ошибкой: НУЛЕВАЯ СТЕПЕНЬ НУЛЯ НЕОПРЕДЕЛЕНА или 0^0 - не имеет смысла. Рациональная степень определяется через понятие арифметического корня, а иррациональная степень через предельный переход.

        степень показывает, какое кол-во раз необходимо умножить данное число (основание) на само себя, точнее сколько цифр нужно перемножить, Например: 5 в степени 4 - 5*5*5*5 = 625 (-3) в степени 4 = (-3)*(-3)*(-3)*(-3)=81 (-1) в степени 1 = (-1) Важно: если отрицательное число стоит без скобок, то это значит что знак минус не участвует в перемножении и выносится за скобки, например: -3 в степени 4 = -( 3*3*3*3) = - 81 Это же касается дробных чисел, пример: (2/3) в степени 2 = (2 в степени 2) /(3 в степени 2) 2/3 в степени 2 = (2 в степени 2) / 3 6 в степени 3 - 6*6*6=216, Существуют такие понятие как "квадрат числа" - это вторая степень, например: 4 в квадрате = 4*4=16 и "куб числа" или "число в кубе" - третья степень - 1в кубе = 1*1*1=1 Правило: Любое число в нулевой степени равняется 1, будь то отрицательное число или дробное, даже ноль в степени ноль равен 1 Отрицательная степень переворачивает число, пример: 3 в степени (-1) = 1/3, 2 в степени (-2)= 1/4, (2/3) в степени (-1 )= 3/2

        степень показывает, какое кол-во раз необходимо умножить данное число (основание) на само себя, точнее сколько цифр нужно перемножить,

        touch.otvet.mail.ru

        Как возвести отрицательное число в степень

        Операция возведения в степень является «бинарной», то есть имеет два обязательных входных параметра и один выходной. Один из исходных параметров называется показателем степени и определяет количество раз, которое операция умножения должна быть применена ко второму параметру - основанию. Основание может быть как положительным, так и отрицательным числом.

        Инструкция

        • Используйте при возведении в степень отрицательного числа обычные для этой операции правила. Как и для положительных чисел, возведение в степень означает умножение исходной величины на саму себя количество раз, на единицу меньшее показателя степени. Например, чтобы возвести в четвертую степень число -2, его нужно трижды умножить на себя: -2⁴=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.
        • Умножение двух отрицательных чисел всегда дает положительное значение, а результатом этой операции для величин с разными знаками будет число отрицательное. Из этого можно сделать вывод, что при возведении отрицательных значений в степень с четным показателем всегда должно получаться число положительное, а при нечетных показателях результат всегда будет меньше нуля. Используйте это свойство для проверки произведенных расчетов. Например, -2 в пятой степени должно быть числом отрицательным -2⁵=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, а -2 в шестой - положительным -2⁶=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.
        • При возведении отрицательного числа в степень показатель может быть приведен в формате обыкновенной дроби - например, -64 в степени ⅔. Такой показатель означает, что исходную величину следует возвести в степень, равную числителю дроби, и извлечь из нее корень степени, равной знаменателю. Одна часть этой операции рассмотрена в предыдущих шагах, а здесь вам следует обратить внимание на другую.
        • Извлечение корня - нечетная функция, то есть для отрицательных вещественных чисел она может применяться только при нечетном показателе степени. При четном эта функция значения не имеет. Поэтому, если в условиях задачи требуется возвести отрицательное число в дробную степень с четным знаменателем, то задача решения не имеет. В остальных случая проделайте сначала операции из первых двух шагов, используя в качестве показателя степени числитель дроби, а затем извлеките корень со степенью знаменателя.

        completerepair.ru

        Степень числа - 7 класс - Алгебра - Каталог статей

        Степень числа

        Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение. Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишут 46 и произносят «четыре в шестой степени».4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 46

        Выражение 46 называют степенью числа, где:•    4 - основание степени;•    6 - показатель степени. В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается с помощью выражения:    

        • Степенью числа "a" с натуральным показателем "n", бóльшим 1, называется произведение "n" одинаковых множителей, каждый из которых равен числу "a".

         Запись an читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a». 

        Исключение составляют записи:•    a2 - её можно произносить как «а в квадрате»;•    a3 - её можно произносить как «а в кубе». 

        Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:•    a2 - «а во второй степени»;•    a3 - «а в третьей степени».Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).    

        • Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
        • a1 = a
        • Любое число в нулевой степени равно единице.
        • a0 = 1
        • Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
        • 0n = 0
        • Единица в любой степени равна 1.
        • 1n= 1

        Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.•    (-32)0 = 1•    0234 = 0•    14 = 1При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени. 

        Пример. Возвести в степень.•    53 = 5 • 5 • 5 = 125•    2.52 = 2.5 • 2.5 = 6.25•    (3)4 = 3• 3• 3• 3 = 81      4       4  4   4  4   256

        Возведение в степень отрицательного числаОснование степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом - положительным, отрицательным или нулём.    

        • При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

        При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени. 

        Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел. Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно. 

        Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.    Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное.

        • Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, - число отрицательное.
        • Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
        • a2 ≥ 0 при любом a.

        •    2 • (- 3)2 = 2 • (- 3) • (- 3) = 2 • 9 = 18•    - 5 • (- 2)3 = - 5 • (- 8) = 40 

        Обратите внимание!При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (- 5)4 и -54 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные. 

        Вычислить (- 5)4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.(- 5)4 = (- 5) • (- 5) • (- 5) • (- 5) = 625 

        В то время как найти -54 означает, что пример нужно решать в 2 действия:1.    Возвести в четвёртую степень положительное число 5. 54 = 5 • 5 • 5 • 5 = 6252.    Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание). -54 = - 625Пример. Вычислить: - 62 - (- 1)4- 62 - (- 1)4 = - 37

        1.    62 = 6 • 6 = 362.    -62 = - 363.    (- 1)4 = (- 1) • (- 1) • (- 1) • (- 1) = 14.    - (- 1)4 = - 15.    - 36 - 1 = - 37 

        Порядок действий в примерах со степенямиВычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.    

        • В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.
        • Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

        Пример. Вычислить:  

        Cвойства степени

        Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.Свойство № 1 Произведение степеней    

        • При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
        • am • an = am+n, где a - любое число, а m, n - любые натуральные числа.

        Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.Примеры.•    Упростить выражение. b • b2 • b3 • b4 • b5 = b1+2+3+4+5 = b15

        •    Представить в виде степени. 615• 36 = 615 • 62 = 615+2 = 617

        •    Представить в виде степени. (0,8)3 • (0,8)12 = (0,8)3+12 = (0,8)15    

        • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.
        • Нельзя заменять сумму (33 + 32) на 33. Это понятно, если посчитать 33 = 27 и 32= 9; 27 + 9 = 36, а 35 = 243

         

        Свойство № 2 Частное степеней    

        • При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
        • am • an = am-n, где a - любое число, не равное нулю, а m, n - любые натуральные числа такие, что m > n.

        Примеры.•    Записать частное в виде степени (2b)5 : (2b)3 = (2b)5-3 = (2b)2

        •    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней. 38 : t = 34

        t = 38 : 34

        t = 38-4

        t = 34

        Ответ: t = 34 = 81 

        Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.•    Пример. Упростить выражение. 45m+6 • 4m+2 : 44m+3 = 45m+6+m+2 : 44m + 3 = 46m + 8 - 4m - 3= 42m + 5

            Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.Нельзя заменять разность (43 - 42) на 41. Это понятно, если посчитать 43 = 64 и 42 = 16; 64 - 16 = 48, а 41 = 4Будьте внимательны! 

        Свойство № 3 Возведение степени в степень    

        • При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
        • (an)m = an • m, где a - любое число, а m, n - любые натуральные числа.

        •    Пример.(a4)6 = a4 • 6 = a24•    Пример. Представить 320 в виде степени с основанием 32.По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:  

        Свойства 4 Степень произведения    

        • При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.
        • (a • b)n = an • bn, где a, b - любые рациональные числа; n - любое натуральное число.

        •    Пример 1.

        (6 • a2 • b3 • c )2 = 62 • a2• 2 • b3 • 2 • с 1 • 2 = 36 a4 • b6 • с 2

        •    Пример 2.

        (- x2 • y)6 = ( (- 1)6 • x2 • 6 • y1 • 6) = x12 • y6    Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.(an • bn)= (a • b) n 

        То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.•    Пример. Вычислить.

        24 • 54 = (2 • 5)4 = 104 = 10 000

        •    Пример. Вычислить.

        0,516 • 216 = (0,5 • 2)16 = 1 

        В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.Например, 45 • 32 = 43 • 42 • 32 = 43 • (4 • 3)2 = 64 • 122 = 64 • 144 = 9216 

        Пример возведения в степень десятичной дроби.421 • (-0,25)20 = 4 • 4 20 • (-0,25) 20 = 4 • (4 • (-0,25))20 = 4 • (- 1)20 = 4 • 1 = 4

        Свойства 5Степень частного (дроби)    

        • Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
        • (a : b)n = an : bn, где a, b - любые рациональные числа, b ≠ 0, n - любое натуральное число.

        •    Пример. Представить выражение в виде частного степеней. (5 : 3)12 = 512 : 312 

        Возведение в степень дроби

        • При возведении в степень дроби нужно возвести в степень и числитель, и знаменатель.

        Примеры возведения в степень дроби. 

        Как возвести в степень смешанное числоЧтобы возвести в степень смешанное число, сначала избавляемся от целой части, превращая смешанное число в неправильную дробь. После этого возводим в степень и числитель, и знаменатель.Пример.Формулу возведения в степень дроби применяют как слева направо, так и справа налево, то есть, чтобы разделить друг на друга степени одинаковыми показателями, можно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

        •    Пример. Найти значение выражения рациональным способом. 

        Свойства степеней

         

        matematik.3dn.ru