Что такое симметрия в математике? Определение и примеры. Что такое ось симметрии 2 класс


Осевая симметрия.

  • Две точки А и А1 называются симметричными друг другу относительно прямой m, если прямая m перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину. Прямую m называют осью симметрии.
  • При сгибании плоскости чертежа по прямой m – оси симметрии симметричные фигуры совместятся.
  • Прямоугольник имеет две оси симметрии.
  • Квадрат имеет четыре оси симметрии.
  • Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.

Точки А и А1 симметричны относительно прямой m, так как прямая m перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину.

m – ось симметрии.

 

Прямоугольник ABCD имеет две оси симметрии: прямые m и l.

Если чертеж перегнуть по прямой m или по прямой l, то обе части чертежа совпадут.

 

 

Квадрат ABCD имеет четыре оси симметрии: прямые m, l,  k и  s.

Если квадрат перегнуть по какой-либо из прямых: m, l, k или s, то обе части квадрата совпадут.

 

 

 

Окружность с центром в точке О и радиусом ОА имеет бесчисленное количество осей симметрии. Это прямые:  m, m1, m2, m3 ... 

 

 

 

 

Задание. Построить точку А1, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Ох.

Построить точку А2, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Оy.

Точка А1(-4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Ох, так как ось Ох перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину.

У точек, симметричных относительно оси Ох абсциссы совпадают, а ординаты являются противоположными числами.

Точка А2(4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Оy, так как ось Оу перпендикулярна отрезку АА2 и проходит через его середину.

У точек, симметричных относительно оси Оу ординаты совпадают, а абсциссы являются противоположными числами.

 

Запись имеет метки: математика 6 класс

www.mathematics-repetition.com

Что такое симметрия в математике? Определение и примеры

Понимать, что такое симметрия в математике, необходимо, чтобы в дальнейшем освоить базовые и продвинутые темы алгебры, геометрии. Немаловажно это и для понимания черчения, архитектуры, правил построения рисунка. Несмотря на тесную связь с самой точной наукой – математикой, симметрия важна и для артистов, художников, творцов, и для тех, кто занимается научной деятельностью, причем в любой области.

Общая информация

Не только математика, но и естественные науки во многом основаны на понятии симметрии. Более того, оно встречается в повседневной жизни, является одним из базовых для природы нашей Вселенной. Разбираясь, что такое симметрия в математике, необходимо упомянуть, что существует несколько типов этого явления. Принято говорить о таких вариантах:

  • Двустороннем, то есть такой, когда симметрия зеркальная. Это явление в ученой среде принято именовать «билатеральным».
  • Эн-ном порядке. Для этого понятия ключевое явление – это угол поворота, вычисляемый разделением 360 градусов на некоторую заданную величину. Кроме того, заранее определяется ось, вокруг которой эти повороты совершаются.
  • Падиальная, когда явление симметрии наблюдают, если повороты совершатся произвольно на некоторый случайный по величине угол. Ось также выбирается независимым образом. Для описания такого явления применяют группу SO(2).
  • Сферическая. В этом случае речь идет о трех измерениях, в которых объект вращают, выбирая произвольные углы. Выделяют конкретный случай изотропии, когда явление становится локальным, свойственным среде либо пространству.
  • Вращательная, соединившая в себе две описанные ранее группы.
  • Лоренц-инвариативная, когда имеют место произвольные вращения. Для этого типа симметрии ключевым понятием становится «пространство-время Минковского».
  • Супер, определяемая как замена бозонов фермионами.
  • Высшая, выявляемая в ходе группового анализа.
  • Трансляционная, когда имеются сдвиги пространства, для которых ученые выявляют направление, расстояние. На основе полученных данных проводят сравнительный анализ, позволяющий выявить симметрию.
  • Калибровочная, наблюдаемая в случае независимости калибровочной теории при соответствующих преобразованиях. Здесь особенное внимание обращают на теорию поля, в том числе фокусируются на идеях Янга-Миллса.
  • Кайно, принадлежащая к классу электронных конфигураций. О том, что представляет собой такая симметрия, математика (6 класс) представления не имеет, ведь это наука высшего порядка. Явление обусловлено вторичной периодичностью. Было открыто в ходе научной работы Е. Бирона. Терминология введена С. Щукаревым.

Зеркальная

Во время обучения в школе учащихся практически всегда просят сделать работу «Симметрия вокруг нас» (проект по математике). Как правило, ее рекомендуют к выполнению в шестом классе обычной школы с общей программой преподавания предметов. Чтобы справиться с проектом, необходимо сперва ознакомиться с понятием симметрии, в частности, выявить, что представляет собой зеркальный тип как один из базовых и наиболее понятных для детей.

Для выявления явления симметрии рассматривают конкретную геометрическую фигуру, а также выбирают плоскость. Когда говорят о симметричности рассматриваемого объекта? Сперва на нем выбирают некоторую точку, а затем находят для нее отражение. Между ними двумя проводят отрезок и вычисляют, под каким углом к выбранной ранее плоскости он проходит.

Разбираясь, что такое симметрия в математике, помните, что выбранная для выявления этого явления плоскость будет называться именно плоскостью симметрии и никак иначе. Проведенный отрезок должен пересекаться с ней под прямым углом. Расстояние от точки до этой плоскости и от нее до второй точки отрезка должно быть равным.

Нюансы

О чем еще интересном можно узнать, разбирая такое явление, как симметрия? Математика (6 класс) рассказывает, что две фигуры, считающиеся симметричными, совсем не обязательно идентичны друг другу. Понятие равности существует в узком и широком смысле. Так вот, симметричные объекты в узком – не одно и то же.

Какой пример из жизни можно привести? Элеметарный! Что скажете насчет наших перчаток, варежек? Мы все привыкли их носить и знаем, что терять нельзя, ведь вторую такую в пару уже не подобрать, а значит, покупать придется обе заново. А все почему? Потому что парные изделия, хотя и симметричны, но рассчитаны на левую и правую руку. Это – типичный пример зеркальной симметрии. Что касается равности, то такие объекты признают «зеркально равными».

А что с центром?

Рассматривать центральную симметрию начинают с определения свойств тела, применительно к которому необходимо оценить явление. Чтобы назвать его симметричным, сперва выбирают некоторую точку, расположенную по центру. Далее выбирают точку (условно назовем ее А) и ищут для нее парную (условно обозначим Е).

При определении симметричности точки А и Е соединяют между собой прямой линией, захватывающей центральную точку тела. Далее измеряют получившуюся прямую. Если отрезок от точки А до центра объекта равен отрезку, отделяющему центр от точки Е, можно говорить о том, что найден центр симметрии. Центральная симметрия в математике – одно из ключевых понятий, позволяющих далее развивать теории геометрии.

А если вращаем?

Разбирая, что такое симметрия в математике, нельзя упустить из внимания понятие вращательного подтипа этого явления. Для того чтобы разобраться с терминами, берут тело, имеющее центральную точку, а также определяют целое число.

В ходе эксперимента заданное тело вращают на угол, равный результату деления 360 градусов на выбранный целый показатель. Для этого необходимо знать, что такое ось симметрии (2 класс, математика, школьная программа). Эта ось – прямая, соединяющая две выбранные точки. О симметрии вращения можно говорить, если при выбранном угле поворота тело будет находиться в том же положении, как и до проведения манипуляций.

В том случае, когда натуральным числом было выбрано 2, и обнаружено явление симметрии, говорят, что определена осевая симметрия в математике. Такая характерна для ряда фигур. Типичный пример: треугольник.

О примерах подробнее

Практика многолетнего преподавания математики и геометрии в средней школе показывает, что проще всего с явлением симметрии разобраться, объясняя его на конкретных примерах.

Для начала рассмотрим сферу. Для такого тела одновременно свойственны явления симметричности:

  • центральной;
  • зеркальной;
  • вращательной.

В качестве главной выбирают точку, расположенную точно по центру фигуры. Чтобы подобрать плоскость, определяют большой круг и словно бы «нарезают» его на пласты. О чем говорит математика? Поворот и центральная симметрия в случае шара – понятия взаимосвязанные, при этом диаметр фигуры будет служить осью для рассматриваемого явления.

Еще один наглядный пример – круглый конус. Для этой фигуры свойственна осевая симметрия. В математике и архитектуре это явление нашло широкое теоретическое и практическое применение. Обратите внимание: в качестве оси для явления выступает ось конуса.

Наглядно демонстрирует изучаемое явление прямая призма. Этой фигуре свойственна зеркальная симметрия. Плоскостью выбирают «срез», параллельный основаниям фигуры, удаленный от них на равные промежутки. Создавая геометрический, начертательный, архитектурный проект (математике симметрия важна не меньше, чем точным и начертательным наукам), помните о применимости на практике и пользе при планировании несущих элементов явления зеркальности.

А если более интересные фигуры?

О чем нам может рассказать математика (6 класс)? Центральная симметрия есть не только в таком простом и понятном объекте, как шар. Она свойственна и более интересным и сложным фигурам. Например, таков параллелограмм. Для такого объекта центральной точкой становится та, в которой пересекаются его диагонали.

А вот если рассматривать равнобедренную трапецию, то это будет фигура с осевой симметрией. Выявить ее можно в том случае, если правильно выбрать ось. Тело симметрично относительно линии, перпендикулярной основанию и пересекающей его ровно посередине.

Симметрия в математике и архитектуре обязательно учитывает ромб. Эта фигура примечательна тем, что одновременно объединяет в себе два типа симметричности:

  • осевой;
  • центральный.

В качестве оси необходимо выбрать диагональ объекта. В том месте, где диагонали ромба пересекаются, расположен его центр симметрии.

О красоте и симметрии

Формируя проект математике, симметрия для которого была бы ключевой темой, обычно в первую очередь вспоминают мудрые слова великого ученого Вейля: «Симметрия – это идея, которую долгие века пытается понять обычный человек, ведь именно она создает совершенную красоту через уникальный порядок».

Как известно, иные предметы кажутся большинству прекрасными, в то время как другие отталкивают, даже если в них нет очевидных изъянов. Почему так происходит? Ответ на этот вопрос показывает взаимосвязь архитектуры и математики в симметрии, ведь именно это явление и становится основой оценки предмета как эстетически привлекательного.

Одна из самых красивых женщин на нашей планете – это супермодель Кисти Тарликтон. Она уверена, что к успеху пришла в первую очередь благодаря уникальному явлению: ее губы симметричны.

Как известно, природа и тяготеет к симметрии, и не может ее достичь. Это не общее правило, но взгляните на окружающих людей: в человеческих лицах практически не найти абсолютной симметрии, хотя очевидно стремление к ней. Чем более симметрично лицо собеседника, тем он кажется красивее.

Как симметрия стала идеей о прекрасном

Удивительно, что на симметричности основано восприятие человеком красоты окружающего его пространства и объектов в нем. Долгие века люди стремятся понять, что же кажется прекрасным, а что отталкивает нелицеприятностью.

Симметричность, пропорции – вот то, что помогает визуально воспринимать некоторый объект и оценивать его положительно. Все элементы, части должны быть сбалансированы и находиться в разумных пропорциях друг с другом. Уже давно выяснили, что асимметричные предметы нравятся людям гораздо меньше. Все это связывают с понятием «гармония». Над тем, почему это так важно для человека, с древних пор ломали головы мудрецы, артисты, художники.

Стоит приглядеться к геометрическим фигурам, и явление симметрии станет очевидным и доступным для понимания. Наиболее типичные симметричные явления в окружающем нас пространстве:

  • горные породы;
  • цветы и листья растений;
  • парные наружные органы, присущие живым организмам.

Описанные явления имеют источником саму природу. А вот что можно увидеть симметричного, приглядевшись к изделиям человеческих рук? Заметно, что люди тяготеют к созданию именно такового, если стремятся сделать нечто красивое или функциональное (или и такое, и такое одновременно):

  • узоры и орнаменты, популярные с древних времен;
  • строительные элементы;
  • элементы конструкций техники;
  • рукоделие.

О терминологии

«Симметрия» – слово, пришедшее в наш язык от древних греков, впервые обративших на это явление пристальное внимание и попытавшихся изучить его. Термин обозначает наличие некоторой системы, а также гармоничное сочетание частей объекта. Переводя слово «симметрия», можно подобрать в качестве синонимов:

  • пропорциональность;
  • одинаковость;
  • соразмерность.

С древних пор симметрия является важным понятием для развития человечества в разных областях и отраслях. Народы с древности имели общие представления об этом явлении, преимущественно рассматривая его в широком смысле. Симметрия обозначала гармоничность и уравновешенность. В наше время терминологию преподают в обычной школе. Например, что такое ось симметрии (2 класс, математика) детям рассказывает учительница на обычном занятии.

Как идея это явление зачастую становится начальным посылом научных гипотез и теорий. Особенно популярно это было в прежние столетия, когда по всему миру властвовала идея математической гармонии, присущей самой системе мироздания. Знатоки тех эпох были убеждены, что симметричность есть проявление божественной гармонии. А вот в Древней Греции философы уверяли, что симметрична вся Вселенная, и все это базировалось по постулате: «Симметрия прекрасна».

Великие греки и симметрия

Симметричность будоражила умы известнейших ученых Древней Греции. До наших дней дошли свидетельства того, что Платон призывал отдельно восхищаться правильными многогранниками. По его мнению, такие фигуры – это олицетворения стихий нашего мира. Существовала следующая классификация:

Стихия

Фигура

Огонь

Тетраэдр, поскольку вершина его стремится ввысь.

Вода

Икосаэдр. Выбор обусловлен «катучестью» фигуры.

Воздух

Октаэдр.

Земля

Самый устойчивый объект, то есть куб.

Вселенная

Додекаэдр.

Во многом именно из-за этой теории принято именовать правильные многогранники платоновыми телами.

А вот терминологию ввели еще раньше, и тут не последнюю роль сыграл скульптор Поликлет.

Пифагор и симметрия

В период жизни Пифагора и в последующем, когда его учение переживало свой расцвет, явление симметрии удалось четко оформить. Именно тогда симметричность подверглась научному анализу, давшему важные для практического применения результаты.

Согласно полученным выводам:

  • Симметрия базируется на понятиях пропорций, однообразности и равенства. При нарушении того или иного понятия фигура становится менее симметричной, постепенно переходя в полностью асимметричную.
  • Существует 10 противоположных пар. Согласно учению, симметрия представляет собой явление, сводящее в единое противоположности и тем самым формирующее вселенную в целом. Этот постулат долгие века оказывал сильное влияние на ряд наук как точных, так и философских, а также естественных.

Пифагор и его последователи выделяли «совершенно симметричные тела», к которым причисляли удовлетворяющие условиям:

  • каждая грань – многоугольник;
  • грани встречаются в углах;
  • фигура должна иметь равные стороны и углы.

Именно Пифагор первым сказал, что таковых тел существует всего лишь пять. Это великое открытие положило начало геометрии и исключительно важно для современной архитектуры.

А вы хотите своими глазами увидеть самое прекрасное явление симметрии? Поймайте зимой снежинку. Удивительно, но факт – это крошечный кусочек падающего с неба льда имеет не только крайне сложную кристаллическую структуру, но еще и идеально симметричен. Рассмотрите ее внимательно: снежинка действительно прекрасна, а ее сложные линии завораживают.

fb.ru

Фигуры, имеющие ось симметрии. 1-й класс ("Начальная школа XXI века")

Разделы: Начальная школа

Цель урока: создать условия для формирования представления обучающихся о фигурах, имеющих одну или несколько осей симметрии.

Задачи урока:

  • научиться проверять практическим путем, имеет ли данная фигура ось симметрии,
  • отработка вычислительных навыков,
  • развитие логического мышления,
  • формирование у учащихся навыки контроля и самоконтроля.

Ход урока

1. Организационный момент.

Прозвенел звонок, урок начинается. Я улыбнусь вам, и вы улыбнитесь друг другу и подумайте, как хорошо, что, что мы сегодня все вместе. Мы спокойны, добры, приветливы, ласковы. Мы все здоровы. Забудьте об обидах. Вдохните в себя свежесть весеннего утра, тепло солнечных лучей, чистоту рек. Я желаю вам хорошего настроения и бережного отношения друг к другу.

2. Разминка ума.

1) Математический диктант.

Сумма чисел 10 и 8. Разность чисел16 и 7. 10 разделить на 2. 5 увеличить на 6. 20 уменьшить на 8. По 2 взять 4 раза.

Самопроверка. На доске ответы: 18, 9, 5, 11, 12, 8.

2) Решить примеры

( 6+8) – 4; (12-7) +6; (5 ? 2) +8; (6+8) – 10; (12 –6) +7; (6:3) ? 4.

3) Сейчас поиграем в игру “Только одно свойство”.

Цель: закрепить знание свойств геометрических фигур, развивать логическое мышление.

У каждого учащегося на парте набор геометрических фигур. Это 16 маленьких и 16 больших геометрических фигур (круг, квадрат, треугольник, прямоугольник) четырех видов и четырех цветов.

Игра строится по типу домино. У доски 2 ученика. Один кладет на стол любую фигуру, второй должен положить фигуру, отличающуюся от нее только одним признаком. В случае неправильного хода, у игрока забирают фигуру. Проигрывает тот, кто останется без фигур.

4) Повторение о плоскостных и объемных фигурах.

Круг, квадрат, прямоугольник, треугольник. Какие это геометрические фигуры? (плоскостные)

Назовите объемные фигуры. Какие фигуры называются объемными?

(Куб, конус, и т.д.) Назовите предметы, имеющие такую же форму.

3. Сообщение темы урока.

Сегодня научимся проверять практическим путем, имеет ли данная фигура ось симметрии, дорисовывать симметричную часть данной фигуры.

4. Работа над темой урока.

1) Практическая работа 1

Возьмите лист бумаги и перегните его пополам. Хорошо разгладьте линию сгиба и отметьте на линии сгиба две точки. Не раскрывая листа бумаги, вырежьте какой-либо узор так, чтобы не перерезать линию сгиба на отрезке, ограниченном этими точками. Расправьте лист бумаги. Какую фигуру вы получили? Вы видите, что фигуры, расположенные по разные стороны от линии сгиба, совершенно одинаковы – они совпадут, если лист снова перегнуть около этой линии. Укажите ось симметрии.

Рассмотрите предметы или их части, находящиеся в классе. Укажите, какие из них имеют одну (или несколько) ось симметрии.

2) Практическая работа 2.

а) Докажи, сгибая рисунки по осям, что красный треугольник имеет одну ось симметрии, а желтый четырехугольник – две.

(Перегибая фигуру по той или иной оси, ученик увидит, что части этой фигуры совместились.)

б) Сколько осей симметрии имеет квадрат? Перегните его сначала по одной диагонали, потом еще по одной, затем по линиям, проходящим через середины противоположных сторон.

(Учащиеся убеждаются, что квадрат имеет 4 оси симметрии)

в) Сколько осей симметрии имеет пятиугольник?

(Имеет 5 осей симметрии. Каждая из них проходит через его вершину и середину противолежащей стороны.

г) Сколько осей симметрии имеет круг? Перегни его по какой-нибудь из осей.

д) работа в тетради №4 с.55. Является ли прямая на рисунке осью симметрии прямоугольника?

3) Демонстрация рисунков на больших ватманах бумаги.

а) Сколько осей симметрии имеет звезда? (5 осей симметрии)

б) Назовите времена года. Давайте закроем глаза и представим, что мы идем по осеннему лесу, а под ногами разноцветный ковер. Глядите – красный фонарик, поднимаете – это листок уронила осинка; а у пруда милая ивушка рассыпала золотистые рыбки – листочки – узкие, длинные, тонкие; дальше – желтая звездочка – подарил ее клен. Давайте поднимем листочек клена.

(Показ осеннего листа клена)

Говорят, что кленовый лист симметричен – имеет единственную ось симметрии. Если его перегнуть по этой оси, то обе части листа совпадут.(Показ)

Назовите еще растения, листья которых имеют ось симметрии.

в) А теперь побываем в зимнем лесу. Зима…Кругом белым-бело. Вот подул ветер, и с неба посыпались снежинки. Кружатся в воздухе и падают на землю – одна красивее другой! Вот цветок с шестью лепестками, вот звездочка с шестью лучами, вот тончайшая пластинка с шестью гранями! Беззвучно летят они в тихом воздухе над землей и падают вниз. Снежинки плывут, покачиваются, отыскивая себе дорогу на землю, так как им мешает невидимый воздух. Хорошо прогуляться зимним днем в лесу!

Посмотрите на эту снежинку.

Сколько осей симметрии имеет снежинка на рисунке?

4) Физкультминутка

5) Решение задачи

а) Загадка.

Я раскрываю почки, в зеленые листочки. Деревья одеваю, посевы поливаю, Движения полна, Зовут меня …(весна)

Сейчас время года весна. Назовите, какой сейчас месяц.

Весной не только любуются пробуждающейся природой, в это время люди стараются посадить как можно больше растений, кустарников и деревьев.

Что и решили сделать волк и заяц.

б)Прочитаем и решим задачу №9 с.101.

Волк и заяц посадили 8 кустов малины, 5 кустов крыжовника и смородину. Смородины – на 1 куст меньше, чем малины. Сколько всего кустов посадили?

Решение записывают в тетрадь.

6) Дописывание пропущенных чисел

Волк записал разные числа, а заяц записал под ними свой ряд чисел, располагая числа по закономерности. Дополнить ряд зайца.

Волк: 4 10 7 8 5 9. Заяц: 1 7 4.

7) Работа по учебнику

№6,№7

Имеют ли ось симметрии изображенные на рисунке предметы?

8) Работа в тетради №1 ,№2 с.54

Работа с зеркалом.

Назовите еще буквы русского алфавита, изображения которых имеют оси симметрии.

№7 с.57

5. Итог урока.

Чем занимались на уроке?

Как проверить имеет ли данная фигура ось симметрии?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Понятие о симметрии. Элементы симметрии

«Симметрия» в переводе с греческого означает «соразмерность» (повторяемость). Симметричные тела и предметы состоят из равнозначных, правильно повторяющихся в пространстве частей. Особенно разнообразна симметрия кристаллов. Различные кристаллы отличаются большей или меньшей симметричностью. Она является их важнейшим и специфическим свойством, отражающим закономерность внутреннего строения.

По более точному определению симметрия – это закономерная повторяемость элементов (или частей) фигуры или какого-либо тела, при которой фигура совмещается сама с собой при некоторых преобразованиях (вращение вокруг оси, отражение в плоскости). Подавляющее большинство кристаллов обладает симметрией.

Понятие симметрии включает в себя составные части – элементы симметрии. Сюда относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии, или центр инверсии.

Плоскость симметрии

Плоскость симметрии делит кристалл на две зеркально равные части. Обозначается она буквой Р. Части, на которые плоскость симметрии рассекает многогранник, относятся одна к другой, как предмет к своему изображению в зеркале разные кристаллы имеют различное количество плоскостей симметрии, которое ставится перед буквой Р. Наибольшее количество таких плоскостей у природных кристаллов – девять 9Р. В кристалле серы насчитывается 3Р, а у гипса только одна. Значит, в одном кристалле может быть несколько плоскостей симметрии. В некоторых кристаллах плоскость симметрии отсутствует.

Относительно элементов ограничения плоскость симметрии может занимать следующее положение:

  1. проходит через ребра;
  2. лежать перпендикулярно к ребрам в их серединах;
  3. проходить через грань перпендикулярно к ней;
  4. пересекать гранные углы в их вершинах.

В кристаллах возможны следующие количества плоскостей симметрии: 9Р, 7Р, 6Р, 5Р, 4Р, 3Р, 2Р, Р, отсутствие плоскости симметрии.

Ось симметрии

Ось симметрии – воображаемая ось, при повороте вокруг которой на некоторый угол фигура совмещается сама с собой в пространстве. Она обозначается буквой L. У кристаллов при вращении вокруг оси симметрии на полный оборот одинаковые элементы ограничения (грани, ребра, углы) могут повторяться только 2, 3, 4, 6 раз. Соответственно этому оси будут называться осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядка и обозначаться: L2, L3, L4 и L6.Порядок оси определяется числом совмещений при повороте на 360⁰С.

Ось симметрии первого порядка не принимается во внимание, так как ею обладают вообще не фигуры, в том числе и несимметричные. Количество осей одного и того же порядка пишут перед буквой L: 6L6, 3L4 и т.п.

Центр симметрии

Центр симметрии – это точка внутри кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам линии, соединяющие одинаковые элементы ограничения кристалла (грани, ребра, углы). Обозначается она буквой С. Практически присутствие центра симметрии будет сказываться в том, что каждое ребро многогранника имеет параллельное себе ребро, каждая грань – такую же параллельную себе зеркально-обратную грань. Если же в многограннике присутствуют грани, не имеющие себе параллельных, то такой многогранник не обладает центром симметрии.

Достаточно поставить многогранник гранью на стол, чтобы заметить, имеется ли сверху такая же параллельная ей зеркально-обратная грань. Конечно, на параллельность нужно проверить все типы граней.

Существует ряд простых закономерностей, по которым сочетаются друг с другом элементы симметрии. Значение этих правил облегчает их нахождение.

  1. Линия пересечения двух или нескольких плоскостей является осью симметрии. Порядок такой оси равен числу пересекающихся в ней плоскостей.
  2. L6 может присутствовать в кристалле только в единственном числе.
  3. С L6 не могут комбинироваться ни L4, ни L3, но может сочетаться L2 причем L6 и L2 должны быть перпендикулярны; в таком случае присутствует 6L2.
  4. L4 может встречаться в единственном числе или трех взаимно перпендикулярных осей.
  5. L3 может встречаться в единственном числе или с 4L3.

Степенью симметрии называется совокупность всех элементов симметрии, которыми обладает данный кристалл.

Кристалл, имеющий форму куба, обладает высокой степенью симметрии. В нем присутствуют три оси симметрии четвертого порядка (3L4), проходящие через середины граней куба, четыре оси симметрии третьего порядка (4L3), проходящие через вершины трехгранных углов, и шесть осей второго порядка (6L2), проходящих через середины ребер. В точке пересечения осей симметрии располагается центр симметрии куба (С). Кроме того, в кубе можно провести девять плоскостей симметрии (9Р). Элементы симметрии кристалла можно изобразить кристаллографической формулой.

Для куба формула имеет вид: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

Русский ученый А.В. Гадолин в 1869 г. показал, что у кристаллов возможны 32 различных сочетания элементов симметрии, составляющих классы (виды) симметрии. Таким образом, класс объединяет группу кристаллов с одинаковой степенью симметрии.

www.geolib.net

Ось симметрии - это... Что такое Ось симметрии?

 Ось симметрии

Осевая симметрия — тип симметрии, имеющий два несколько отличающихся определения:

  • Отражательная симметрия. В математике (точнее, евклидовой геометрии) осевая симметрия — вид движения (зеркального отражения), при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осесимметрична и имеет 3 оси симметрии (две — в плоскости фигуры), если это не квадрат.
  • Вращательная симметрия. В естественных науках под осевой симметрией понимают вращательную симметрию (другие термины — радиальная, аксиальная, лучевая симметрии) относительно поворотов вокруг прямой. При этом тело (фигуру, задачу, организм) называют осесимметричными, если они переходят в себя при любом (например, малом) повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осесимметричным телом, но конус будет.

Применительно к плоскости эти оба вида симметрии совпадают (считаем, что ось тоже принадлежит этой плоскости).

Иногда вводят также (осевую) симметрию некоторого порядка:

  • Осевая симметрия n-го порядка — симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси. Описывается группой Zn.
    • Тогда симметрия в первом смысле (см. выше) является осевой симметрией второго порядка.

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Ось ординат
  • Ось эклиптики

Смотреть что такое "Ось симметрии" в других словарях:

  • ОСЬ СИММЕТРИИ — в кристаллографии прямая линия, при повороте вокруг которой на определенный угол симметричная фигура займет в пространстве то же положение, которое она занимала до поворота, но на место одних ее частей переместятся др. такие же части. Наименьший… …   Геологическая энциклопедия

  • ось симметрии — Прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол кристалл или узлы кристаллической решетки совмещаются сами с собой. [http://metaltrade.ru/abc/a.htm] Тематики металлургия в целом EN axis of symmetry …   Справочник технического переводчика

  • ось симметрии — 3.33 ось симметрии: Воображаемая линия, проходящая через бриллиант, на равном расстоянии от которой в противоположных направлениях находятся одинаковые элементы огранки бриллианта. Источник: ГОСТ Р 52913 2008: Бриллианты. Классификация.… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ось симметрии — simetrijos ašis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Ašis, apie kurią sukamos figūros simetrijos taškai sutampa. atitikmenys: angl. symmetry axis vok. Symmetrieachse, f rus. ось симметрии, f pranc. axe de répétition, m; axe …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • ось симметрии — simetrijos ašis statusas T sritis chemija apibrėžtis Ašis, apie kurią sukamos figūros simetrijos taškai sutampa. atitikmenys: angl. symmetry axis rus. ось симметрии ryšiai: sinonimas – inversijos ašis …   Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

  • ось симметрии — simetrijos ašis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. axis of symmetry; symmetry axis vok. Symmetrieachse, f rus. ось симметрии, f pranc. axe de symétrie, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ось симметрии — [axis of symmetry] прямая, при повороте вокруг которой на некоторый ∠α кристалл или узлы кристаллической решетки совмещаются сами с собой; Смотри также: Ось ось текстуры ось легкого намагничивания гидростатическая ось …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • ОСЬ СИММЕТРИИ ЗЕРКАЛЬНО-ПОВОРОТНАЯ — элемент симметрии, применяемый некоторыми кристаллографами вместо инверсионных осей; это совокуп. оси и перпендикулярной к ней плоскости симметрии, действующих совместно. Все возможные в к лах О. с. з. п. (обозн. через Л) соответствуют известным… …   Геологическая энциклопедия

  • ОСЬ СИММЕТРИИ ГЛАВНАЯ — ось симметрии высшего порядка (L3, L4, L6) в средних сингониях. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 …   Геологическая энциклопедия

  • ОСЬ СИММЕТРИИ ПОЛЯРНАЯ — ось симметрии с разными концами, соединяющая разл. элементы огранения кристалла. Свойства по противоположным направлениям таких осей различны. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 …   Геологическая энциклопедия

dic.academic.ru

Ось симметрии Википедия

Осева́я симме́три́я — тип симметрии, имеющий несколько отличающихся определений:

  • Отражательная симметрия. В евклидовой геометрии осевая симметрия — вид движения (зеркального отражения), при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Отсюда следует, что любой точке соответствует точка, находящаяся на том же расстоянии от оси симметрии, и лежащая на одной прямой с исходной точкой и их общей проекцией на ось симметрии[1][2]. Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осесимметрична и имеет 3 оси симметрии (две диагонали — в плоскости фигуры; если это не квадрат с двумя дополнительными осями — медиатрисами сторон), а параллелограмм общего вида имеет одну ось симметрии (проходящую через центр перпендикулярно плоскости).
  • Вращательная симметрия[3]. В естественных науках под осевой симметрией понимают вращательную симметрию[4] (другие термины — радиальная, аксиальная (англ. axial – осевой), поворотная, лучевая симметрии) относительно поворотов вокруг прямой. При этом тело (фигуру, задачу, организм) называют осесимметричными, если они переходят в себя при любом (например, малом) повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осесимметричным телом, но, например, конус будет.

Применительно к плоскости эти два вида симметрии совпадают (считаем, что ось тоже принадлежит этой плоскости).

В кристаллографии вводят также (осевую) симметрию некоторого порядка[5]:

  • Осевая симметрия n-го порядка — симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси. Описывается группой Zn.
    • Тогда симметрия в первом смысле (см. выше) является осевой симметрией второго порядка, а во втором — ∞-го порядка, так как поворот на любой сколь угодно малый угол приводит к совмещению фигуры с самой собой. Примеры: шар, цилиндр, конус.
    • Оси симметрии 2-го, 3-го, 4-го, 6-го и даже 5-го порядка (кристаллы с непериодическим пространственным расположением атомов (мозаика Пенроуза)) можно наблюдать на примере кристаллов.
  • Зеркально поворотная осевая симметрия n-го порядка — поворот на 360°/n и отражение в плоскости, перпендикулярной данной оси.

Оси симметрии порядка выше 2-го называются осями симметрии высшего порядка.

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

wikiredia.ru

ОСЬ СИММЕТРИИ - это... Что такое ОСЬ СИММЕТРИИ?

 ОСЬ СИММЕТРИИ — в кристаллографии прямая линия, при повороте вокруг которой на определенный угол симметричная фигура займет в пространстве то же положение, которое она занимала до поворота, но на место одних ее частей переместятся др. такие же части. Наименьший угол поворота вокруг оси, при котором фигура совмещается сама с собой, называется элементарным углом поворота О. с.; он всегда содер. в 360° целое число раз, которое называется порядком оси. В к-лах в связи с их решетчатым строением возможны лишь оси симметрии первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков. О. с. первого порядка, совпадающие с любым направлением любой фигуры, обычно в расчет не принимаются. О. с., встречающиеся в к-лах, обозн. L2, L3, L4, L6, или G2, G3, G4, G6, или 2, 3, 4, 6. Син.: гира.

Геологический словарь: в 2-х томах. — М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978.

  • ОСЬ СИММЕТРИИ ПОЛЯРНАЯ
  • ОСЬ СКЛАДКИ

Смотреть что такое "ОСЬ СИММЕТРИИ" в других словарях:

  • ось симметрии — Прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол кристалл или узлы кристаллической решетки совмещаются сами с собой. [http://metaltrade.ru/abc/a.htm] Тематики металлургия в целом EN axis of symmetry …   Справочник технического переводчика

  • ось симметрии — 3.33 ось симметрии: Воображаемая линия, проходящая через бриллиант, на равном расстоянии от которой в противоположных направлениях находятся одинаковые элементы огранки бриллианта. Источник: ГОСТ Р 52913 2008: Бриллианты. Классификация.… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ось симметрии — simetrijos ašis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Ašis, apie kurią sukamos figūros simetrijos taškai sutampa. atitikmenys: angl. symmetry axis vok. Symmetrieachse, f rus. ось симметрии, f pranc. axe de répétition, m; axe …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • ось симметрии — simetrijos ašis statusas T sritis chemija apibrėžtis Ašis, apie kurią sukamos figūros simetrijos taškai sutampa. atitikmenys: angl. symmetry axis rus. ось симметрии ryšiai: sinonimas – inversijos ašis …   Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

  • ось симметрии — simetrijos ašis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. axis of symmetry; symmetry axis vok. Symmetrieachse, f rus. ось симметрии, f pranc. axe de symétrie, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Ось симметрии — Осевая симметрия  тип симметрии, имеющий два несколько отличающихся определения: Отражательная симметрия. В математике (точнее, евклидовой геометрии) осевая симметрия  вид движения (зеркального отражения), при котором множеством неподвижных точек …   Википедия

  • ось симметрии — [axis of symmetry] прямая, при повороте вокруг которой на некоторый ∠α кристалл или узлы кристаллической решетки совмещаются сами с собой; Смотри также: Ось ось текстуры ось легкого намагничивания гидростатическая ось …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • ОСЬ СИММЕТРИИ ЗЕРКАЛЬНО-ПОВОРОТНАЯ — элемент симметрии, применяемый некоторыми кристаллографами вместо инверсионных осей; это совокуп. оси и перпендикулярной к ней плоскости симметрии, действующих совместно. Все возможные в к лах О. с. з. п. (обозн. через Л) соответствуют известным… …   Геологическая энциклопедия

  • ОСЬ СИММЕТРИИ ГЛАВНАЯ — ось симметрии высшего порядка (L3, L4, L6) в средних сингониях. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 …   Геологическая энциклопедия

  • ОСЬ СИММЕТРИИ ПОЛЯРНАЯ — ось симметрии с разными концами, соединяющая разл. элементы огранения кристалла. Свойства по противоположным направлениям таких осей различны. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 …   Геологическая энциклопедия

dic.academic.ru