Все формулы биссектрисы прямоугольного треугольника. Биссектриса в прямоугольном треугольнике


Биссектриса в прямоугольном треугольнике, все формулы

Определение и формулы биссектрисы в прямоугольном треугольнике

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Биссектриса угла треугольника – это луч, который исходит из вершины треугольника, и делит данный угол пополам.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Биссектриса делит противоположную сторону треугольника на части, пропорциональные прилегающим сторонам:

   

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами и , гипотенузой , острыми углами и . Проведем биссектрису прямого угла . Ее длина выражается через длины катетов следующим образом:

   

Проведем биссектрису острого угла , тогда

   

или

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Все формулы биссектрисы прямоугольного треугольника

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α - угол прилежащий к гипотенузе

 

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

 

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

 

 

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α, β - углы прилежащие к гипотенузе

 

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

 

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

 

Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 07 октября 2011 Обновлено: 16 мая 2017

www-formula.ru

Биссектриса в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим задачу, в которой биссектриса в прямоугольном треугольнике делит катет (либо гипотенузу) на отрезки. Ее решение опирается на свойство биссектрисы треугольника и теорему Пифагора.

 

 

Задача.

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки m и n. Найти периметр и площадь этого треугольника.

 

Решение:

Пусть в треугольнике ABC угол С — прямой, AF — биссектриса, BF=m, CF=n (m>n!).

По свойству биссектрисы треугольника,

   

Так как треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора:

   

Получили систему уравнений:

   

Пусть AB=x. AC=y (x>0, y>0). Тогда

   

Выразим из первого уравнения одну переменную через другую и подставим полученное выражение во второе уравнение:

   

   

   

   

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения (это можно сделать, поскольку обе части положительны)

   

и находим x и y, а значит, и AB и AC.

Периметр треугольника ABC равен P=AB+BC+AC, площадь —

   

Если биссектриса в прямоугольном треугольнике проведена не из острого, а из прямого угла, решение задачи аналогично.

Эта задача — базовая. Другие задачи, решение которых опирается на задачу о биссектрисе в прямоугольном треугольнике, разберем позже.

 

www.uznateshe.ru

Биссектриса делит гипотенузу | Треугольники

В каком отношении биссектриса делит гипотенузу?

По свойству биссектрисы треугольника биссектриса делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Соответственно, в прямоугольном треугольнике биссектриса делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные катетам:

   

либо

   

Поскольку биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то биссектриса, проведённая к гипотенузе, делит площадь прямоугольного треугольника пропорционально катетам:

   

Задача.

Биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 100 см и 75 см. Найти, на какие части делит гипотенузу высота треугольника.

Дано: ΔABC,

CF — биссектриса, AF=100 см, BF=75 см,

CD⊥AB

Найти: AD, BD.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника

   

откуда

   

По теореме Пифагора

   

   

   

   

(извлечь из обеих частей квадратный корень можем в силу того, что AC>0, AB>0).

AB=AF+BF=175 см. Таким образом,

   

и AC=140 см, BC=105 см.

Высоту, проведённую к гипотенузе, проще всего найти через площадь:

   

следовательно,

   

Ответ: 84 см.

www.treugolniki.ru

Свойство биссектрисы треугольника | Треугольники

Рассмотрим свойство биссектрисы треугольника с доказательством и задачу на применение свойства.

Теорема (Свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

   

Дано: ∆АВС, АР — биссектриса.

Доказать:

   

 

Доказательство:

I. Если АС=АВ, то биссектриса АР является также медианой, СР=ВР, и

   

II.Если АС≠АВ.

1) Опустим перпендикуляры BN и CF на луч AP.

2) Прямоугольные треугольники ABN и ACF подобны по острому углу (∠BAP=∠CAP, так как AP — биссектриса ∠BAC (по условию)), следовательно,

   

3) Прямоугольные треугольники BNP и CFP  подобны по острому углу (∠BPN=∠CPF (как вертикальные)), следовательно,

   

   

   

Если средние члены пропорции поменять местами, пропорция останется верной, поэтому

   

Что и требовалось доказать.

Задача.

Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.

Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.

Найти: CP и BP.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника:

   

   

Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:

   

откуда по основному свойству пропорции

   

   

   

CP=5 см, BP=6 см.

Ответ: 5 см, 6 см.

www.treugolniki.ru

Угол между биссектрисами прямоугольного треугольника

Дан угол между биссектрисами прямоугольного треугольника. Как найти его острые углы?

Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 45º. Поэтому, если в задаче дан угол между биссектрисами прямоугольного треугольника, отличный от 45º, то это — угол между биссектрисами острого и прямого углов.

Задача 

Биссектрисы прямоугольного треугольника пересекаются под углом α. Найти острые углы треугольника.

I. Если угол α — острый.

   Дано:

∆ABC, ∠С=90º,

CF и BK — биссектрисы,

CF и BK пересекаются в точке N,

∠СNK=α.

   Найти: ∠A, ∠СBA.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник KNC.

Так как CF — биссектриса прямого угла ACB, то ∠KCN=90:2=45º.

∠СNK=α (по условию).

Так как сумма углов треугольника равна 180º,

∠СKN=180º-45º- α=135º- α.

2) Рассмотрим треугольник KBC.

∠KCB=90º (по условию).

∠СKN=135º- α (по доказанному).

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠BKC=90º-∠СKN=90º-(135º- α)=90º-135º+ α= α-45º.

3) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как BK — биссектриса ∠ABC, то ∠ABC=2∙∠BKC=2∙(α-45º)=2α-90º.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠A=90º-∠ABC=90º-(2α-90º)=90º-2α +90º=180º-2α.

Ответ: 2α-90º; 180º-2α.

II. Если угол α — тупой.

    Дано:

∆ABC, ∠С=90º,

CF и BK — биссектрисы,

CF и BK пересекаются в точке N,

∠СNB=α

   Найти: ∠A, ∠СBA.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник CNB.

Так как CF — биссектриса прямого угла ACB, то ∠KCN=90:2=45º.

∠СNB=α (по условию).

Так как сумма углов треугольника равна 180º,

∠NBC=180º-45º- α=135º- α.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как BK — биссектриса ∠ABC, то ∠ABC=2∙∠BKC=2∙(135º- α)=270º- 2α.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠A=90º-∠ABC=90º-(270º- 2α)=90º-270º+ 2α=2α -180º.

Ответ: 270º- 2α; 2α -180º.

www.treugolniki.ru

Все формулы биссектрисы в треугольнике

L- биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b - стороны треугольника

с - сторона на которую опущена биссектриса

d, e - отрезки полученные делением биссектрисы

γ - угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

 

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

 

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

 

 

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

 

 

 

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 06 октября 2011 Обновлено: 16 мая 2017

www-formula.ru