2. Абсолютной погрешностью опыта (серии измерений) называют величину,. Абсолютная погрешность пример


1. Абсолютная и относительная погрешности числа(определения, предельные погрешности, примеры)

Абсолютная и относительная погрешность числа.

В качестве характеристик точности приближенных величин любого происхождения вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности этих величин.

Обозначим через а приближение к точному числу А.

Определени. Величина называется погрешностью приближенного числаа.

Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется величина .

Практически точное число А обычно неизвестно, но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность.

Определение. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется наименьшая из верхних границ для величины , которую можно найти при данном способе получения числаа.

На практике в качестве выбирают одну из верхних границ для , достаточно близкую к наименьшей.

Поскольку , то. Иногда пишут:.

Абсолютная погрешность - это разница между результатом измерения

и истинным (действительным) значением измеряемой величины.

Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность не достаточны для характеристики точности измерения или вычисления. Качественно более существенна величина относительной погрешности.

Определение. Относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину:

Определение. Предельной относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину

Так как .

Таким образом, относительная погрешность определяет фактически величину абсолютной погрешности, приходящейся на единицу измеряемого или вычисляемого приближенного числа а.

Пример. Округляя точные числа А до трех значащих цифр, определить

абсолютную Dи относительную δ погрешности полученных приближенных

чисел.

Дано:

А=-13,327

Найти:

∆-абсолютная погрешность

δ –относительная погрешность

Решение:

=|А-а|

А=а±.

a=-13.3

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a0

*100%=0.203%

Ответ: =0,027; δ=0.203%

2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков).

Верные знаки числа.

Определение. Значащей цифрой приближенного числа а называется всякая цифра, отличная от нуля, и нуль, если он расположен между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.

Например, в числе 0,00507 = имеем 3 значащие цифры, а в числе 0,005070=значащие цифры, т.е. нуль справа, сохраняя десятичный разряд, является значащим.

Условимся впредь нули справа записывать, если только они являются значащими. Тогда, иначе говоря,

значащими являются все цифры числа а, кроме нулей слева.

В десятичной системе счисления всякое число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы (десятичной дроби):

где , - первая значащая цифра, m - целое число, называемое старшим десятичным разрядом числа а.

Например, 518,3 =, m=2.

Пользуясь записью , введем понятие о верных десятичных знаках (в значащих цифрах) приближенно-

го числа.

Определение. Говорят, что в приближенном числе а формы n - первых значащих цифр ,

где i= m, m-1,..., m-n+1 являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой:

В противном случае последняя цифра называется сомнительной.

При записи приближенного числа без указания его погрешности требуют, чтобы все записанные цифры

были верными. Это требование соблюдено во всех математических таблицах.

Термин “n верных знаков” характеризует лишь степень точности приближенного числа и его не следует понимать так, что n первых значащих цифр приближенного числа а совпадает с соответствующими цифрами точного числа А. Например, у чисел А=10, а=9,997 все значащие цифры различны, но число а имеет 3 верных значащих цифры. Действительно, здесь m=0 и n=3 (находим подбором).

На практике отыскание n из при известных и m требует решения нелинейного неравенства, что составляет непростую задачу. Правильный выбор n возможен из тривиального линейного равенства по следующей методике.

Величину записываем в виде , где 0,05<d≤0,5, что всегда возможно. Тогда в неравенство для

коэффициентов выполняется (d≤1/2), основания степеней справа и слева одинаковы , поэтому можем приравнять показатели степеней: s=m-n+1, поэтому n=m-s+1.

ТЕОРЕМА 1 . Если положительное приближенное число а имеет n верных десятичных знаков, то для относительной погрешности этого числа справедлива оценка:

где - первая значащая цифра числа а.

Доказательство. Пусть число а определено формулой со знаком + перед скобкой. По условию а имеет n верных знаков, следовательно

Тогда

Следствие. В качестве предельной относительной погрешности числа а можно принять

studfiles.net

2. Абсолютной погрешностью опыта (серии измерений) называют величину,

,

где - абсолютное значение разности между величинойхi, полученной вi– том измерении и средним значением <х>. Абсолютная погрешность опыта характеризует таким образом качество проведённых измерений, т. е. указывает, на сколько истинное значение измеряемой величины может отличаться от значения, измеренного в опыте.

3. Для оценки точности, с которой определена измеряемая величина, используется понятие относительной погрешности:

.

Таким образом, относительная погрешность показывает, какая часть абсолютной погрешности приходится на каждую единицу измеряемой величины.

Пример. При измерении толщиныh стеклянной пластинки с помощью микрометра было сделано четыре измерения, результаты которых занесены в табл. 1:

Таблица 1.

Результаты измерений толщины стеклянной пластинки

№ измерения

h, мм

< h>, мм

Δ hi, мм

Δ h, мм

εh, %

1

3,82

3,84

- 0,02

0,03

0,8

2

3,85

+ 0,01

3

3,89

+ 0,05

4

3,80

- 0,04

  1. По данным таблицы рассчитываем среднее значение толщины:

  1. Определяем абсолютную погрешность опыта (серии измерений):

  1. Определяем относительную погрешность:

При косвенных измеренияхискомую величину вычисляют по результатам прямого измерения других величин, связанных с искомой определённой функциональной зависимостьюy = f (x1,х2,…,хn).

Абсолютная и относительная погрешности некоторых простейших функций приведены в табл.2.

Таблица 2

Погрешности при косвенных измерениях в простейших случаях

Вид функции

Абсолютная погрешность Δy

Относительная

погрешность εy

1

2

3

x1 + x2

Δ x1 + Δ x2

1

2

3

x1 - x2

Δ x1 + Δ x2

x1x2

x1 Δ x2 + x2 Δ x1

εx1 + εx2

x1 / x2

εx1 + εx2

xn

nxn-1 Δ x

nεx

ex

ex Δ x

Δx

Когда функция y = f (x1,х2,…,хn)удобна для логарифмирования, то вначале лучше рассчитать относительную погрешность εyфункции (в %) и затем её абсолютную погрешность

.

Пример. Ускорение свободного паденияgопределяется по результатам измерений периодов колебанийТ1иТ2двух математических маятников с длинамиl1иl2соответственно (l1>l2) по формуле

,

где a= l1-l2. Логарифмирование даёт lng=ln(4π2) +lna–ln. После дифференцирования lngс заменамиdaна ΔaиdТна ΔТполучим:

(предполагается, что погрешности независимых измерений Δa,ΔТ1и ΔТ2усиливают друг друга, и поэтому их влияние учитывается в формуле со знаком плюс). Затем найдём абсолютную погрешность

, где.

Окончательный результат вычислений – среднее арифметическое измеряемой величины записывают в виде числа из нескольких разрядов. Цифры в этом числе делятся на значащие и незначащие. К значащим цифрам относятся все верные и сомнительные цифры. К незначащим относятся: а) нули в начале числа, определяющие разряды десятичных дробей в числах меньших единицы; б) нули в конце числа, заменившие цифры после округления; в) неверные цифры, если они не были отброшены.

Для определения значащих цифр в результате измерения необходимо вычислить абсолютную погрешность опыта, числовое значение которой тоже может содержать несколько разрядов. Но абсолютная погрешность показывает, в каком разряде полученного результата содержится неточность. Поэтому её числовое значение всегда округляется до одной значащей цифры, кроме того, в случае когда эта цифра представляет единицу – в этом случае округление производится до цифры первого младшего разряда. Тогда сохранение цифр меньших разрядов в среднем арифметическом измеряемой величины теряет смысл.

Пример. В нескольких опытах по результатам измерений периода колебаний математического маятника было проведено с различной погрешностью определение ускорения свободного падения:

неправильная запись результата правильная запись результата

g= (10,1835±0,433) м/с2g= (10,2±0,4) м/с2

g= (9,8167±0,053) м/с2g= (9,82±0,05) м/с2

g= (9,9423±0,132) м/с2g= (9,94 ±0,13) м/с2

g= (10,8261±2,026) м/с2g= (11±2) м/с2

При записи измеренного значения х последней, таким образом, должна указываться цифра того десятичного разряда, который был использован при указании погрешности. Это правило должно соблюдаться и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями. Пусть, например, при вычислении gв предыдущем опыте было получено значение 9,88 м/с2(точно), а погрешность составила ± 0,004 м/с2, то окончательный результат следует представить в таком виде:

g= 9,880± 0,004 м/с2.

При записи окончательного результата измерения наряду с основными единицами СИ и производными от них допускаются к применению кратные единицы (например, см, МПа, мВ и т.д.) в тех случаях, когда это упрощает запись. Полученные в ходе эксперимента результаты часто изображают в виде графика.

При построении графика чаще всего пользуются прямоугольной системой координат, причем значения аргумента откладывают по горизонтальной оси, а значения функции по вертикальной оси. Начало координат не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями функции и аргумента. При выборе масштаба величин, откладываемых на осях координат, исходят из того, чтобы получить примерно равные отрезки, которые соответствуют установленным в опыте интервалам численных значений функции и аргумента. Например, по результатам измерения показателя преломления п водного раствора глюкозы был построен графикп= п(с), гдес - концентрация глюкозы (рис.1). На рис.1а график удовлетворяет необходимым требованиям. На рис. 1б из-за неудачного выбора масштаба и начала отсчета дляпзависимостьп(с)почти незаметна, и такой график бесполезен для практического применения.

Рис. 1

Использование гpафических методов облегчается в тех случаях, когда гpафик представляет собой прямую линию. С целью "спрямления" гpафика исследуемой зависимости, имеющей сложный характер, целесообразно использовать нелинейные шкалы, например, логарифмическую, квадратичную и т.д. или откладывать не сами величины аргумента и функции, а их логарифмы, степени, обратные значения. Например, в работе "Исследование теплового излучения чёрного тела" с целью экспериментальной проверки закона Стефана – Больцмана

Rэ=σТ4,

где Rэ– энергетическая светимость тела, аТ– его абсолютная температура, по оси абсцисс откладывают Т, а по оси ординат -.

Выбрав рациональные масштаб и размеры гpафика, на координатные оси наносят деления через 10-20 мм и обозначают их. Затем наносят экспериментальные точки, с которыми совмещают прямоугольные крестики, размеры которых вдоль осей координат ОхиОуравны удвоенным погрешностям соответственно 2Δхи 2Δув выбранном масштабе. По отмеченным точкам проводят линию так, чтобы она прошла как можно ближе к экспериментальным точкам, и чтобы равное количество их оказалось по обе стороны от этой линии.

Для построения графиков, как правило, используют масштабно-координатную (миллиметровую) бумагу.

Если в лабораторной работе по графику определяется какая-либо константа, например, как угловой коэффициент экспериментальной прямой y = x0+kx, то в этом случае тангенс угла α наклона прямой к оси абсцисс может быть определён только с учётом соответствующих масштабов и единиц измерения.

studfiles.net

Абсолютные и относительные погрешности

Абсолютной погрешностью D называют погрешность измерения, выраженную в единицах измеряемой величины. Например, если результат измерения равен 20,1 мм, а действительное значение- 20,0 мм, то погрешность измерения составляет D = 20,1 – 20,0 = 0,1 мм.

Относительной погрешностью измерения δ называют отношение абсолютной погрешности к истинному (действительному) значению измеряемой величины

.

Относительная погрешность δ может быть выражена в процентах

%.

Разновидностью относительной является приведённая погрешность γ:

%,

где ХN – нормированное значение величины. Например, ХN= Хmax, где Хmax – максимальное значение измеряемой величины.

Систематические погрешности

Систематическими погрешностями Dс называются составляющие погрешности измерения, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при повторных измерениях одной и той же величины (рис. 4). Они возникают под действием отдельных определенных факторов - источников погрешностей. Примером систематических погрешностей являются погрешности показаний измерительных приборов вследствие их неправильной градуировки или изменения окружающей температуры.

Причиной появления систематических погрешностей также могут быть неисправности измерительной аппаратуры, несовершенство метода измерений, неправильная установка измерительных приборов и отступление от нормальных условий работы, особенно самого оператора. Систематические погрешности в принципе могут быть выявлены и устранены. Для этого требуется проведение тщательного анализа возможных источников погрешностей в каждом конкретном случае.

Если известны причины, вызывающие появление систематической погрешности, то её можно обнаружить при измерениях и исключить из результата полностью или частично введением соответствующих поправок или устранить изменением условий измерений, юстировкой, подгонкой меры и т.д.

Поправка определяется значением величины, одноименной с измеряемой, которую необходимо прибавить к измеренному значению с целью исключения систематической погрешности. Количественно поправка сравна абсолютной систематической погрешности, взятой с обратным знаком:

с =  с.

Однако систематическую составляющую погрешности удаётся исключить не полностью. Оставшуюся неустранённой из результатов систематическую погрешность называют неисключённойсистематической погрешностью.

Случайные погрешности

Случайная погрешность – составляющая погрешности, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины (рис. 5).

Случайная погрешность является результатом случайных изменений многочисленных условий измерений, учёт которых практически не осуществим, и её можно обнаружить только при многократных измерениях.

Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Их влияние может быть учтено теоретически, путём применения специальных способов обработки результатов наблюдений методами теории вероятностей и математической статистики.

Грубые промахи

Грубая погрешность (промах) – погрешность измерения, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях погрешность.

Хд

Х

Причиной грубой погрешности может служить невнимательность оператора, неисправность прибора, кратковременные изменения условий измерения. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специальных критериев.

studfiles.net

1.1. Погрешности в метрологии

Ни одно измерение не свободно от погрешностей, или, точнее, вероятность измерения без погрешностей приближается к нулю. Род и причины погрешностей весьма разнообразны и на них влияют многие факторы (рис.1.2).

Общая характеристика влияющих факторов может быть систематизирована с различных точек зрения, например, по влиянию перечисленных факторов (рис.1.2).

По результатам измерения погрешности можно разделить на три вида: систематические, случайные и промахи.

Систематические погрешности, в свою очередь, делят на группы по причине их возникновения и характеру проявления. Они могут быть устранены различными способами, например, введением поправок.

рис. 1.2

Случайные погрешности вызываются сложной совокупностью изменяющихся факторов, обычно неизвестных и трудно поддающихся анализу. Их влияние на результат измерения можно уменьшить, например, путем многократных измерений с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методом теории вероятностей.

К промахам относятся грубые погрешности, которые возникают при внезапных изменениях условия эксперимента. Эти погрешности по своей природе тоже случайны, и после выявления должны быть исключены.

Точность измерений оценивается погрешностями измерений, которые подразделяются по природе возникновения на инструментальную и методическую и по методу вычислений на абсолютную, относительную и приведенную.

Инструментальная погрешность характеризуется классом точности измерительного прибора, который приведен в его паспорте в виде нормируемых основной и дополнительных погрешностей.

Методическая погрешность обусловлена несовершенством методов и средств измерений.

Абсолютная погрешность есть разность между измеренным Guи истинным G значениями величины, определяемая по формуле:

Δ=ΔG=Gu-G

Заметим, что величина имеет размерность измеряемой величины.

Относительную погрешность находят из равенства

δ=±ΔG/Gu·100%

Приведенную погрешность рассчитывают по формуле (класс точности измерительного прибора)

δ=±ΔG/Gнорм·100%

где Gнорм – нормирующее значение измеряемой величины. Ее принимают равной:

а) конечному значению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы;

б) сумме конечных значений шкалы без учета знаков, если нулевая отметка расположена внутри шкалы;

в) длине шкалы, если шкала неравномерная.

Класс точности прибора устанавливается при его проверке и является нормируемой погрешностью, вычисляемой по формулам

γ=±ΔG/Gнорм·100%, если ΔGm=const

где ΔGm –  наибольшая возможная абсолютная погрешность прибора;

Gk –  конечное значение предела измерения прибора; с и d – коэффициенты, учитывающие конструктивные параметры и свойства измерительного механизма прибора.

Например, для вольтметра с постоянной относительной погрешностью имеет место равенство

δm=±c

Относительная и приведенная погрешности связаны следующими зависимостями:

а) для любого значения приведенной погрешности

δ=±γ·Gнорм/Gu

б) для наибольшей приведенной погрешности

δ=±γm·Gнорм/Gu

Из этих соотношений следует, что при измерениях, например вольтметром, в цепи при одном и том же значении напряжения относительная погрешность тем больше, чем меньше измеряемое напряжение. И если этот вольтметр выбран неправильно, то относительная погрешность может быть соизмерима со значением Gн, что является недопустимым. Заметим, что в соответствии с терминологией решаемых задач, например, при измерении напряжения G = U, при измерении тока C = I, буквенные обозначения в формулах для вычисления погрешностей необходимо заменять на соответствующие символы.

Пример 1.1. Вольтметром, имеющим значения  γm= 1,0 %, Uн = Gнорм, Gk = 450 В, измеряют напряжение Uu, равное 10 В. Оценим погрешности измерений.

Решение.

Ответ. Погрешность измерений составляет 45 %. При  такой погрешности измеренное напряжение нельзя считать достоверным.

При ограниченных возможностях выбора прибора (вольтметра), методическая погрешность может быть учтена поправкой, вычисленной по формуле

Пример 1.2. Вычислить абсолютную погрешность вольтметра В7-26 при измерениях напряжения в цепи постоянного тока. Класс точности вольтметра задан максимально приведенной погрешностью γm=±2,5 %. Используемый в работе предел шкалы вольтметра  Uнорм=30 В.

Решение. Абсолютная погрешность вычисляется по известным формулам:

(так как приведенная погрешность, по определению, выражается формулой , то отсюда можно найти и абсолютную погрешность: 

Ответ. ΔU = ±0,75 В.

Важными этапами в процессе измерений являются обработка результатов и правила округления. Теория приближенных вычислений позволяет, зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий: отобрать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большую, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов; рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результаты.

При обработке результатов применяют правила округления.

  • Правило 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше пяти, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу.
  • Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то увеличение не делается.
  • Правило 3. Если отбрасываемая цифра равняется пяти, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается, если она не четная.

Если за цифрой пять есть значащие цифры, то округление производится по правилу 2.

Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления. Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточно. Взаимная компенсация погрешности обеспечит наибольшую точность результата.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.

Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная).

Когда она прямо не указана, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа, округленного по правилам 1-3, т.е., если приближенное число обозначить буквой α, то

, где Δn – предельная абсолютная погрешность; а  δn – предельная относительная погрешность.

Кроме того, при обработке результатов используются правила нахождения погрешности суммы, разности, произведения и частного.

  • Правило 1. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых, но при значительном числе погрешностей слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней.
  • Правило 2. Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого или вычитаемого.

Предельную относительную погрешность легко найти, вычислив предельную абсолютную погрешность.

  • Правило 3. Предельная относительная погрешность суммы (но не разности) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.

Если все слагаемые имеют одну и ту же предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же предельную относительную погрешность. Иными словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых.

В противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. Потеря точности особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

  • Правило 4. Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей: δ=δ1+δ2, или, точнее, δ=δ1+δ2+δ1δ2 где  δ – относительная погрешность произведения, δ1δ2 - относительные погрешности сомножителей.

Примечания:

1. Если перемножаются приближенные  числа с одним и тем же количеством значащих цифр, то в произведении следует сохранить столько же значащих цифр. Последняя из сохраняемых цифр будет не вполне надежна.

2. Если некоторые сомножители имеют больше значащих цифр, чем другие, то до умножения следует первые округлить, сохранив в них столько цифр, сколько имеет наименее точный сомножитель или еще одну (в качестве запасной), дальнейшие цифры сохранять бесполезно.

3. Если требуется, чтобы произведение двух чисел имело заранее данное число вполне надежное, то в каждом из сомножителей число точных цифр (полученное измерением или вычислением) должно быть на единицу больше. Если количество сомножителей больше двух и меньше десяти, то в каждом из сомножителей число точных цифр для полной гарантии должно быть на две единицы больше, чем требуемое число точных цифр. Практически же вполне достаточно взять лишь одну лишнюю цифру.

  • Правило 5. Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя. Точная величина предельной относительной погрешности всегда превышает приближенную. Процент превышения примерно равен предельно относительной погрешности делителя.

Пример 1.3. Найти предельную абсолютную погрешность частного 2,81 : 0,571.

Решение. Предельная относительная погрешность делимого есть 0,005:2,81=0,2%; делителя – 0,005:0,571=0,1%; частного – 0,2% + 0,1%=0,3%. Предельная абсолютная погрешность частного приближенно составит 2,81:0,571·0,0030=0,015

Значит, в частном 2,81:0,571=4,92 уже третья значащая цифра не надежна.

Ответ. 0,015.

Пример 1.4. Вычислить относительную погрешность показаний вольтметра, включенного по схеме (рис. 1.3), которая получается, если предположить, что вольтметр имеет бесконечно большое сопротивление и не вносит искажений в измеряемую цепь. Классифицировать погрешность измерения для этой задачи.

рис. 1.3

Решение. Обозначим показания реального вольтметра через И, а вольтметра с бесконечно большим сопротивлением через И∞. Искомая относительная погрешность 

Заметим, что

,

тогда получим

Так как RИ >>R и R > r, то дробь в знаменателе последнего равенства много меньше единицы. Поэтому можно воспользоваться приближенной формулой  , справедливой при λ≤1 для любого α.  Предположив, что в этой формуле α = -1  и   λ= rR (r+R)-1 RИ-1, получим δ ≈ rR/(r+R) RИ.

Чем больше сопротивление вольтметра по сравнению с внешним сопротивлением цепи, тем меньше погрешность. Но условие R<<RИ – достаточное, но не необходимое условие малости δ. Погрешность будет мала также и в том случае, когда выполняется условие r≤RИ, т.е. сопротивление вольтметра много больше внутреннего сопротивления источника тока. При этом внешнее сопротивление может быть как угодно велико.

Ответ. Погрешность систематическая методическая.

Пример 1.5. В цепь постоянного тока (рис.1.4) включены приборы: А – амперметр типа М 330 класса точности КА = 1,5 с пределом измерения Ik = 20 А; А1 – амперметр типа М 366 класса точности КА1 = 1,0 с пределом измерения Iк1 = 7,5 А.  Найти наибольшую возможную относительную погрешность измерения тока I2 и возможные пределы его действительного значения, если приборы показали, что I=8,0А. и I1 = 6,0А. Классифицировать измерение.

рис. 1.4

Решение. Определяем ток I2 по показаниям прибора (без учета их погрешностей): I2=I-I1=8,0-6,0=2,0 А.

Найдем модули абсолютных погрешностей амперметров А и А1

Для А имеем равенство  для амперметра 

Найдем сумму модулей абсолютных погрешностей:

Следовательно, наибольшая возможная и той же величины, выраженная в долях этой величины, равна 1 . 103 – для одного прибора; 2·103 – для другого прибора. Какой  из этих приборов будет наиболее точным?

Решение. Точность прибора характеризуется значением, обратным погрешности (чем точнее прибор, тем меньше погрешность), т.е. для первого прибора это составит 1/(1 . 103) = 1000, для второго – 1/(2 . 103) = 500. Заметим, что 1000 > 500. Следовательно, первый прибор точнее второго в два раза.

К аналогичному выводу можно прийти, проверив соответствие погрешностей: 2 . 103 / 1 . 103 = 2.

Ответ. Первый прибор в два раза точнее второго.

Пример 1.6. Найти сумму приближенных замеров прибора. Найти количество верных знаков: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0.0714 + 0,0667 + 0.0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526.

Решение. Сложив все результаты замеров, получим 0,6187. Предельная наибольшая погрешность суммы 0,00005·9=0,00045. Значит, в последнем четвертом знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т.е. тысячных, получаем 0,619 – результат, в котором все знаки верные.

Ответ. 0,619. Количество верных знаков – три знака после запятой.

1. Метрология< Предыдущая Следующая >1.2. Вероятный подход к оценке измерений
 

xn----8sbnaarbiedfksmiphlmncm1d9b0i.xn--p1ai

Абсолютная и относительная погрешность вычислений

Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле:

Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону.

Относительная погрешность вычислений находится по формуле:

, или, то же

самое:

Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами.

После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции с помощью дифференциала.

Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора: , строго говоря, значение всё

равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.

Вычислим абсолютную погрешность:

Вычислим относительную погрешность: , получены тысячные доли

процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.

Ответ: , абсолютная погрешность вычислений, относительная погрешность вычислений

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 4 Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение

функции в точке. Вычислить более

точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями.

Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом:

Пример 5

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке

Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:

Пример 6

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.

Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенсс аргументом, который выражен в градусах. Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например,

и т. д.

Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу

Записываем очевидную функцию

Значение нужно представить в виде. Серьёзную помощь окажеттаблица значений тригонометрических функций. Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики.

Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:

Таким образом:

После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы. Так, и только так!

В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы

можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы:(формулы можно найти в той же таблице). Дальнейшее шаблонно:

Таким образом: (при вычислениях используем

значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.

Ответ:

Пример 7

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и

studfiles.net

Абсолютные ,относительные и приведенные погрешности измерений

Абсолютная погрешность – это разница между измеренной датчиком величиной Хизм и действительным значением Хд этой величины.

Действительное значение Хд измеряемой величины это найденное экспериментально значение измеряемой величины максимально близкое к ее истинному значению. Говоря простым языком действительное значение Хд это значение, измеренное эталонным прибором, или сгенерированное калибратором или задатчиком высокого класса точности. Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах измерения, что и измеряемая величина (например, в м3/ч, мА, МПа и т.п.). Так как измеренная величина может оказаться как больше, так и меньше ее действительного значения, то погрешность измерения может быть как со знаком плюс (показания прибора завышены), так и со знаком минус (прибор занижает).См.Абсолютная погрешность микрокомпьютерного расходомера скоростемера МКРСОтносительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения Δ к действительному значению Хд измеряемой величины.

Относительная погрешность выражается в процентах, либо является безразмерной величиной, а также может принимать как положительные, так и отрицательные значения.См.Относительная погрешность ультразвукового  уровнемера ЭХО-АС-01Приведенная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения Δ к нормирующему значению Хn, постоянному во всем диапазоне измерения или его части.

Нормирующее значение Хn зависит от типа шкалы датчика КИП:

  1. Если шкала датчика односторонняя и нижний предел измерения равен нулю (например, шкала датчика от 0 до 150 м3/ч), то Хn принимается равным верхнему пределу измерения (в нашем случае Хn = 150 м3/ч).
  2. Если шкала датчика односторонняя, но нижний предел измерения не равен нулю (например, шкала датчика от 30 до 150 м3/ч), то Хn принимается равным разности верхнего и нижнего пределов измерения (в нашем случае Хn = 150-30 = 120 м3/ч).
  3. Если шкала датчика двухсторонняя (например, от -50 до +150 ˚С), то Хn равно ширине диапазона измерения датчика (в нашем случае Хn = 50+150 = 200 ˚С).
Приведенная погрешность выражается в процентах, либо является безразмерной величиной, а также может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Довольно часто в описании на тот или иной датчик указывается не только диапазон измерения, например, от 0 до 50 мг/м3, но и диапазон показаний, например, от 0 до 100 мг/м3. Приведенная погрешность в этом случае нормируется к концу диапазона измерения, то есть к 50 мг/м3, а в диапазоне показаний от 50 до 100 мг/м3 погрешность измерения датчика не определена вовсе – фактически датчик может показать все что угодно и иметь любую погрешность измерения. Диапазон измерения датчика может быть разбит на несколько измерительных поддиапазонов, для каждого из которых может быть определена своя погрешность как по величине, так и по форме представления. При этом при поверке таких датчиков для каждого поддиапазона могут применяться свои образцовые средства измерения, перечень которых указан в методике поверки на данный прибор.

level-meter.livejournal.com

Абсолютная и относительная погрешность | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Абсолютной погрешностью приближенного числа называется модуль разности между этим числом и его точным значением. . Отсюда следует, что заключено в пределах или .

Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет |1300 — 1284|=16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет |1280 — 1284| = 4.Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности … приближенного числа к модулю значения числа .Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет |200 — 197| = 3. Относительная погрешность равна 3/|197| или 1,5 %.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

 

Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈1,4%.

 

В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность – 1,4 %. Абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта») или Da; относительная погрешность — греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой А, то δ = Δ/|А|.

Значащей цифрой приближенного числа А называется всякая цифра в его десятичном представлении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда

Пример. А= 0,002080. Здесь только первые три нуля не являются значащими.

n первых значащих цифр приближенного числа А являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины разряда, выражаемого n – й значащей цифрой, считая слева направо. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными.

Пример. Если в числе a= 0,03450 все цифры верные, то .

 

Правила приближенных вычислений
понятие определение пример или примечание
Приближенные вычисления Вычисления, производимые над числами, которые известны нам с определённой точностью, например, полученными в эксперименте. Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого. И наоборот.
Погрешности Разница между точным числом а и его приближенным значением А называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | а — А | < D, то величина D называется абсолютной погрешностью приближенной величины А. Отношение D /|А| = δ называется относительной погрешностью; последнюю часто выражают в процентах. 3,14 является приближенным значением числа а, погрешность его равна 0,00159…, абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а относительную погрешность δ равной 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%.
Значащие цифры все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52438 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 .102 или 0,524 .105. Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. Если число А = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно, что δ = 0,1%, то a имеет 3 верных знака, т.е. А = 47,5
Округление Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Действия над приближенными числами Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Число значащих цифр результата можно вычислить при помощи следующих правил: 1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков. 2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.  

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. При этом неточными могут оказаться и те цифры, которые получены действиями над точными цифрами данных чисел.

Пример 5. Перемножаются приближенные числа 60,2 и 80,1. Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближенных лишь сотыми, тысячными и т. д. долями. В произведении получаем 4822,02. Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц. Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,25 и 80,14. Тогда точное произведение будет 4828,435, так что цифра единиц в приближенном произведении (2) отличается от точной цифры (8) на 6 единиц.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;

2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;

3) рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.

refac.ru