Определение расстояния от точки до плоскости. Что называется расстоянием от точки до плоскости


Расстояние от точки до плоскости

Задача.Найти расстояние от точки до плоскости Q: Ax+By+Cz+D=0.

. (x1 ,y1 ,z1)

d

 

Q

 

Решение.Воспользуемся формулой , которую применим без доказательства:

→формула расстояния от точки до плоскости.

Пример.Найти расстояние от точки до плоскости 3x+4y+5z+3=0.

Решение.d = = . Ответ.d =

 

Прямая в пространстве

 

Линию в пространстве рассматривают , как множество всех точек , принадлежащих двум пересекающимся поверхностям и

Например: при пересечении сферы и плоскости получаем

окружность. Прямую линию получим при пересечении двух плоскостей.

 

Общее уравнение прямой в

Это уравнение , заданное пересечением двух плоскостей :

 

→общее уравнение прямой.

Пример. Построить прямую

Решение.Чтобы построить прямую, надо задать две точки, для этого найдём точки пересечения прямой с координатными плоскостями.

1). Z =0, решаем эту систему, находим точку пересечения .

2) . X = 0 ,

Определение.Точка пересечения прямой с координатной плоскостью называется следомпрямой.

Z .М2

 

o .М1 y

x

 

Векторное уравнение прямой . Параметрические

Похожие статьи:

poznayka.org

Лекция по математике на тему "Расстояние от точки до плоскости"

Лекция по теме «Расстояние от точки до плоскости»

Ранее было рассмотрено, что через точку А, не лежащую на плоскости α, можно провести только одну прямую, перпендикулярную к этой плоскости.

Дана плоскость α и точка А, не лежащая на ней.

Проведем из точки А прямую, перпендикулярную к плоскости α. Обозначим буквой Н точку пересечения проведенной прямой с плоскостью α.

Определение:

Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АН. Точка Н называется основанием этого перпендикуляра.

Возьмем произвольную точку М, принадлежащую плоскости α и отличную от Н. Соединим точки А и М.

Определение:

Отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α. Точка М называется основанием наклонной.

Соединим точки М и Н.

Определение:

Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α.

Имеется точка А и два отрезка, проведенных из этой точки к плоскости α: отрезок АН и отрезок АМ. Как вы думаете, какой из этих отрезков меньше?

Рассмотрим отрезки АН и АМ.

Для этого рассмотрим треугольник АНМ. Это прямоугольный треугольник, так как угол АНМ равен 90 градусам (так как АН перпендикулярна плоскости α). Тогда сторону АН можно назвать катетом, а сторону АМ гипотенузой. Но гипотенуза всегда больше катета. Поэтому АН < АМ.

Значит, перпендикуляр, проведенный из точки, не лежащей на плоскости, к этой же плоскости, всегда меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой же плоскости.

Таким образом из всех расстояний от точки А до разных точек плоскости α наименьшим является расстояние до точки Н.

Определение:

Расстоянием от точки А до плоскости α называется длина перпендикуляра АН, проведенного к плоскости α.

Рассмотрим решение типовой задачи по теме.

Задача.

Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены перпендикуляр АО и две равные наклонные АМ и АН. Известно, что АО = 3 единицам, АМ = АН = 5 единицам. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Решение:

Из прямоугольного треугольника АОМ найдем ОМ по теореме Пифагора. ОМ² = 25 – 9 = 16 или ОМ=4 единицы. Тогда МН=2*ОМ = 8 ед.

Ответ: МН=8 ед.

Рассмотрим три замечания к теме, которые необходимы для решения задач.

Замечание 1

Пусть даны две параллельные плоскости α и β. Тогда все точки плоскости α будут равноудалены от плоскости β.

Действительно. На плоскости α взяты произвольные точки А и М. Из этих точек на плоскость β опустим перпендикуляры АН и МО соответственно. Следовательно, перпендикуляр АН параллелен перпендикуляру МО.

Эти перпендикуляры будут равными, по второму свойству параллельности плоскостей, которое звучит так: отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Определение.

Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой.

На рис расстоянием между параллельными плоскостями α и β является отрезок, например, МО.

Замечание 2

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АО на плоскость α.

Определение.

Длина перпендикуляра  АО  называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.

Задача.

Найдите расстояние между прямой МН и плоскостью параллельного ей прямоугольника АВСД, если известно, что МН=6см; угол МНО=45 градусам (см. рис 015).

Дано: МН || АВСД; МН=6см; МНО=45°; МО АВСД

Найти: МО

Решение:

МНО прямоугольный. Используя определения тригонометрической функции тангенс (Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету), имеем МО=tg45°*6=1*6=6см

Ответ: 6см

Замечание 3

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Тогда плоскость α, проходящая через прямую а, параллельна прямой b (по теореме: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой и притом только одна.).

Определение.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

На рис расстоянием между скрещивающимися прямыми а и b является отрезок МО.

Картинка:

Показывается презентация4.pps, как это делать.

Текст:

Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АН. Точка Н называется основанием этого перпендикуляра.

Картинка:

Картинка:

На жирным шрифтом выделяются названные отрезки.

Картинка:

На рис 009 жирным шрифтом выделяется длина перпендикуляра АН

Текст:

Расстоянием от точки А до плоскости α называется длина перпендикуляра АН, проведенного к плоскости α.

Текст:

Дано: АО α; АО = 3 ед.; АМ=АН=5 ед.

Найти: МН

Картинка:

Текст:

Решение:

АОМ: ОМ²=АМ2–АО2

ОМ² = 25 – 9 = 16

ОМ=4,

МН=2*ОМ = 8 ед

Картинка:

Текст:

Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой.

Картинка:

Картинка:

Текст:

Длина перпендикуляра  АО  называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.

Картинка:

Текст:

Дано: МН || АВСД; МН=6см; МНО=45°; МО АВСД

Найти: МО

Картинка:

Текст:

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Картинка:

infourok.ru

Определение расстояния от точки до плоскости

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Кафедра компьютерной графики и информационного обеспечения

ЗАНЯТИЕ 4

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №4

Плоскость.

Определение расстояния от точки до плоскости.

1. Определение расстояния от точки до проецирующей плоскости.

Для того, чтобы найти действительную величину расстояния от точки до плоскости, необходимо:

·  из точки опустить перпендикуляр на плоскость;

·  найти точку пересечения проведенного перпендикуляра с плоскостью;

·  определить действительную величину отрезка, началом которого является заданная точка, а концом – найденная точка пересечения.

Плоскость может занимать в пространстве общее и частное положение. Под частным понимается положение, при котором плоскость перпендикулярна к плоскости проекций – такую плоскость называют проецирующей. Основной признак проецирующего положения: плоскость перпендикулярна к плоскости проекций, если она проходит через проецирующую прямую. В этом случае одна из проекций плоскости  прямая линия – ее называют следом плоскости.

Если плоскость проецирующая, то легко определить действительную величину расстояния от точки до плоскости. Покажем  это на примере определения расстояния от точки В до  фронтально-проецирующей плоскости, заданной следом Q2 на плоскости П2 (рис.1).

Плоскость Q перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, следовательно, любая к ней перпендикулярная линия будет параллельна к плоскости П2. А тогда прямой угол на плоскость П2 будет проецироваться без искажения, и можно из точки В2 провести перпендикуляр к следу Q2. Отрезок ВК находится в частном положении, при котором фронтальная проекция  В2К2 равна истинной величине искомого расстояния.

                               

Рис.1. Определение расстояния от точки до проецирующей плоскости.

2.  Определение расстояния от точки до  плоскости общего положения.

Если плоскость занимает общее положение, то необходимо перевести ее в проецирующее положение. Для этого в ней проводится прямая частного положения (параллельная к одной из плоскостей проекций), которую можно перевести в проецирующее положение,  используя одно преобразование чертежа.

Прямая, параллельная плоскости П1, называется горизонталью плоскости и обозначается буквой h. Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронталью плоскости и обозначается буквой f.Линии hиfназываются главными линиями плоскости. Решение задачи показано на следующем примере (рис.2).

Начальное условие: треугольник АВС задает плоскость. М - точка вне плоскости. Заданная плоскость занимает общее положение. Для перевода ее в проецирующее положение выполним следующие действия. Включить режим ОРТО (ORTHO), использовать команду Отрезок (Line) – провести любую горизонтальную линию, пересекающую фронтальную проекцию треугольника  А2В2С2 в двух точках. Проекция горизонтали, проходящей через эти точки,    обозначена h3.  Далее строится горизонтальная проекция h2.

Главная линия hможет быть преобразована в проецирующее положение, при котором заданная плоскость также станет проецирующей. Для этого необходимо повернуть горизонтальные проекции всех точек (вспомогательный четырехугольник АВСМ) в новое положение, при котором  линия h2 будет занимать вертикальное положение, перпендикулярное к оси Х. Удобно выполнить эти построения, используя плоскопараллельный перенос (копия проекции помещается на свободное место экрана).

В результате новая фронтальная проекция плоскости будет выглядеть в виде прямой линии (следа плоскости) А2*В2*.  Теперь из точки М2* можно провести перпендикуляр к следу плоскости. Новая фронтальная проекция М2*К2* = МК т.е. является искомым расстоянием от точки М до заданной плоскости АВС.

Далее необходимо построить проекции расстояния в начальном условии. Для этого из точки М1 проводится отрезок, перпендикулярный к линии h2, и на нем следует отложить от точки М1 отрезок, равный по величине М1*К1*. Чтобы построить фронтальную проекцию точки К2 из точки К1 проводится вертикальная линия связи, а из точки К2*  горизонтальная. Результат построений показан на рис.2.

                                 

ЗАДАНИЕ №4.  Найти истинную величину расстояния от точки М     до плоскости, заданной треугольником АВС. Ответ дать в мм.(таблица 1)

                                                                                 Таблица 1

Вариант

Точка А

Точка В

Х

Y

Z

X

Y

Z

1

140

10

30

105

10

50

2

150

25

65

75

40

80

3

160

30

15

120

60

50

4

80

90

30

60

10

10

5

20

50

40

50

30

70

6

35

55

25

95

20

35

7

70

40

50

20

75

40

8

15

65

35

35

20

65

9

100

10

50

60

80

90

Вариант

Точка С

Точка М

1

90

40

30

40

15

40

2

110

70

30

50

30

35

3

95

20

25

135

10

70

4

30

20

80

40

70

20

5

90

80

30

60

80

80

6

65

95

55

45

35

55

7

40

20

10

60

65

10

8

95

25

15

65

75

55

9

30

40

10

80

60

30

Проверка и зачет  выполненного ЗАДАНИЯ №4.

vunivere.ru

35 Расстояние от точки до плоскости

26 Расстояние от точки до плоскости.

ТЕОРЕМА 26.1. Пусть плоскость , задана своим общим уравнением относительно ПДСК, а --- произвольная точка пространства. Тогда расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле

Доказательство. Пусть --- произвольная точка плоскости . Тогда расстояние от точки до плоскости равно модулю ортогональной проекции вектора на ось вектора , перпендикулярного к этой плоскости . По формуле (раздела "Векторная алгебра") имеем  Учитывая, что и используя координатную форму скалярного произведения, получим Для завершения доказательства осталось заметить, что , так как справедливо равенство . Теорема доказана. Используя доказанную теорему вычислим расстояние между двумя параллельными плоскостями и , заданными своими уравнениями относительно ПДСК. Пусть --- произвольная точка плоскости . Тогда  С другой стороны,  Учитывая вышесказанное приходим к формуле

27 Угол между плоскостями.

Определение 27.1. Любой из двух смежных двугранных углов, полученных при пересечении двух плоскостей называется углом между этими плоскостями. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и пусть в этой системе координат даны уравнения двух плоскостей Найдем угол между этими плоскостями. Согласно определению 27.1. угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Так как нормальными векторами данных плоскостей являются векторы и , то отсюда получается формула

Из получаем условие перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями относительно ПДСК:

studfiles.net